2022年高考数学复习专题(一)第4讲:导数的简单应用(含答案解析)
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1、20222022 年年高高考数学复习专题(一)考数学复习专题(一)第第 4 4 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用 【考情分析】【考情分析】 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点,多以选择题、填空题形式考查,难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查,难度中等偏上,属综合性问题 【要点提炼】 考点一考点一 导数的几何意义与计算导数的几何意义与计算 1导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0) 2导数的几何意义 (1)函数在某点的导数
2、即曲线在该点处的切线的斜率 (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同 (3)切点既在切线上,又在曲线上 【典例】1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x,则 f(2)的值为( ) A.74 B74 C.94 D94 (2)(2019 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 在曲线 yln x 上, 且该曲线在点 A 处的切线经过点(e,1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是_ 【拓展训练】1 (1)直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切,则 a 等于( ) Ae B2e C1 D2 (2)若函数 yf(x)的图象上
3、存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 yf(x)具有 T性质下列函数中具有 T 性质的是( ) Aysin x Byln x Cyex Dyx3 【要点提炼】 考点二考点二 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域 (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认 (3)已知函数单调性求参数范围,要注意导数等于零的情况 【热点突破】【热点突破】 【典例】2 已知 f(x)a(xln x)2x1x2,aR R.讨论 f(x)的单调性 【拓展训练】 2 (1)已知定义在R R上的函
4、数f(x)的导函数为f(x), 对任意x(0, ), 有f(x)sin xf(x)cos x,且 f(x)f(x)0,设 a2f 6,b 2f 4,cf 2,则( ) Aabc Bbca Cacb Dcb0,a1),对任意 x1,x20,1,不等式|f(x1)f(x2)| aln ae4 恒成立,则 a 的取值范围为( ) A.12,e B2,e Ce,) D(e,) 【拓展训练】3 (1)若 x1e是函数 f(x)ln xkx 的极值点,则函数 f(x)ln xkx有( ) A极小值2 B极大值2 C极小值1 D极大值1 (2)已知点M在圆C: x2y24y30上, 点N在曲线y1ln x上
5、, 则线段MN的长度的最小值为_ 专题训练专题训练 一、单项选择题 1(2020全国)函数 f(x)x42x3的图象在点(1,f(1)处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 2若函数 f(x)x2ax1x在12, 上是增函数,则 a 的取值范围是( ) A1,0 B1,) C0,3 D3,) 3已知函数 f(x)满足 f(x)f(1)ex1f(0)x12x2,则 f(x)的单调递增区间为( ) A(,0) B(,1) C(1,) D(0,) 4设函数 f(x)定义在区间(0,)上,f(x)是函数 f(x)的导函数,f(x)xln xf(x)0,则不等式ln xfx
6、0 的解集是( ) A.13, B(1,) C.0,13 D(0,1) 5若对x1,x2(m,),且 x1x2,都有x1ln x2x2ln x1x2x11,则 m 的最小值是( ) 注:(e 为自然对数的底数,即 e2.718 28) A.1e Be C1 D.3e 6 已知直线 l 既是曲线 C1: yex的切线, 又是曲线 C2: y14e2x2的切线, 则直线 l 在 x 轴上的截距为( ) A2 B1 Ce2 De2 二、多项选择题 7(2020唐山模拟)设函数 f(x)exln x,则下列说法正确的是( ) Af(x)的定义域是(0,) B当 x(0,1)时,f(x)的图象位于 x
7、轴下方 Cf(x)存在单调递增区间 Df(x)有且仅有两个极值点 8已知 f(x)ex2x2有且仅有两个极值点,分别为 x1,x2(x1x2),则下列不等式中正确的有(参考数据:ln 20.693 1,ln 31.098 6)( ) Ax1x2114 Cf(x1)f(x2)0 三、填空题 9已知函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)x2aln x 在(1,2)上为增函数,则 a 的值等于_ 10已知函数 f(x)x1exax 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是_ 11(2020北京市第 171 中学模拟)已知函数 f(x)e2x3,g(x)14ln x2,若 f(
