2022年广东省珠海市香洲区二校联考中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、 20222022 年广东省珠海市香洲区年广东省珠海市香洲区二校联考二校联考中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 10 题）题） 13 的倒数是（ ） A3 B1 C D 2据考证，单个雪花的质量在 0.00025 克左右，这个数用科学记数法表示为（ ） A2.5103 B2.5104 C2.5105 D2.5104 3下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（ ） A B C D 4如图，直线 ABCD，B40，C50，则E 的度数是（ ） A70 B80 C90 D100 5下列运算中，正确的是（ ） Aa5+a5a10 B3a32

2、a26a6 Ca6a2a3 D（3ab）29a2b2 6如图所示，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CEBD，DEAC若 BD6，则四边形 CODE的周长是（ ） A10 B12 C18 D24 7若的整数部分为 a，小数部分为 b，则 2ab（ ） A2 B2+ C6 D6+ 8有一题目：“已知：点 O 为ABC 的外心，BOC140，求A”小明的解答为：画ABC 以及它的外接圆 O，连接 OB，OC如图，由BOC2A140，得A70而小刚说：“小明考虑的不周全，A 还应有另一个不同的值”下列判断正确的是（ ） A小刚说的不对，A 就得 70 B小刚说的对，且A 的另一个值

3、是 110 C小明求的结果不对，A 应得 40 D两人都不对，A 应有 3 个不同值 9如果不等式组的解集为 x2，那么 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 10如图，二次函数 yx2+2x+m+1 的图象交 x 轴于点 A（a，0）和 B（b，0），交 y 轴于点 C，图象的顶点为 D下列四个命题： 当 x0 时，y0； 若 a1，则 b4； 点 C 关于图象对称轴的对称点为 E，点 M 为 x 轴上的一个动点，当 m2 时，MCE 周长的最小值为 2； 图象上有两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），若 x11x2，且 x1+x22，则 y1y2， 其中真命题的个数

4、有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（每题二填空题（每题 4 分，共分，共 7 题）题） 11（4 分）点 P 的坐标是（1，4），它关于 y 轴的对称点坐标是 12（4 分）将抛物线 y3x2向右平移 5 个单位，可得到抛物线 13（4 分）在一个不透明的袋子里装有红球 4 个，黄球若干个，这些球除颜色外其它都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在 0.5 左右，则袋子中黄球个数可能是 个 14（4 分）设 x1，x2是一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 15（4 分）小明为测量校园里一棵大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将

5、测角仪 CD 竖直放在与 B 相距 8m 的位置，在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52若测角仪的高度是 1m，则大树 AB 的高度约为 （结果精确到 1m参考数据：sin520.78，cos520.61，tan521.28） 16（4 分）如图，RtABC 中，C90，A30，BC，以点 B 为圆心，以 BC 长度为半径作弧，交 BA 于点 D，以点 C 为圆心，以大于CD 为半径作弧，接着再以点 D 为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 CA 于点 F，以点 B 为圆心，以 BF 为长度作弧，交 BA 于点 G，则阴影部分的面积为 17（4 分）如图，在ABC 中

6、，BAC30，ACB45，AB4，动点 P 在边 AB 上，连接 CP 将ACP 沿直线 CP 翻折后得到ACP，点 A到直线 AB 距离的最大值是 三解答题（每题三解答题（每题 6 分，共分，共 3 题）题） 18（6 分）计算：2sin60（）3|1| 19（6 分）已知：如图，在ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，使得 BEDF连接 EF，与对角线 AC 交于点 O 求证：OEOF 20（6 分）先化简，再求值：（1+），其中 x+1 四解答题（每题四解答题（每题 8 分，共分，共 3 题）题） 21（8 分）2021 年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词为了解学生对

7、“碳中和、碳达峰”知识的知晓 情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A 表示“从未听说过”，B 表示“不太了解”，C 表示“比较了解”，D 表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题 （1）参加这次调查的学生总人数为 人； （2）扇形统计图中，B 部分扇形所对应的圆心角是 ； （3）将条形统计图补充完整； （4）在 D 类的学生中，有 2 名男生和 2 名女生，现需从这 4 名学生中随机抽取 2 名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的 2 名学生恰好是 1 名男生和 1 名女

