2022年高考数学复习专题（一）第2讲：基本初等函数、函数与方程（含答案解析）

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1、20222022 年年高高考数学复习专题（一）考数学复习专题（一）第第 2 2 讲讲：基本初等函数、函数与方程基本初等函数、函数与方程 【要点提炼】 考点一考点一 基本初等函数的图象与性质基本初等函数的图象与性质 1指数函数 yax(a0，a1)与对数函数 ylogax(a0，a1)互为反函数，其图象关于 yx 对称，它们的图象和性质分 0a1 两种情况，着重关注两函数图象的异同 2幂函数 yx的图象和性质，主要掌握1,2,3，12，1 五种情况 【热点突破】【热点突破】 【典例】1 (1)已知 f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)

2、|g(x)时，h(x)g(x)，则 h(x)( ) A有最小值1，最大值 1 B有最大值 1，无最小值 C有最小值1，无最大值 D有最大值1，无最小值 (2)已知函数 f(x)ex2(x0 时，f(x)12x，则不等式 f(x)0，若函数 g(x)f(x)m 有两个不同的零点 x1，x2，则 x1x2等于( ) A2 B2 或 21e C2 或 3 D2 或 3 或 21e (2)设函数 f(x)是定义在 R R 上的偶函数， 且对任意的 xR R， 都有 f(x2)f(2x)， 当 x2,0时， f(x)22x1，则关于 x 的方程 f(x)log8(x2)0 在区间(2,6)上根的个数为(

3、 ) A1 B2 C3 D4 【特点突破】【特点突破】 考向考向 2 2 求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于 x 的方程 9|x2|43|x2|a0 有实数根，则实数 a 的取值范围是_ (2)已知函数 f(x) x3，xa，x26x3，xa，若函数 g(x)f(x)2x 恰有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为_ 【拓展训练】 2 (1)已知偶函数 yf(x)(xR R)满足f(x)x23x(x0)， 若函数 g(x) log2x，x0，1x，x0，则 yf(x)g(x)的零点个数为( ) A1 B3 C2 D4 (2)(多选)已知函数 f(x) x

4、2a，x0 且 a1)的大致图象可能为( ) 4(2020广东省揭阳三中模拟)已知 a，b，c 满足 4a6，b12log 4，c335，则( ) Aabc Bbca Ccab Dcba 5(2020全国)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t)K1e0.23t53，其中 K为最大确诊病典例数当 I(t*)0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 193)( ) A60 B63 C66 D69 6(2020泉州模拟)若函数 yloga(x2

5、ax1)有最小值，则 a 的取值范围是( ) A1a2 B0a2，a1 C0a0，2x24x1，x0 (e 为自然对数的底数)，若函数 g(x)f(x)kx 恰好有两个零点，则实数 k 等于( ) A2e Be Ce D2e 8 已知函数f(x) a，x0，1e|x|1，x0，若关于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五个不同的解，则 a 的取值范围是( ) A(1,2) B.32，2 C.1，32 D.1，3232，2 二、多项选择题 9(2020临沂模拟)若 10a4,10b25，则( ) Aab2 Bba1 Cab8lg22 Dbalg 6 10已知函数 f(x)loga(x1

6、)，g(x)loga(1x)，a0，a1，则( ) A函数 f(x)g(x)的定义域为(1,1) B函数 f(x)g(x)的图象关于 y 轴对称 C函数 f(x)g(x)在定义域上有最小值 0 D函数 f(x)g(x)在区间(0,1)上是减函数 11 (2020 淄博模拟)已知函数 yf(x)是 R R 上的奇函数， 对于任意 xR R， 都有 f(x4)f(x)f(2)成立 当x0,2)时，f(x)2x1.给出下列结论，其中正确的是( ) Af(2)0 B点(4,0)是函数 yf(x)图象的一个对称中心 C函数 yf(x)在区间6，2上单调递增 D函数 yf(x)在区间6,6上有 3 个零点

7、 12对于函数 f(x) sin x，x0，2，12fx2x2则下列结论正确的是( ) A任取 x1，x22，)，都有|f(x1)f(x2)|1 B函数 yf(x)在4,5上单调递增 C函数 yf(x)ln(x1)有 3 个零点 D若关于 x 的方程 f(x)m(m0)恰有 3 个不同的实根 x1，x2，x3，则 x1x2x3132 三、填空题 13(2019全国)已知 f(x)是奇函数，且当 x0的最小值为_ 15定义在 R R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x) 2xx1，x0，11|x3|，x1则函数 F(x)f(x)1的所有零点之和为_ 16对于函数 f(x)与 g(x)，若