8、m)g(n)成立,则 nm的最小值为_ 12已知函数 f(x)mx22x2ex,m1,e,x1,2,g(m)f(x)maxf(x)min,则关于 m 的不等式 g(m)4e2的解集为_ 四、解答题 13设函数 f(x)ax32x2xc(a0) (1)当 a1,且函数 f(x)的图象过点(0,1)时,求函数 f(x)的极小值; (2)若 f(x)在(,)上无极值点,求 a 的取值范围 14已知函数 f(x)ln xa2x2ax(aR R) (1)当 a1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(1,)上是减函数,求实数 a 的取值范围 20222022 年年高高考数学复习
9、专题(一)考数学复习专题(一)第第 4 4 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用 【考情分析】【考情分析】 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点,多以选择题、填空题形式考查,难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查,难度中等偏上,属综合性问题 【要点提炼】 考点一考点一 导数的几何意义与计算导数的几何意义与计算 1导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) (3)fxgxfxgxfxgxgx2(g(x)0) 2导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率 (2)曲
10、线在某点的切线与曲线过某点的切线不同 (3)切点既在切线上,又在曲线上 【典例】1 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x,则 f(2)的值为( ) A.74 B74 C.94 D94 【答案】 B 【解析】 f(x)x23xf(2)ln x, f(x)2x3f(2)1x, 令 x2,得 f(2)43f(2)12, 解得 f(2)74. (2)(2019 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A 在曲线 yln x 上, 且该曲线在点 A 处的切线经过点(e,1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是_ 【答案】 (e,1) 【解
11、析】 设 A(x0,ln x0),又 y1x, 则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yln x01x0(xx0), 将(e,1)代入得,1ln x01x0(ex0), 化简得 ln x0ex0,解得 x0e, 则点 A 的坐标是(e,1) 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异,过点 P 的切线中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必以点 P 为切点 【拓展训练】1 (1)直线 2xy10 与曲线 yaexx 相切,则 a 等于( ) Ae B2e C1 D2 【答案】 C 【解析】 设切点为(n,a
12、enn),因为 yaex1, 所以切线的斜率为 aen1, 切线方程为 y(aenn)(aen1)(xn), 即 y(aen1)xaen(1n), 依题意切线方程为 y2x1, 故 aen12,aen1n1,解得 a1,n0. (2)若函数 yf(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 yf(x)具有 T性质下列函数中具有 T 性质的是( ) Aysin x Byln x Cyex Dyx3 【答案】 A 【解析】 对函数 ysin x 求导,得 ycos x,当 x0 时,该点处切线 l1的斜率 k11,当 x时,该点处切线 l2的斜率 k21,所以 k1k21,
13、所以 l1l2;对函数 yln x 求导,得 y1x恒大于 0,斜率之积不可能为1; 对函数 yex求导, 得 yex恒大于 0, 斜率之积不可能为1; 对函数 yx3求导,得 y3x2恒大于等于 0,斜率之积不可能为1. 【要点提炼】 考点二考点二 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域 (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认 (3)已知函数单调性求参数范围,要注意导数等于零的情况 【热点突破】【热点突破】 【典例】2 已知 f(x)a(xln x)2x1x2,aR R.讨论 f(
14、x)的单调性 【解析】 f(x)的定义域为(0,), f(x)aax2x22x3ax22x1x3. 若 a0,当 x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增, x(1,)时,f(x)0,f(x)ax1x3x2ax2a. (1)当 0a1, 当 x(0,1)或 x2a, 时,f(x)0,f(x)单调递增, 当 x1,2a时,f(x)2 时,02a0,f(x)单调递增,当 x2a,1 时,f(x)0,f(x)单调递减 综上所述,当 a0 时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减; 当 0a2 时,f(x)在0,2a内单调递增,在2a,1 内单调递减,在(1,)内单调递增 易错提醒
15、 (1)在求单调区间时“定义域优先” (2)弄清参数对 f(x)符号的影响,分类讨论要不重不漏 【拓展训练】 2 (1)已知定义在R R上的函数f(x)的导函数为f(x), 对任意x(0, ), 有f(x)sin xf(x)cos x,且 f(x)f(x)0,设 a2f 6,b 2f 4,cf 2,则( ) Aabc Bbca Cacb Dcb0, 所以函数 g(x)在区间(0,)上是增函数, 因为 f(x)f(x)0, 即 f(x)f(x),g(x)fxsin xfxsin x, 所以函数 g(x)是偶函数, 所以 g6g4g2g2, 代入【解析】式得到 2f 6 2f 4f 2, 故 ab
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