2022年高考数学三轮复习《第9讲 三角函数》填空压轴题(含答案解析)
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1、专题3 三角函数1(江苏三校联考)已知,其中,则_【答案】【分析】构造,判断的奇偶性与单调性,把化为,化为,利用的奇偶性与单调性求出的值,再计算的值【解析】设,则,易知是偶函数当时,;当时,恒成立,即在定义域内单调递增,为奇函数,的图象关于点对称,同理可得则,即,故2(湖南长沙市长郡中学高三月考)已知函数的最小正周期为,若在上的最大值为M,则M的最小值为_【答案】【分析】求出的值,取,然后对函数在区间上是否单调进行分类讨论,利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得的最小值【解析】由于函数的最小正周期为,则,不妨取,则若函数在区间上单调,则,若函数在区间上先增后减,则;若函数在区间上先减后增,同
2、理可知的最小值为,综上可知,的最小值为【名师点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解,涉及绝对值三角不等式的应用,考查分类讨论思想与运算求解能力,属于难题3(全国超级全能生联考)已知是定义在上的偶函数,当时,设,若函数,则在区间上的零点个数为_【答案】【分析】求出函数的最小正周期,作出函数与的图象,分析两个函数在和上的图象的交点个数,由此可得出结论【解析】函数的最小正周期为当时,;当时,要求函数的零点个数,即求函数与的图象的交点个数,函数与在上的图象无交点作出函数与的图象如下图所示:当时,由图象可知,对任意的且,函数与在上的图象有两个交点,函数与在上的图象有个交点;当时,由图象可知,函数与在
3、上的图象无交点,对任意的且,函数与在上有且只有两个交点,函数与在上共有个交点综上所述,在区间上的零点个数为【名师点睛】方法点睛:判定函数的零点个数的常用方法:(1)直接法:直接求解函数对应方程的根,得到方程的根,即可得出结果;(2)数形结合法:先令,将函数的零点个数,转化为对应方程的根,进而转化为两个函数图象的交点个数,结合图象,即可得出结果4(宁夏长庆高级中学高三月考(理)已知在锐角三角形ABC中,角,的对边分别为,若,则的取值范围为_【答案】【分析】由已知结合正弦定理可得,然后结合余弦定理,令,代换后结合余弦的性质即可求解【解析】,由余弦定理可得:,令,则,因此,为锐角,故答案为:【名师点
4、睛】关键点点睛:首先利用正弦定理化角为边可得,再利用余弦定理并配方可得关键是令,将、代换掉,结合余弦的性质即可求得范围5(河南信阳期末(理)在中,则面积的最大值是_【答案】【分析】计算,得到答案【解析】,当时等号成立此时,即时,满足题意故答案为:【名师点睛】本题考查了三角形面积的最值,向量运算,意在考查学生的计算能力和综合应用能力6(浙江省杭州第二中学高三开学考试)已知的三个角所对的边为若,为边上一点,且,则的最小值为_【答案】【分析】设,则,则由可以推得,再利用面积公式可以解出,从而根据,可以推出,最后利用基本不等式即可得出结论【解析】设,()则,即,化简得,即,故,又,即,即,(当且仅当时
5、取等号),故答案为:7(河南三门峡期末(理)已知函数,有以下结论:的图象关于直线轴对称在区间上单调递减的一个对称中心是的最大值为则上述说法正确的序号为_(请填上所有正确序号)【答案】【解析】,根据图像知:的图象关于直线轴对称,错误;在区间上单调递减,正确;的一个对称中心是 ,错误;的最大值为,正确;故答案为【名师点睛】本题考查了三角函数的化简,三角函数的图像,三角函数性质,意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用8(广东深圳一模)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(
6、此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点”已知内接于单位圆,以,为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为,若,则的面积最大值为_【答案】【分析】设,求出,从而可得,在中,设,由正弦定理用表示出,这样就表示为的函数,然后由降幂公式,两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,结合正弦函数性质可得最大值,从而得面积最大值【解析】设,由题意以边向外作等边三角形,其外接圆圆心分别为,连接并延长分别交于,则,同理,都是等边三角形,则,又,则,是正三角形,其面积为,内接于单位圆,即其外接圆半径为,则,同理,设,则,当时,取得最大值,的面积最大值为【名师点睛】关键点点睛:本题考查三角函数在几何中的应
7、用,解题关键是设设,用表示出(说明即可得),等边面积就可能用表示,然后用正弦定理把用角表示,利用三角函数的恒等变换及正弦函数性质求得最大值9(北京石景山区高三一模)海水受日月的引力,会发生潮汐现象在通常情况下,船在涨潮时驶入航道,进入港口,落潮时返回海洋某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验:首先,设定水深(单位:米)随时间(单位:小时)的变化规律为,其中;然后,假设某货船空载时吃水深度(船底与水面的距离)为05米,满载时吃水深度为2米,卸货过程中,随着货物卸载,吃水深度以每小时04米的速度减小;并制定了安全条例,规定船底与海底之间至少要有04米的安全间隙在此次模拟实验中,若
