2022年高考数学三轮复习《第2讲 导数》选择压轴题(含答案解析)
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1、第2讲 导数选择压轴题一、单选题:1(湖北B4联盟)已知大于1的正数,满足,则正整数的最大值为( )A7B8C9D11【答案】C【分析】等价于,令,分别求,的导数,判断函数的单调性,可求得有最大值,有最小值,根据题意,即求,代入为,等价于,令,即求的最大的正整数对求导求单调性,可知单调递减,代入数值计算即可求出结果【解析】由题干条件可知:等价于,令,则 , ,当时,当时,在上单调递增,在上单调递减,则有最大值令,则,当时,此题无解,则,当,当,在上单调递减,在上单调递增,则有最小值若成立,只需,即,即,两边取对数可得:时,等式成立,当时,有,令,本题即求的最大的正整数恒成立,则在上单调递减,的
2、最大正整数为9故选C【点睛】本题考查构造函数法解决恒成立问题方法点睛:双变元的恒成立问题,经常采用构造成两个函数,转化为,若,则复合恒成立的情况2(湖北B4联盟)已知集合,集合,若,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】A【分析】先求出集合,再根据包含关系可得在上恒成立即在上恒成立,就分类讨论后可得正确的选项【解析】先考虑不等式的解,均为上的增函数,故为上的增函数,故故为不等式的解集的子集,即在上恒成立,故在上恒成立令,则,故当时,故在上为减函数;当时,故在上为增函数;当时,故,故在上恒成立,即在上恒成立,令,故,当时,当时,故在上为增函数,在上为减函数,故,故即若,当时,故,(注意恒成立)
3、,故符合题意当时,在上恒成立,故,即,设,则,故在上为增函数,故,故不成立,故舍去,综上,故选A【点睛】思路点睛:导数背景下的不等式恒成立问题,应该根据不等式中解析式的特点合理转化,特别是对于指数与对数同时出现的形式,可利用同构的思想进行转化3(浙江绍兴市高三期末)已知、,且,对任意均有,则( )A,B,C,D,【答案】B【分析】推导出与符号相同,构造函数,然后对四个选项中的条件逐一验证,即可得出合适的选项【解析】,故与的符号相同,当时,;当时,与的符号相同,令,当时,恒成立,令,可得,分以下四种情况讨论:对于A选项,当,时,则,当时,不合乎题意,A选项错误;对于B选项,当,时,则,若,若、均
4、为正数,若,则,当时,不合乎题意;若,则,当时,不合乎题意若、都不相等,记,则当时,不合乎题意由上可知,当时,若使得恒成立,则,如下图所示, 当,时,且,时,当时,恒成立;对于C选项,当,时,则,若时,则当时,不合乎题意;当时,构造函数,其中,函数在上单调递增,则,当时,由于,则,不合乎题意,C选项错误;对于D选项,当,时,则,此时、为正数当、都不相等时,记,当时,不合乎题意;若,则,当时,不合乎题意;当时,当时, 不合乎题意D选项错误故选B【点睛】关键点点睛:解本题的关键在于以下两点:(1)分析与同号;(2)对、的大小关系进行讨论,结合穿针引线法进行验证4(江苏省天一中学高三二模)若不等式在
5、区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是A B C D【答案】C【分析】由题可知,设函数,根据导数求出的极值点,得出单调性,根据在区间内的解集中有且仅有三个整数,转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数的取值范围【解析】设函数,或, 时,或时,其图象如下:当时,至多一个整数根;当时,在内的解集中仅有三个整数,只需,故选C【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力5(江西八校4月联考)已知函数有两个零点,且存在唯一的整数,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【分析】由题意可知,构造函数,利用导数
6、研究函数的单调性及极值,又时,;当时,作出函数的图像,利用数形结合思想即可求解【解析】由题意,得,设,求导令,解得当时,单调递增;当时,单调递减;故当时,函数取得极大值,且又时,;当时,故;作出函数大致图像,如图所示:又,存在唯一的整数,使得与的图象有两个交点,由图可知:,即,故选B【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的
7、方法求解6(河南焦作市高三三模)已知曲线:在处的切线与曲线:在处的切线平行,令,则在上( )A有唯一零点B有两个零点C没有零点D不确定【答案】A【分析】先对函数和求导,根据两曲线在处的切线平行,由导数的几何意义求出,得到函数,对其求导,利用导数的方法判定单调性,确定其在上的最值,即可确定函数零点个数【解析】,又,由题设知,即,则,令,则,当时,即函数单调递减;当时,即函数单调递增;在上的最小值为,则,在上单调递增,且在上有唯一零点,故选A【点睛】思路点睛:利用导数的方法判定函数零点个数时,一般需要先对函数求导,利用导数的方法判定函数单调性,确定函数极值和最值,即可确定函数零点个数(有时也需要利