8、生的概率 22（8 分）某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读已知购买 1 本 A 类书和 2 本 B 类书共需 82 元；购买 2 本 A 类书和 1 本 B 类书共需 74 元 （1）求 A，B 两类书的单价； （2）学校准备购买 A，B 两类书共 34 本，且 A 类书的数量不高于 B 类书的数量，购买书籍的花费不得高于 900 元，则该学校有哪几种购买方案？ 23（8 分）如图，A（3，0），B（0，4），将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90，点 B 的对应点 B恰好在反比例函数 y（k0）的图象上 （1）求 k 值； （2）反比例

9、函数的图象与线段 AB 是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由 五解答题（每题五解答题（每题 10 分，共分，共 2 题）题） 24如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，将ABC 沿直线 AB 折叠得到ABD，交O于点 D连接 CD 交 AB 于点 E，延长 BD 和 CA 相交于点 P，过点 A 作 AGCD 交 BP 于点 G （1）求证：直线 GA 是O 的切线； （2）求证：AC2GDBD； （3）若 tanAGB，PG6，求 cosP 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每题一选择题（每题 3 分，共分，共 10 题）题） 13

10、的倒数是（ ） A3 B1 C D 【分析】根据倒数的定义即可得出答案 解：3 的倒数是 故选：C 【点评】此题主要考查了倒数倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 2据考证，单个雪花的质量在 0.00025 克左右，这个数用科学记数法表示为（ ） A2.5103 B2.5104 C2.5105 D2.5104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 解：0.000252.5

11、104 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（ ） A B C D 【分析】根据图中的主视图解答即可 解：A、图中的主视图是 2，1； B、图中的主视图是 2，1； C、图中的主视图是 2，1； D、图中的主视图是 2，2； 故选：D 【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置 4如图，直线 ABCD，B40，C50，则E 的度数是（

12、） A70 B80 C90 D100 【分析】根据平行线的性质求出1，根据三角形内角和定理计算，得到答案 解：ABCD， 1B40， E1801C90， 故选：C 【点评】 本题考查的是平行线的性质、 三角形内角和定理， 掌握两直线平行， 同位角相等是解题的关键 5下列运算中，正确的是（ ） Aa5+a5a10 B3a32a26a6 Ca6a2a3 D（3ab）29a2b2 【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法逐项计算即可 解：Aa5+a52a5，因此选项 A 不符合题意； B.3a32a26a5，因此选项 B 不符合题意； Ca6a2a4，因此选项 C 不符合题意； D

13、（3ab）29a2b2，因此选项 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算法则是正确判断的前提 6如图所示，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CEBD，DEAC若 BD6，则四边形 CODE的周长是（ ） A10 B12 C18 D24 【分析】由已知条件先证明四边形 CODE 是平行四边形，再由矩形的性质得出 OCOD3，即可求出 四边形 CODE 的周长 解：CEBD，DEAC， 四边形 CODE 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形， OCAC，ODBD，ACBD6， OCOD3，

14、 四边形 CODE 是菱形， DEOCODCE3， 四边形 CODE 的周长4312 【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键 7若的整数部分为 a，小数部分为 b，则 2ab（ ） A2 B2+ C6 D6+ 【分析】先估算出的范围，再求出 a、b 的值，最后代入求出即可 解：23， a2，b2， 2ab22（2）6 故选：C 【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键 8有一题目：“已知：点 O 为ABC 的外心，BOC140，求A”小明的解答为：画ABC 以及它的外接圆 O，连接 OB，OC如图，由BOC2

15、A140，得A70而小刚说：“小明考虑的不周全，A 还应有另一个不同的值”下列判断正确的是（ ） A小刚说的不对，A 就得 70 B小刚说的对，且A 的另一个值是 110 C小明求的结果不对，A 应得 40 D两人都不对，A 应有 3 个不同值 【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案 解：如图所示：A 还应有另一个不同的值A与A 互补 故A18070110 故选：B 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键 9如果不等式组的解集为 x2，那么 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 【分析】解第一个不等式，求出解集，再根