8、存在xR R|f(x)0，xR R|g(x)0，使得|1，则称函数 f(x)与 g(x)互为“零点密切函数” ，现已知函数 f(x)ex2x3 与 g(x)x2axx4 互为“零点密切函数” ，则实数 a 的取值范围是_ 20222022 年年高高考数学复习专题（一）考数学复习专题（一）第第 2 2 讲讲：基本初等函数、函数与方程基本初等函数、函数与方程 【要点提炼】 考点一考点一 基本初等函数的图象与性质基本初等函数的图象与性质 1指数函数 yax(a0，a1)与对数函数 ylogax(a0，a1)互为反函数，其图象关于 yx 对称，它们的图象和性质分 0a1 两种情况，着重关注两函数图象的

9、异同 2幂函数 yx的图象和性质，主要掌握1,2,3，12，1 五种情况 【热点突破】【热点突破】 【典例】1 (1)已知 f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则 h(x)( ) A有最小值1，最大值 1 B有最大值 1，无最小值 C有最小值1，无最大值 D有最大值1，无最小值 【答案】 C 【解析】 画出 y|f(x)|2x1|与 yg(x)1x2的图象，它们交于 A，B 两点由“规定” ，在 A，B两侧，|f(x)|g(x)，故 h(x)|f(x)|；在 A，B 之间，|f(x)|g(x)，故 h

10、(x)g(x)综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此 h(x)有最小值1，无最大值 (2)已知函数 f(x)ex2(x0)与 g(x)ln(xa)2 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是( ) A.，1e B(，e) C.1e，e D.e，1e 【答案】 B 【解析】 由题意知，方程 f(x)g(x)0 在(0，)上有解， 即 ex2ln(xa)20 在(0，)上有解， 即函数 yex与 yln(xa)的图象在(0，)上有交点 函数 yln(xa)可以看作由 yln x 左右平移得到， 当 a0 时，两函数有交点， 当 a0 时，向左平移，由图可知，将函数 yln

11、x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，)上不再有交点， 把(0,1)代入 yln(xa)，得 1ln a，即 ae，a1 和 0a1 时，两函数在定义域内都为增函数；当 0aln e12，e10，故排除 C. (2)已知函数 f(x)是定义在 R R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)12x，则不等式 f(x)0 时，f(x)12x0. 又 f(x)是定义在 R R 上的奇函数， 所以 f(x)12的解集关于原点对称，由 12x12得 2x1，则 f(x)0，若函数 g(x)f(x)m 有两个不同的零点 x1，x2，则 x1x2等于( ) A2 B2 或 21e C2 或

12、3 D2 或 3 或 21e 【答案】 D 【解析】 当 x0 时， f(x)(x1)ex， 当 x1 时，f(x)0， 故 f(x)在(，1)上单调递减， 当10， 故 f(x)在(1,0上单调递增， 所以 x0 时，f(x)的最小值为 f(1)1e. 又当 x1 时，f(x)3x，当 0 x1 时，f(x)x1. 作出 f(x)的图象， 如图所示 因为 g(x)f(x)m 有两个不同的零点， 所以方程 f(x)m 有两个不同的根，等价于直线 ym 与 f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为 x1，x2， 由图可知 1m2 或 m0 或 m1e. 若 1m2，则 x1x22；

13、若 m0，则 x1x23； 若 m1e，则 x1x2131e21e. (2)设函数 f(x)是定义在 R R 上的偶函数， 且对任意的 xR R， 都有 f(x2)f(2x)， 当 x2,0时， f(x)22x1，则关于 x 的方程 f(x)log8(x2)0 在区间(2,6)上根的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【答案】 C 【解析】 对于任意的 xR R，都有 f(2x)f(2x)， f(x4)f2(x2)f2(x2)f(x)f(x)， 函数 f(x)是一个周期函数，且 T4. 又当 x2,0时，f(x)22x1，且函数 f(x)是定义在 R R 上的偶函数， 且 f(6)1，则函数

14、 yf(x)与 ylog8(x2)在区间(2,6)上的图象如图所示， 根据图象可得 yf(x)与 ylog8(x2)在区间(2,6)上有 3 个不同的交点，即 f(x)log8(x2)0 在区间(2,6)上有 3 个根 【特点突破】【特点突破】 考向考向 2 2 求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于 x 的方程 9|x2|43|x2|a0 有实数根，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 3,0) 【解析】 设 t3|x2|(0t1)， 由题意知 at24t 在(0,1上有解， 又 t24t(t2)24(0t1)， 3t24ta，x26x3，xa，若函数 g(x)