8、用数形结合的方法进行判断)7(陕西下学期质检)已知函数关于的方程()有8个不同的实数根,则的取值范围是( )ABCD【答案】C【分析】根据分段函数得解析式,利用导数研究函数的性质,作出函数的图象,将方程有8个不同的实数根转化为方程在存在两个不同的实数根或在和上各有1个根,进而得到的取值范围【解析】当时,令,则令,则,故当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在单调递增;当时,易知函数在上单调递减,在上单调递增,在单调递减又,故可画出函数的大致图象如图所示,令,则已知方程可化为观察图象可知,当时,只有2个交点;当时有3个交点;当时,有4个交点;当时有5个交点;当时,有6个交点要想满足题意,则只需使
9、得方程在存在两个不同的实数根或在和上各有1个根方程的两根之积为1,令,由题意只需解得,故选C【点睛】函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f(x)0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点8(天津十二区联考)已知定义在R上的函数,若函数恰有2个零点,则实数a的取值范围为( )ABCD【答案】B【分析】函数恰有
10、2个零点,转化为直线与的图象有两个交点,作出函数的图象及直线观察它们交点个数,对函数要分类讨论,求在原点处或过原点的切线斜率【解析】如图,数形结合,观察直线与曲线的位置关系当,故在处的切线方程为当,同理可得在处的切线方程为当,设切点为,其中,则过该点的切线方程为,代入,得,故过的切线方程为可得当时,有两个交点,即函数恰有两个零点此时,故选B【点睛】本题考查函数零点个数问题,解题关键是转化为直线与函数图象交点个数,通过数形结合思想求解9(安徽江南十校3月联考)当x1时,函数y=(lnx)2+alnx+1的图象在直线y=x的下方,则实数a的取值范围是( )A(-,e)B(-,)C(-,)D(-,e
11、-2)【答案】D【分析】分离参数,构造函数,求导分析出单调性,求出该函数的最小值,即可得到的取值范围【解析】由题意知,构造函数,令则故当时单调递减当时单调递增,故选D10(浙江金华市高三期末)已知函数,、且满足,对任意的恒有,则当、取不同的值时,( )A与均为定值B与均为定值C与均为定值D与均为定值【答案】D【分析】分析得出,利用导数分析函数的单调性,可得知为函数的极大值点,为函数的极小值点,再由、结合因式分解可得出结论【解析】当时,此时,函数在上为增函数,当、时,不合乎题意,由可得,当或时,;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为对任意的恒有,又当、且满足,为函数的极大值点,为函数的极小
12、值点,则,由可得,可得,即,则,可得,即,同理可得,故选D【点睛】关键点点睛:解本题的关键在于以下两点:(1)利用已知条件分析出、为函数的极值点;(2)利用等式,结合因式化简得出结果11(河南驻马店市高三期末)已知函数,则的最大值是( )ABCD【答案】A【分析】构造函数利用导数求出最小值,然后可得答案【解析】,设,当时,是单调递增函数,当时,是单调递减函数,时有解,故选A【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题,关键点是构造函数利用导数求出最小值,考查了学生分析问题、解决问题的能力12(浙江绍兴市高三期末)已知函数,若对任意,存在使得,则a的最大值为( )ABCD【答案】C【分析】根据题意
13、,的值域是的值域的子集,易知的值域,对于,只需考虑时,求解即可得出结果【解析】,当时,若对任意,存在使得,即存在,的值域为,的值域包含,根据函数性质,只需研究的值域即可令,则,由,解得:,故a的最大值为故选C【点睛】思路点睛:利用导数的方法研究函数的最值问题时,一般需要先对函数求导,根据导数的方法研究函数单调性,求出极值,结合题中条件即可求出最值(有时解析式中会含有参数,求解时,要讨论参数的不同取值范围,再判断函数的单调性,进行求解)13(天津部分区期末考试)已知函数(为自然对数的底数),关于的方程恰有四个不同的实数根,则的取值范围为( )ABCD【答案】D【分析】令,由,可得,利用导数分析函
14、数的单调性与极值,作出函数的图象,由图象可知,方程有两根、,且满足,设,利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围【解析】令,由,可得,函数的定义域为,当时,由可得,由可得函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,;当时,此时函数单调递增,且,作出函数的图象如下图所示:由于关于的方程恰有四个不同的实数根,则关于的二次方程恰有两个不同的实根、,且直线与函数的图象有三个交点,直线与函数的图象有且只有一个交点,设,由二次函数的零点分布可得,解得因此,实数的取值范围是故选D【点睛】方法点睛:本题考查利用二次函数的零点分布求参数,一般要分析以下几个要素:(1)二次项系数的符号