16、据不等式组的解集，利用“同大取大”的口诀可得答案 解：解不等式 x+54x1，得：x2， 不等式组的解集为 x2， m2， 故选：A 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式组解集的确定 10如图，二次函数 yx2+2x+m+1 的图象交 x 轴于点 A（a，0）和 B（b，0），交 y 轴于点 C，图象的顶点为 D下列四个命题： 当 x0 时，y0； 若 a1，则 b4； 点 C 关于图象对称轴的对称点为 E，点 M 为 x 轴上的一个动点，当 m2 时，MCE 周长的最小值为 2； 图象上有两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），若

17、x11x2，且 x1+x22，则 y1y2， 其中真命题的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】错误由图象可知当 axb 时，y0 错误当 a1 时，b3 错误MCE 的周长的最小值为 2+2 正确设 x1关于对称轴的对称点 x1，由题意推出 x11x1x2，因为函数图象在 x1 时，y 随x 增大而减小，所以 y2y1 解：当 axb 时，y0故错误 1， 当 a1 时，b3，故错误 当 m2 时，C（0，3），E（2，3）E与 E 关于 x 轴对称， E（2，3）， CE2， MCE 的周长的最小值为 2+2，故错误 设 x1关于对称轴的对称点 x1， x12x1，

18、 x1+x22， x2x1+2， x2x1， x11x2， x11x1x2， 函数图象在 x1 时，y 随 x 增大而减小， y2y1，正确 故选：A 【点评】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题 二填空题（每题二填空题（每题 4 分，共分，共 7 题）题） 11（4 分）点 P 的坐标是（1，4），它关于 y 轴的对称点坐标是 （1，4） 【分析】关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变据此可得答案 解：点 P 的坐标是（1，4）， 它关于 y 轴的对称点

19、坐标是（1，4）， 故答案为：（1，4） 【点评】 本题主要考查了关于 y 轴的对称点的坐标特点， 点 P （x， y） 关于 y 轴的对称点 P的坐标是 （x，y） 12（4 分）将抛物线 y3x2向右平移 5 个单位，可得到抛物线 y3（x5）2 【分析】根据二次函数图象平移的法则即可得出结论 解：抛物线 y3x2向右平移 5 个单位，即可得到抛物线 y3（x5）2， 故答案为：y3（x5）2 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键 13（4 分）在一个不透明的袋子里装有红球 4 个，黄球若干个，这些球除颜色外其它都相同，通过多次试验

20、发现，摸出红球的频率稳定在 0.5 左右，则袋子中黄球个数可能是 4 个 【分析】设袋子中黄球的个数可能有 x 个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案 解：设袋子中黄球的个数可能有 x 个，根据题意得： 0.5， 解得：x4， 经检验 x4 是原方程的解， 答：袋子中黄球的个数可能是 4 个 故答案为：4 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 14（4 分）设 x1，x2是一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 0 【分析】直接根据根与系数的关系求解 解：x1、x2是方程 x2x10 的

21、两根， x1+x21，x1x21， x1+x2+x1x2110 故答案为：0 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x2，则x1+x2，x1x2 15（4 分）小明为测量校园里一棵大树 AB 的高度，在树底部 B 所在的水平面内，将测角仪 CD 竖直放在与 B 相距 8m 的位置，在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52若测角仪的高度是 1m，则大树 AB 的高度约为 11 米 （结果精确到 1m参考数据：sin520.78，cos520.61，tan521.28） 【分析】过点 D 作 DEAB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系

22、，求出 AE，进而求出 AB 即可 解：如图，过点 D 作 DEAB，垂足为 E，由题意得，BCDE8 米，ADE52，BECD1 米， 在 RtADE 中，AEDEtanADE8tan5210.24（米）， ABAE+BE10.24+111（米） 故答案为：11 米 【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键 16（4 分）如图，RtABC 中，C90，A30，BC，以点 B 为圆心，以 BC 长度为半径作弧，交 BA 于点 D，以点 C 为圆心，以大于CD 为半径作弧，接着再以点 D 为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于