15、f(x)2x 恰有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】 3，1)3，) 【解析】 由题意得 g(x) x32x，xa，x26x32x，xa， 即 g(x) 3x，xa，x24x3，xa， 如图所示， 因为 g(x)恰有两个不同的零点， 即 g(x)的图象与 x 轴有两个交点 若当 xa 时，g(x)x24x3 有两个零点， 则令 x24x30，解得 x3 或 x1， 则当 xa 时，g(x)3x 没有零点，所以 a3. 若当 xa 时，g(x)x24x3 有一个零点， 则当 xa 时，g(x)3x 必有一个零点， 即3a0，1x，x0，则 yf(x)g(x)的零点个数为(

16、) A1 B3 C2 D4 【答案】 B 【解析】 作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有 3 个不同的交点，所以函数 yf(x)g(x)有 3 个零点 (2)(多选)已知函数 f(x) x2a，x0 时，f(x)的图象如图所示， 当 f(f(x)0 时，f1(x)2a，f2(x)0，f3(x)a.又 f(f(x)0 有 8 个不同的实根，故 f1(x) 2a 有三个根，f2(x)0 有三个根，f3(x)a 有两个根，又 x2axxa22a24，所以2aa24且 a8 且 a0，综上可知，a8. 专题训练专题训练 一、单项选择题 1(2020全国)设 alog342，则

17、 4a等于( ) A.116 B.19 C.18 D.16 【答案】 B 【解析】 方法一 因为 alog342， 所以 log34a2， 所以 4a329， 所以 4a14a19. 方法二 因为 alog342， 所以 a2log342log43log432log49， 所以 4a4log 9414log 949119. 2函数 f(x)ln x2x6 的零点一定位于区间( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 【答案】 B 【解析】 函数 f(x)ln x2x6 在其定义域上连续且单调， f(2)ln 2226ln 220， 故函数 f(x)ln x2x6 的零点在区

18、间(2,3)上 3在同一直角坐标系中，函数 f(x)2ax 和 g(x)loga(x2)(a0 且 a1)的大致图象可能为( ) 【答案】 A 【解析】 由题意知，当 a0 时，函数 f(x)2ax 为减函数若 0a1，则函数 f(x)2ax 的零点 x02a(0,2)，且函数 g(x)loga(x2)在(2，)上为增函数故 A 正确 4(2020广东省揭阳三中模拟)已知 a，b，c 满足 4a6，b12log 4，c335，则( ) Aabc Bbca Ccab Dcb4，a1，b12log 42，c3351,0ccb. 5(2020全国)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流

19、行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t)K1e0.23t53，其中 K为最大确诊病典例数当 I(t*)0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 193)( ) A60 B63 C66 D69 【答案】 C 【解析】 因为 I(t)K1e0.23t53， 所以当 I(t*)0.95K 时，*0.23531 etK0.95K， 即*0.235311 et0.95， 即 1*0.2353et10.95， 即*0.2353et10.951， *0.2353et19， 0.23(t*53)ln 19，

20、 t*ln 190.235330.235366. 6(2020泉州模拟)若函数 yloga(x2ax1)有最小值，则 a 的取值范围是( ) A1a2 B0a2，a1 C0a1，且 u(x)min0，a240， 1a2，a 的取值范围是 1a0，2x24x1，x0 (e 为自然对数的底数)，若函数 g(x)f(x)kx 恰好有两个零点，则实数 k 等于( ) A2e Be Ce D2e 【答案】 C 【解析】 g(x)f(x)kx0，即 f(x)kx，如图所示，画出函数 yf(x)和 ykx 的图象， 2x24x1kx， 即 2x2(4k)x10， 设方程的两根为 x1，x2， 则(4k)28

21、0，且 x1x212， 故 g(x)在 x0 时相切 当 x0 时，设切点为(x0，kx0)，f(x)ex， f(x)ex，f(x0)0exk，0exkx0， 解得 x01，ke. 8 已知函数f(x) a，x0，1e|x|1，x0，若关于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五个不同的解，则 a 的取值范围是( ) A(1,2) B.32，2 C.1，32 D.1，3232，2 【答案】 D 【解析】 作出 f(x)1e|x|1，x0 的图象如图所示 设 tf(x)，则原方程化为 2t2(2a3)t3a0， 解得 t1a，t232. 由图象可知，若关于 x 的方程 2f2(x)(2a

22、3)f(x)3a0 有五个不同的实数解，只有当直线 ya 与函数yf(x)的图象有三个不同的交点时才满足条件， 所以 1a0， 解得 a32，综上，得 1a8lg22 Dbalg 6 【答案】 ACD 【解析】 由 10a4,10b25，得 alg 4，blg 25，则 ablg 4lg 25lg 1002，故 A 正确；balg 25lg 4lg 254lg 6 且 lg 254 4lg 2lg 48lg22，故 C 正确 10已知函数 f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，a0，a1，则( ) A函数 f(x)g(x)的定义域为(1,1) B函数 f(x)g(x)的图象关于

