2022年高考数学三轮复习《第14讲 导数》解答压轴题(含答案解析)
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1、第14讲 导数解答压轴题1(山东临沂模拟)已知函数(1)求函数的极值;(2)当时,恒成立,求正整数的最大值证明:【答案】(1)答案见解析;(2)3,证明见解析.【分析】(1)求导后,分和讨论即可;(2)转化为寻求,需要找隐零点的范围将所证结论两边取对数,再运用的结论即可.【解析】(1)定义域当时,所以函数在上单调递增,无极值当时,得得所以函数在上单调递减,在上单调递增此时函数的极小值无极大值综上,当时,函数无极值;当时,函数的极小值为,无极大值.(2)当时,恒成立,即只需成立即可由(1)可知当时,函数在上单调递减,在上单调递增(i)若,即时,在上单调递增,所以满足题意(ii)若,即,函数在上单
2、调递减,在上单调递增所以令所以在上单调递增又知所以使得,则的解集为综上的取值范围为,所以正整数的最大值为证明:两边取对数得即只需证由(i)知令,则所以所以【点睛】关键点点睛:本题证明的关键在于先取对数得到,再利用前面的结论得出一个不等式,然后累加.2(江苏徐州二模)已知函数,为的导数.(1)设函数,求的单调区间;(2)若有两个极值点,求实数a的取值范围;证明:当时,.【答案】(1)答案见解析;(2);证明见解析.【分析】(1)首项求,并且得到函数的解析式,并求,讨论和求函数的单调区间;(2)有两个极值点,所以有两个零点,根据(1)的单调性,可知,并求出函数的极小值,讨论,并结合零点存在性定理求
3、的取值范围;首先判断,并根据是的两个零点,并转化和,构造函数,利用导数判断函数的单调性,证明不等式.【解析】(1)依题意,的定义域为,且,则.当时,在上恒成立,单调递减;当时,令得,所以,当时,递减;当时,递增.综上,当时,的减区间为,无增区间;当时,的减区间为,增区间为.(2)因为有两个极值点,所以有两个零点.由(1)知,时不合;当时,.(i)当时,没有零点,不合;(ii)当时,有一个零点,不合;()当时,.,设,则.所以,即.所以存在,使得.又因为,所以存在,使得.的值变化情况如下表:x+0-0+极大值极小值所以当时,有两个极值点.综上,a的取值范围是.因为,所以.因为是的两个零点,所以,
4、.所以,.记,则,所以在上单调递增.又因为,所以,即.【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.3(广东汕头一模)已知函数有两个相异零点(1)求a的取值范围(2)求证:【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)求出导函数,由确定单调性,然后结合零点存在定理求出参数范围;(2)由(1)不妨设,首先把多个变量,的不等式变形为,构造函数,确定单调性后证得,这
5、样利用在是递增,要证原不等式只要证,即证,构造函数,利用导数证明此不等式成立【解析】(1)当时,单调递减;当时,单调递增;由得,当时,所以使得f使得,综上:(2)由(1)可知,要证即证构造函数,则所以在单调递减,故有因为在上单调递增,所以只需证即证构造函数,下面证在时恒成立即证构造函数在时恒成立因此在上单调递增,从而,在时恒成立在时单调递增成立,即成立【点睛】关键点点睛:本题考查用导数研究函数的零点,考查用导数证明与零点有关的不等式,证明的关键是问题的转化,一是三变量转化为双变量,其次双变量转化为单变量,从而再引入新函数,由新函数的导数研究函数性质证明结论成立本题证明难度较大,回属于困难题4(
6、湖北七市三月联考)已知函数,其中为自然对数的底数(1)求的单调区间;(2)若对恒成立,记,证明:【答案】(1)函数的增区间为、;(2)证明见解析【分析】(1)求得,证明出对任意的恒成立,由此可得出结果;(2)由题意可知不等式对任意的恒成立,令,将所证不等式等价转化为,利用导数证明即可.【解析】(1)函数的定义域为,且.令,则.当时,此时函数单调递减;当时,此时函数单调递增.所以,当时,则.综上所述,函数的增区间为、;(2)由题意得不等式对任意的恒成立,令,要证,即证.令,其中,则,所以在上单调递增,又,故,使得,即.所以,当时,有,函数单调递减;当时,函数单调递增.所以且,所以存在,使得,即,
7、且满足,函数单调递减;,单调递增;所以.令,则,即函数在上单调递减.又,则,则只需证明,即,即,即,可先证明,则,所以,可得,而,所以,证毕.【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.5(山东德州一模)已知函数,定义新函数(1)当时,讨论函数的单调性;(2)若新函数的值域为,求的取值范围【答案】(1)答案见解析;(2)【分析】(1)计算,然后根据,讨论函数单