23、点 E，作射线 BE 交 CA 于点 F，以点 B 为圆心，以 BF 为长度作弧，交 BA 于点 G，则阴影部分的面积为 【分析】根据 S阴SABFS扇形BGF，求解即可 解：由作图可知，BE 平分ABC， C90，A30， CBA903060， CBFFBA30， BC， CFBCtan301，ACBCtan603，BF2CF2， S阴SABFS扇形BGF3 故答案为： 【点评】本题考查作图复杂作图，扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积 17（4 分）如图，在ABC 中，BAC30，ACB45，AB4，动点 P 在边 AB 上，连接 CP 将ACP 沿直线 CP

24、翻折后得到ACP，点 A到直线 AB 距离的最大值是 1+ 【分析】过点 B 作 BHAC 于 H，解直角三角形求出 CA，当 CAAB 时，点 A到直线 AB 的距离最大，求出 CA，CK，可得结论 解：如图，过点 B 作 BHAC 于 H， 在 RtABH 中，BHABsin302，AHBH2， 在 RtBCH 中，BCH45， CHBH2， ACCA2+2， 当 AB 的延长线交 CA于点 K， 在 RtACK 中，CKACsin301+， AKCACK1+ 故答案为：1+ 【点评】 本题主要考查了翻折的性质和解直角三角形， 解决本题的关键是找到最小值的情况下线段关系 三解答题（每题三解

25、答题（每题 6 分，共分，共 3 题）题） 18（6 分）计算：2sin60（）3|1| 【分析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可 解：2sin60（）3|1| 2（8）（1） +8+1 9 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用 19（6 分）已知：如图，在ABCD 中，延长 AB 至点 E，延长 CD 至点 F，使

26、得 BEDF连接 EF，与对角线 AC 交于点 O 求证：OEOF 【分析】由平行四边形的性质得出 ABCD，ABCD，证出 AECF，EF，OAEOCF，由ASA 证明AOECOF，即可得出结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BEDF， AB+BECD+DF，即 AECF， ABCD， AECF， EF，OAEOCF， 在AOE 和COF 中， AOECOF（ASA）， OEOF 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 20（6 分）先化简，再求值：（1+），其

27、中 x+1 【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 x 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答 解：（1+） ， 当 x+1 时，原式 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键 四解答题（每题四解答题（每题 8 分，共分，共 3 题）题） 21（8 分）2021 年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A 表示“从未听说过”，B 表示“不太了解”，C 表示“比较了解”，D 表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图请结合统计图，回答下列问题 （1

28、）参加这次调查的学生总人数为 40 人； （2）扇形统计图中，B 部分扇形所对应的圆心角是 108 ； （3）将条形统计图补充完整； （4）在 D 类的学生中，有 2 名男生和 2 名女生，现需从这 4 名学生中随机抽取 2 名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的 2 名学生恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率 【分析】（1）根据 A 类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用 360乘以 B 类别人数所占比例即可； （3）根据四种类别人数人数之和等于总人数求出 C 类别人数即可补全图形； （4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结

29、果数，再根据概率公式求解即可 解：（1）参加这次调查的学生总人数为 615%40（人）， 故答案为：40； （2）扇形统计图中，B 部分扇形所对应的圆心角是 360108， 故答案为：108； （3）C 类别人数为 40（6+12+4）18（人）， 补全图形如下： （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好选中 1 名男生和 1 名女生的结果数为 8， 所抽取的 2 名学生恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件

30、B 的概率也考查了统计图 22（8 分）某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读已知购买 1 本 A 类书和 2 本 B 类书共需 82 元；购买 2 本 A 类书和 1 本 B 类书共需 74 元 （1）求 A，B 两类书的单价； （2）学校准备购买 A，B 两类书共 34 本，且 A 类书的数量不高于 B 类书的数量，购买书籍的花费不得高于 900 元，则该学校有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设 A 类书的单价为 x 元，B 类书的单价为 y 元，根据“购买 1 本 A 类书和 2 本 B 类书共需82 元；购买 2 本 A 类书和 1 本