23、y 轴对称 C函数 f(x)g(x)在定义域上有最小值 0 D函数 f(x)g(x)在区间(0,1)上是减函数 【答案】 AB 【解析】 f(x)loga(x1)， g(x)loga(1x)， a0， a1， f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，由 x10 且 1x0 得1x1，故 A 对；由 f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)f(x)g(x)，得函数 f(x)g(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称，B 对；1x1，f(x)g(x)loga(1x2)，y1x2在0,1)上单调递减， 由复合函数的单调性可知， 当 0a1 时，函数 f(x)g(x)在0,1)上单调递

24、减，无最小值，故 C错；f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，当 0a1时， f(x)loga(x1)在(0,1)上单调递增，g(x)loga(1x)在(0,1)上单调递减，函数 f(x)g(x)在(0,1)上单调递增，故 D 错 11 (2020 淄博模拟)已知函数 yf(x)是 R R 上的奇函数， 对于任意 xR R， 都有 f(x4)f(x)f(2)成立 当x0,2)时，f(x)2x1.给出下列结论，其中正确的是( ) Af(2)0 B点(4,0)是函数 yf(x)图象的一个对称中心 C函数 yf(x)在区间6，2上单调递增 D函数 yf(x)在区间6,6上有 3 个零点

25、【答案】 AB 【解析】 对于 A，因为 f(x)为奇函数且对任意 xR R，都有 f(x4)f(x)f(2)，令 x2，则 f(2)f(2)f(2)0，故 A 正确；对于 B，由 A 知，f(2)0，则 f(x4)f(x)，则 4 为 f(x)的一个周期，因为 f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心，故 B 正确；对于 C，因为 f(6)0，f(5)f(54)f(1)f(1)1，6f(5)，所以 f(x)在区间6，2上不是单调递增的，故 C 错误；对于 D，因为 f(0)0，f(2)0，所以 f(2)0，又 4 为f(x)的一个周期，所以

26、f(4)0，f(6)0，f(4)0， f(6)0，所以函数 yf(x)在区间6,6上有 7 个零点，故 D 错误 12对于函数 f(x) sin x，x0，2，12fx2x2则下列结论正确的是( ) A任取 x1，x22，)，都有|f(x1)f(x2)|1 B函数 yf(x)在4,5上单调递增 C函数 yf(x)ln(x1)有 3 个零点 D若关于 x 的方程 f(x)m(m0)恰有 3 个不同的实根 x1，x2，x3，则 x1x2x3132 【答案】 ACD 【解析】 f(x) sin x，x0，2，12fx2x2的图象如图所示， 当 x2，)时，f(x)的最大值为12，最小值为12，任取

27、x1，x22， )，都有|f(x1)f(x2)| 1 恒成立，故 A 正确；函数 yf(x)在4,5上的单调性和在0,1上的单调性相同，则函数 yf(x)在4,5上不单调，故 B 错误；作出 yln(x1)的图象，结合图象，易知 yln(x1)的图象与 f(x)的图象有 3 个交点，函数 yf(x)ln(x1)有 3 个零点，故 C 正确；若关于 x 的方程 f(x)m(m0)恰有 3 个不同的实根 x1，x2，x3，不妨设 x1x2x3，则 x1x23，x372，x1x2x3132，故 D 正确 三、填空题 13(2019全国)已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时，x0 时，f(x) f(

28、x)eax，所以 f(ln 2)ealn 212a8，所以 a3. 14已知函数 f(x)|lg x|，若 f(a)f(b)(ab)，则函数 g(x) x22 2x5，x0，ax22bx，x0的最小值为_ 【答案】 2 2 【解析】 因为|lg a|lg b|，所以不妨令 ab， 则有lg alg b，所以 ab1，b1a(0a0， 当 x0 时，g(x)(x 2)233，取等号时 x 2； 当 x0 时，g(x)ax2ax2ax2ax2 2， 当且仅当 x2a时，等号成立， 综上可知，g(x)min2 2. 15定义在 R R 上的奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x) 2xx1，x0，11|x3|，x1则函数 F(x)f(x)1的所有零点之和为_ 【答案】 112 【解析】 由题意知，当 x0，g30，0，1a123， 解得103a4，或 3a103，得 3a4. 故实数 a 的取值范围为3,4 方法二 因为 g()2a40， a2441， 因为 13，所以 3a4. 故实数 a 的取值范围为3,4