8、货船满载进入港口,那么以下结论正确的是_若,货船在港口全程不卸货,则该船在港口至多能停留4个小时;若,货船进入港口后,立即进行货物卸载,则该船在港口至多能停留4个小时;若,货船于时进入港口后,立即进行货物卸载,则时,船底离海底的距离最大;若,货船于时进入港口后,立即进行货物卸载,则时,船底离海底的距离最大【答案】【分析】根据船离海底距离为,解三角不等式可判断;由船离海底距离,利用导数判断单调性即可判断;船离海底距离,利用导数求出最值即可判断、【解析】不卸货,则吃水恒为2米,船离海底为,当时,则,解得,最多停留时间为小时,故正确;立即卸货,吃水深度,且,解得, 此时船离海底,在上单调递增,且当时
9、,由,此段时间都可以停靠,又,故错误;与,解得,当时,;当时,当时,船底离海底的距离最大故答案为:【名师点睛】关键点点睛:本题考查了三角函数的应用、导数的应用,解题的关键是表示出船离海底距离的关系式,此题综合性比较强,考查了知识的应用能力以及计算能力10(山西临汾一模(理)对于一个函数,若存在两条距离为的直线和,使得在时恒成立,称函数在内有一个宽度为的通道则下列函数在内有一个宽度为1的通道的有_(填序号即可);【答案】【分析】对于,分析发现在定义域内存在最大和最小值,则在两条水平直线之间,计算过最值的两条水平直线间的距离可判断;对于,可发现函数的渐近线为,则可判定过端点与渐进性平行的直线为,且
10、距离,则存在两条直线,距离可得到【解析】对于,则在两条直线和之间,两直线的距离,不存在宽度为1的通道,故错误;对于,函数,研究函数在上的最大值,函数在时取得极大值点即最大值点,时,函数,故存在两直线和,故正确;对于,函数;函数随的增大而增大,渐近线为,取两条直线,故,故正确;对于,函数,由此得到两直线的距离,故存在两条直线,两条直线的距离故正确故答案为:【名师点睛】本题考查学生的思维能力和转化能力,属于中档题;知识点点睛:(1)观察三角函数的图像需要用到三角函数的辅助角公式,然后可知三角函数的最值;(2)函数图像的判断经常需要借助于导数,用导数求得函数的最值或范围;11(江苏常州一模)若,则_
11、【答案】【分析】由题意可得,令,则,化简即得解【解析】由题意可得,令,则,原式,故答案为:【名师点睛】方法点睛:三角恒等变换求值常用的方法:三看(看角看名看式)三变(变角变名变式)要根据已知条件灵活选择方法求解12(广西玉林模拟)函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,且的图象的一条对称轴是直线,则的最小值为_【答案】【分析】由图象平移可得,利用整体对应的方式可得,解得后,结合可得结果【解析】,又是的对称轴,解得:,当时,【名师点睛】方法点睛:本题考查根据三角函数的性质求解解析式的问题,解决此类问题的常用方法是结合五点作图法,利用整体对应的方式来构造方程13(内蒙古呼和浩特一模(理)四边
12、形内接于圆O,下面四个结论:四边形为梯形圆O的直径为14的三边长度可以构成一个等差数列四边形的面积为其中正确结论的序号有_【答案】【分析】由及等腰三角形,可得,从而得,证明正确,由余弦定理求得对角线长,然后由正弦定理求得圆直径,判断,同理可判断,求出梯形的高和底后可得梯形面积,判断【解析】连接,又,又,同理,而,四边形为梯形,正确;,则,设圆O半径为,则,错;同理,构成等差数列,正确;作于,则梯形的高为,面积为,正确故答案为:【名师点睛】思路点睛:本题考查正弦定理与余弦定理在平面几何中的应用,解题方法是应用平面几何的知识证明圆四边形是梯形,然后由余弦定理和正弦定理可求得对角线长及圆直径,由直角
13、三角形中三角函数定义求得梯形面积从而判断各命题的真假14(甘肃高三一模(文)函数,有下列命题:的表达式可改写为;直线是函数图象的一条对称轴;函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到;满足的的取值范围是其中正确的命题序号是_(注:把你认为正确的命题序号都填上)【答案】【分析】根据辅助角公式化简函数可判断;根据余弦函数的性质可判断;由图象的平移变换判断;根据余弦函数的图象解三角不等式判断【解析】,故正确;当时,故错误;函数的图象向右平移个单位长度得到,而,故错误;由可得,解得,解得,故正确故答案为:【名师点睛】关键点点睛:根据三角函数的图象与性质可研究函数的对称轴,解三角不等式,利用三角恒
14、等变换可化简函数解析式,属于中档题15(内蒙古呼和浩特一模(文)古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面,将所截得的不同的截线称为圆锥曲线某同学用过母线的中点且与底面圆的直径垂直的平面截圆锥,得到了如图所示的一支双曲线已知圆锥的高,底面圆的半径为4,则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为_【答案】【分析】根据题意,建立如图的直角坐标系,不妨设双曲线的方程为:,进而根据几何关系得,待定系数得,进一步设两条渐近线的夹角为,根据三角函数关系求解即可得答案【解析】根据题意,设双曲线与圆锥底面圆的交点为,连接交于,连接,并延长,使得,进而在平面中,以为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图,不妨设双
15、曲线的方程为:,由于底面,底面圆的半径为4,为的中点,在双曲线中,解得,双曲线的渐近线方程为,设双曲线的两条渐近线的夹角为,则,【名师点睛】本题考查双曲线的方程,渐近线,三角函数变换,考查综合分析应用能力,是中档题本题解题的关键在于根据题意建立如图的直角坐标系,进而将空间问题转化为平面问题,根据待定系数法求得方程16(中学生标准学术能力诊断性3月测试)在中,角,所对的边长分别为,为边上的一点,若,则_【答案】4【分析】根据余弦定理可以求出的值,可以判断出是等腰三角形,利用等腰三角形的性质,结合余弦定理、正弦定理、同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可【解析】由余弦定理知:,是等腰三
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