8、调性.(2)利用等价转化即在上有解,构造函数,并利用导数研究函数单调性,根据隐零点得到函数,最后计算可得结果.【解析】(1),当即时,令得,令得,在上单调递减,上单调递增,当时,当,即时,令得,令得,或,在和上单调递减,在上单调递增当,即时,在上单调递减当时,令得,令得或所以在和上单调递减,上单调递增综上所述:时,在上单调递减,上单调递增时,在和上单调递减,在上单调递增,时,在上单调递减,时,在和上单调递减,上单调递增(2)因为,所以有解,即在上有解,令,则,令,则,显然在上单调递增,又,使,当时,即,单调递减,当时,即,单调递增故,且,由,得,即,令,所以在上单调递增,又,故,即,所以,即,
9、【点睛】关键点点睛:第(1)问利用导数判断函数单调性,关键在于对参数的分类讨论;第(2)问使用等价转化的思想并结合导数判断原函数单调性,本题关键在于利用隐零点.6(河南驻马店期末(理)已知函数(1)若函数在处取得极值,求曲线在点处的切线方程;(2)已知,若方程有两个不相等的实数根,且,证明:【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】(1)根据函数在处取得极值,即,可求得的值,进而得到,利用点斜式即可求得切线方程;(2)构造函数,根据的取值范围讨论函数的零点个数,设,要证,即证,只需证因为,所以只需证,即证因为在上单调递增,所以只需证因为,所以只要证,令,即证构造,判断单调性可知,即可得证.【解
10、析】(1)因为,所以因为函数在处取得极值,所以,即因为,所以因为,所以所求切线的方程为(2)证明:由,可得令,则当时,在上单调递增,至多一个根,不符合题意;当时,在上单调递减,在上单调递增,且不妨设,要证,即证,只需证因为,所以只需证,即证因为在上单调递增,所以只需证因为,所以只要证,令,则,即证令当时,在上单调递减因为,所以当时,即,于是,所以,即恒成立【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调
11、性,求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用7(浙江杭州期末)已知函数,恰好有两个极值点.()求证:存在实数,使;()求证:.【答案】()证明见解析;()证明见解析.【分析】()求出函数导数,题目等价于存在两个不同正根,先考虑与相切,可得,构造函数,可求出,即可证明;()可得,得,设,求出导数可得,即可证明.【解析】(),.根据题意,即存在两个不同正根.先考虑与相切,记切点横坐标为,如图.则,设,则,令,得.故在上单调递减,在上单调递增.且,故存在唯一,使成立.取,则时,恰存在两个极值点,得证.()由()知,且.所以,代入,得,设,.,则容
12、易判断,;,.故,单调递减;,单调递增.所以.且,由,且,得.所以,从而,证毕.【点睛】本题考查利用导数证明不等式,解题得关键是先考虑与相切,求出切点横坐标取值范围,也可对第二问起到作用.8(天津滨海新区高三期末)已知函数.()()令,讨论的单调性并求极值;()令,若有两个零点;(i)求a的取值范围;(ii)若方程有两个实根,且,证明:【答案】()单调递减区间为,单调递增区间为,极小值为,无极大值;()(i);(ii)证明见解析.【分析】()求出即可表示出,再求出,根据导数的符号判断函数的单调性及求极值;()(i)求出,分类讨论,当时单调递增,不可能有两个零点;当,根据导数的符号判断函数的单调
13、性可知要使有两个零点,即使,得;(ii)利用换元法将等式有两个实根转化为有两个零点,进一步将所需不等式转化为证,需证,再次利用换元法令将所需证不等式转化为,利用导数证明上述不等式即可.【解析】()因为所以,则,x2负0正单调递减极小值单调递增所以单调递减区间为,单调递增区间为极小值为,无极大值.()(i)有两个零点.因为当时,单调递增,不可能有两个零点;当时,令,得,单调递减;令,得,单调递增.所以要使有两个零点,即使,得,又因为,所以在存在唯一一个零点,且,所以在上存在唯一一个零点,符合题意.综上,当时,函数有两个零点.法二:有两个零点.等价于时,有两个实根,(1)令,当时,单调递减,且;当
14、时,单调递减;当时,单调递增;,.要使(1)有两个实数根,即使,综上,当时,函数有两个零点.(ii)有两个实根,令,有两个零点,所以,所以(1)(2)要证,只需证,即证,所以只需证.由(1)(2)可得,只需证.设,令,则,所以只需证,即证令,则,即当时,成立.所以,即,即.9(天津高三期末)已知函数,e是自然对数的底数,若,且恰为的极值点.(1)证明:;(2)求在区间上零点的个数【答案】(1)证明见解析;(2)零点个数为2【分析】(1)由题可得,可根据单调性和零点存在性定理判断a是的唯一零点,且在内;(2)求出的导数,可得当,无零点,当,构造函数,求出导数,分,三段讨论的单调性,并结合零点存在
15、性定理判断的单调性,即可得出零点个数.【解析】(1)由题意,得因为为函数的极值点,所以令,显然a是的零点,则,在上单调递增,因为,所以在上有唯一的零点a,所以(2)由(1)知,当时,由,得,所以在上单调递减,所以在区间上不存在零点当时,设,则,()若,令,则,所以在上单调递减因为,所以存在,满足当时,在上单调递增;当时,在上单调递减()若,令,则,所以在区间上单调递减,所以又因为,所以,在上单调递减()若,则,在上单调递减由()、()、()得,在上单调递增,在单调递减因为,所以存在使得,所以,当时,在上单调递增,所以;当时,在上单调递减,因为,所以在区间上有且只有一个零点,综上,在区间上的零点