31、 B 类书共需 74 元”，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 A，B 两类书的单价； （2）设购买 A 类书 m 本，则购买 B 类书（34m）本，根据“购买 A 类书的数量不高于 B 类书的数量，购买书籍的花费不得高于 900 元” ， 即可得出关于 m 的一元一次不等式组， 解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数，即可得出各购买方案 解：（1）设 A 类书的单价为 x 元，B 类书的单价为 y 元， 依题意得：， 解得： 答：A 类书的单价为 22 元，B 类书的单价为 30 元 （2）设购买 A 类书 m 本，则购买 B 类书（34m）本， 依题意得：，

32、解得：15m17 又m 为正整数， m 可以为 15，16，17， 该学校共有 3 种购买方案， 方案 1：购买 A 类书 15 本，B 类书 19 本； 方案 2：购买 A 类书 16 本，B 类书 18 本； 方案 3：购买 A 类书 17 本，B 类书 17 本 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 23（8 分）如图，A（3，0），B（0，4），将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90，点 B 的对应点 B恰好在反比例函数 y（k0）的图象上 （1

33、）求 k 值； （2）反比例函数的图象与线段 AB 是否存在交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）如图，过点 B作 BDx 轴于点 D，利用旋转的性质证明ABDBAO（AAS），即可求得点 B的坐标，再运用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法求出直线 AB 的解析式，联立方程即可求得交点坐标 解：（1）如图，过点 B作 BDx 轴于点 D， 则ADB90， AOB90， ADBAOB，BAO+ABO90， 将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90得线段 AB， BAO+BAD90，ABAB， BADABO， ABDBAO（AAS）， BDOA3，ADOB4

34、， ODADOA431， B（1，3）， 3， k3； （2）设直线 AB 的解析式为 ymx+n， A（3，0），B（0，4）， ， 解得：， 直线 AB 的解析式为 yx4， 将 y代入 yx4，得：x4， 4x2+12x+90， 解得：x1x2， y2， 反比例函数的图象与线段 AB 有且只有一个交点，该交点坐标为（，2） 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 五解答题（每题五解答题（每题 10 分，共分，共 2 题）题） 24如图，ABC 为O 的内接三角形，AB 为O 的直径，将A

35、BC 沿直线 AB 折叠得到ABD，交O于点 D连接 CD 交 AB 于点 E，延长 BD 和 CA 相交于点 P，过点 A 作 AGCD 交 BP 于点 G （1）求证：直线 GA 是O 的切线； （2）求证：AC2GDBD； （3）若 tanAGB，PG6，求 cosP 的值 【分析】（1）欲证明直线 GA 是O 的切线，只需推知 OAGA 即可； （2） 根据折叠的性质得到： ACAD 通过相似三角形BADAGD 的对应边成比例得到： 所以 AC2AD2GDBD （3）cosP，所以需要求得线段 PD、PA 的长度；利用（2）中的 AD2GDBD 和锐角三角函数的定义求得 BD2GD；

36、根据PAGPBA 是对应边成比例得到： PA2PGPB， 即 PA26 （6+3GD） ；结合勾股定理知 PA2AD2+PD2所以 6（6+3GD）（）2+（6+GD）2利用方程思想求得答案 【解答】（1）证明：将ABC 沿直线 AB 折叠得到ABD， BCBD 点 B 在 CD 的垂直平分线上 同理得：点 A 在 CD 的垂直平分线上 ABCD 即 OACD， AGCD OAGA OA 是O 的半径， 直线 GA 是O 的切线； （2）证明：AB 为O 的直径， ACBADB90 ABD+BAD90 GAB90， GAD+BAD90 ABDGAD ADBADG90， BADAGD AD2GD

37、BD ACAD， AC2GDBD； （3）解：tanAGB，ADG90， AD2GDBD， BD2GD ， GADGBAPCD AGCD， PAGPCD PAGPBA PP， PAGPBA PA2PGPB PG6，BD2GD， PA26（6+3GD） ADP90， PA2AD2+PD2 6（6+3GD）（）2+（6+GD）2 解得：GD2 或 GD0（舍去） PD8，AP6， cosP 【点评】 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和勾股定理等知识， 在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用