15、;(2)判别式;(3)对称轴的位置;(4)区间端点函数值的符号结合图象得出关于参数的不等式组求解14(江苏扬州市高三月考)已知函数,若且,则的最大值为( )ABCD【答案】D【分析】设点的横坐标为,过点作轴的垂线交函数于另一点,设点的横坐标为,并过点作直线的平行线,设点到直线的距离为,计算出直线的倾斜角为,可得出,于是当直线与曲线相切时,取最大值,从而取到最大值【解析】当时,求导,令,得当时,单调递减;当时,单调递增;作分段函数图象如下所示:设点的横坐标为,过点作轴的垂线交函数于另一点,设点的横坐标为,并过点作直线的平行线,设点到直线的距离为,由图形可知,当直线与曲线相切时,取最大值,令,得,
16、切点坐标为,此时,故选D【点睛】关键点点睛:本题考查函数零点差的最值问题,解题的关键将问题转化为两平行直线的距离,考查学生的化归与转化思想以及数形结合思想,属于难题15(天水市第一中学高三月考)函数在上有两个零点,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【分析】分离参数后将函数零点个数转化为两个函数图像的交点个数【解析】函数定义域为,由,得,设,令得,时,单调递增;时,单调递减;时,取极大值,要使函数有两个零点即方程右有两个不同的根,即函数与有两个不同交点即,故选 B【点睛】思路点睛:涉及函数零点问题时,参数可以分离的情况下优先选择分离参数,然后构建新函数,将零点个数转化为两个函数图像的交点
17、个数16(江苏省滨海中学高三月考)已知关于方程有两个不等实根,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【分析】将问题转化为“方程有两个不等实根”,构造新函数,利用导数分析其单调性以及取值情况,由此确定出方程有两个不等实根时的取值范围【解析】当时,不是方程的解,当时,有两个不等实根有两个不等实根,即与的图象有两个交点,令,令,或,当时,单调递增,当时,单调递减,当时,单调递减,当时,单调递增,要使与的图象有两个交点,则或,解得或,的取值范围是,故选D【点睛】本题考查利用导数研究方程根的问题,主要考查学生的转化、分析与计算能力,难度较难方程根的数目问题可以转化为函数图象的交点个数问题,也可转化为
18、函数的零点个数问题17(辽宁辽南协作区期末)已知函数,若函数的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】C【分析】函数的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数,转化为解集中恰有两个正整数,利用数形结合建立不等式求解即可【解析】的单调递减区间(理解为闭区间)中包含且仅包含两个正整数,的解集中恰有两个正整数,由可得, ,令,则,单调递增,单调递减,作出函数与的图象如图,当恰有两个正整数解时,即为1和2,故选 C【点睛】本题以解不等式为载体,要求考生抓住函数图象和性质的本质,建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算核心
19、素养,属于难题18(湖南岳阳市高三一模)对于函数,若存在,使,则点与点均称为函数的“先享点”已知函数且函数存在5个“先享点”,则实数a的取值范围为( )ABCD【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件,判断出“先享点”的特征,之后根据存在5个“先享点”,等价于函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点,构造函数利用导数求得结果【解析】依题意,存在5个“先享点”,原点是一个,其余还有两对,即函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点,而函数关于原点对称的函数为,即有两个正根,令,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,且,并且当和时,实数a的取值范围为,故选A【点睛】该题考查的是有关新定义问题,
20、结合题意,分析问题,利用等价结果,利用导数研究函数的性质,属于较难题目19(安徽合肥市高三二模)函数的图象大致是( )ABCD【答案】B【分析】先把化为,利用为奇函数可排除C,再结合函数值的符号可排除A D,从而可得正确的选项【解析】,令,则,故为上的奇函数,故的图象关于对称,故排除C 又当时,令,则,故,故当时,故排除D而,故排除A,故选B【点睛】方法点睛:已知函数解析式判断函数图象时,往往需要根据函数的奇偶性、单调性等来判断图象的性质,有时也需要根据函数值的正负来判断20(陕西下学期质检)已知函数在点处的切线与函数的图象相切于点,则点的坐标为( )ABCD【答案】C【分析】根据点在函数的图
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