16、个数为2【点睛】关键点睛:本题考查利用导数求函数零点个数,解题的关键是构造函数,并分段利用导数讨论函数的单调性,利用零点存在性定理判断,本题的难点在于需分多段讨论且多次构造函数求导讨论.10(天津和平区期末)已知函数,(1)若在点处的切线倾斜角为,求的值;(2)求的单调区间;(3)若对于任意,恒成立,求的取值范围【答案】(1);(2)当时,的单调递增区间为;当时,的单调递减区间是,单调递增区间是;(3)【分析】(1)根据在点处的切线倾斜角为,得到,对进行求导,再求解即可;(2)对函数进行求导,对参数进行分类讨论,即可求得函数的单调区间;(3)构造函数,将原式化为:对于任意,恒成立,再利用进行适
17、度放缩,从而判断的单调性,找到对应的参数范围即可.【解析】(1)由题意知: ,又在点的切线倾斜角为,在点的切线的斜率,即,解得:;(2)由(1)知:,当时,在上为增函数;当 时,令,解得:,当时,在上为减函数,当时,在上为增函数综上所述,当 时,的单调递增区间为;当时,的单调递减区间是,单调递增区间是;(3)对任意的,恒成立,即恒成立,将代入,并整理得:, 设, 则原式等价于对任意的,恒成立,则,下面证明:,令,则,令,解得:,当,单调递减;当,单调递增;故,即,当时, 在上恒成立,在上单调递增,恒成立,即,对恒成立当 时,即 ,在成立,故当时,时,知在上为减函数,即在上,不存在使得不等式对任
18、意恒成立综上所述:实数的取值范围是【点睛】关键点点睛:本题解题的关键在于对参数的分类讨论以及应用对函数进行放缩.11(陕西渭南一模(理)已知函数.(1)讨论的单调性.(2)当时,若无最小值,求实数的取值范围.【答案】(1)当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在和上单调递增;当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2).【分析】(1)对求导,然后对分类讨论分别得出所对应的的取值范围即为函数的单调增区间,所对应的的取值范围即为函数的单调减区间(2)结合(1)中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况,得出关于的不等式后,需要构造新的函数分析求解.【解析】
19、(1)因为,所以.令,得或.当时,由,得;由,得.则在上单调递减,在上单调递增;当时,由,得或;由,得.则在上单调递减,在和上单调递增.当时,恒成立,则在上单调递增.当时,由,得或;由,得.则在上单调递减,在和上单调递增.综上,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在和上单调递增;当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在和上单调递增.(2)当时,由(1)可知在上单调递减,在上单调递增,则有最小值,故不符合题意.当时,由(1)可知在上单调递减,在和上单调递增,因为无最小值,所以,即,解得;当时,由(1)可知在上单调递增,所以无最小值,所以符合题意;当时,由(1)可知在上单调递减
20、,在上单调递增.因为无最小值,所以,即,即.设,则设,则在上恒成立.故在上单调递增,即在上单调递增.因为,所以存在唯一的,使得.故在上单调递减,在上单调递增.因为,所以在上恒成立,即在恒成立,即符合题意.综上,实数a的取值范围为.【点睛】本题主要考查分类讨论思想,首先利用函数求导公式对函数求导,然后再利用导函数大于0或者小于0讨论函数单调性,分类时一般利用有无解对参数进行分类常见注意点如下:(1)对二次项系数的符号进行讨论;(2)导函数是否有零点进行讨论;(3)导函数中零点的大小进行讨论;(4)导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.12(陕西汉中一模(理)已知函数.(1)当时,求在上的最
21、值;(2)设,若有两个零点,求的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用导数判断单调性,再根据单调性直接求最值;(2)根据的取值不同,分别判断单调性与极值最值,进而判断是否满足有两个零点.【解析】(1)当时,.当时,;当时,.在上递减,在上递增.,.(2),.当时,此时只有一个零点,故不成立;当时,在上单调递减,在上单调递增.,当时,;当时,.有两个不同的零点,成立;当时,令,得.当时,恒成立,在上单调递增,至多有一个零点;当时,即.若或,则;若,则.在上单调递增,在上单调递减.当时,即.若或,则.若时,则.在上单调递增,在上单调递减.当时,.仅有一个零点,不合题意.综上,有两个零
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