2022年高考数学复习专题（二）第1讲：平面向量（含答案解析）

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1、20222022 年高考数学复习专题（年高考数学复习专题（二二）第第 1 1 讲讲 平面向量平面向量 【要点提炼】【要点提炼】 考点一考点一 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 1平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连” 对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点” ，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果 2在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比 【热点突破】 【典例】1 (1)如图所示，AD 是ABC 的中线，O 是 AD 的中点，若COABAC，其中

2、，R R，则的值为( ) A12 B.12 C14 D.14 (2)已知 e e1，e e2是不共线向量，a ame e12e e2，b bne e1e e2，且 mn0.若 a ab b，则mn_. (3)A，B，C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D，若OCOAOB(R R，R R)，则的取值范围是_ 【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，BC 的中点，连接 CE，DF，交于点 G.若CGCDCB(，R R)，则_. (2)如图，在扇形 OAB 中，AOB3，C 为弧 AB 上的一个动点，若OCxOAyOB，则 x3y 的

3、取值范围是_ 【要点提炼】【要点提炼】 考点二考点二 平面向量的数量积平面向量的数量积 1若 a a(x，y)，则|a a| a aa a x2y2. 2若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12. 3若 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，为 a a 与 b b 的夹角， 则 cos a ab b|a a|b b|x1x2y1y2x21y21x22y22. 【热点突破】 【典例】 2 (1)(2020 全国)已知向量 a a， b b 满足|a a|5， |b b|6， a a b b6， 则 cos a a， a ab b 等于( ) A3135 B19

4、35 C.1735 D.1935 (2)已知扇形 OAB 的半径为 2，圆心角为23，点 C 是弧 AB 的中点，OD12OB，则CDAB的值为( ) A3 B4 C3 D4 (3)已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD2CD2，ADC90，若点 M 在线段 AC 上，则|MBMD|的取值范围为_ 【拓展训练】2 (1)(2019全国)已知非零向量 a a，b b 满足|a a|2|b b|，且(a ab b)b b，则 a a 与 b b 的夹角为( ) A.6 B.3 C.23 D.56 (2)(2020新高考全国)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则APAB 的

5、取值范围是( ) A(2,6) B(6,2) C(2,4) D(4,6) (3)设 A，B，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且OAOB，则(OCOA)(OCOB)的最大值是( ) A1 2 B1 2 C. 21 D1 专题训练 一、单项选择题 1已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 为边 CD 的中点，则BE等于( ) A12ABAD B.12ABAD C.AB12AD D.AB12AD 2(2020广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为3，每只胳膊的拉力大小均为 400 N，则该学生的体重(单

6、位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g10 m/s2， 31.732)( ) A63 B69 C75 D81 3已知向量 a a(1,2)，b b(2，2)，c c(，1)，若 c c(2a ab b)，则等于( ) A2 B1 C12 D.12 4(2020潍坊模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P( 3，1)，将向量OP绕点 O 按逆时针方向旋转2后得到向量OQ，则点 Q 的坐标是( ) A( 2，1) B(1， 2) C( 3，1) D(1， 3) 5(2020泰安模拟)如图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N

7、，若ABmAM，ACnAN，则 mn 等于( ) A0 B1 C2 D3 6在同一平面中，ADDC，BE2ED.若AEmABnAC(m，nR R)，则 mn 等于( ) A.23 B.34 C.56 D1 7若 P 为ABC 所在平面内一点，且|PAPB|PAPB2PC|，则ABC 的形状为( ) A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 8已知 P 是边长为 3 的等边三角形 ABC 外接圆上的动点，则|PAPB2PC的最大值为( ) A2 3 B3 3 C4 3 D5 3 9如图，圆 O 是边长为 2 3的等边三角形 ABC 的内切圆，其与 BC 边相切于点 D，点 M

8、为圆上任意一点，BMxBAyBD(x，yR R)，则 2xy 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C2 D2 2 二、多项选择题 10(2020长沙模拟)已知 a a，b b 是单位向量，且 a ab b(1，1)，则( ) A|a ab b|2 Ba a 与 b b 垂直 Ca a 与 a ab b 的夹角为4 D|a ab b|1 11设向量 a a(k,2)，b b(1，1)，则下列叙述错误的是( ) A若 k2，则 a a 与 b b 的夹角为钝角 B|a a|的最小值为 2 C与 b b 共线的单位向量只有一个为22，22 D若|a a|2|b b|，则 k2 2或2 2 12已知

9、ABC 是边长为 2 的等边三角形，D，E 分别是 AC，AB 上的两点，且AEEB，AD2DC，BD 与 CE 交于点 O，则下列说法正确的是( ) A.ABCE1 B.OEOC0 0 C|OAOBOC|32 D.ED在BC方向上的投影为76 三、填空题 13(2020全国)已知单位向量 a a，b b 的夹角为 45，ka ab b 与 a a 垂直，则 k_. 14在ABC 中，AB1，ABC60，ACAB1，若 O 是ABC 的重心，则BOAC_. 15(2020石家庄模拟)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 O 为ABC 的外接圆的圆心，A3，且

10、AOABAC，则的最大值为_ 16(2020浙江)已知平面单位向量 e e1，e e2满足|2e e1e e2| 2，设 a ae e1e e2，b b3e e1e e2，向量 a a，b b 的夹角为，则 cos2的最小值是_ 20222022 年高考数学复习专题（年高考数学复习专题（二二）第第 1 1 讲讲 平面向量平面向量 【要点提炼】【要点提炼】 考点一考点一 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 1平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连” 对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点” ，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果 2在

11、一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比 【热点突破】 【典例】1 (1)如图所示，AD 是ABC 的中线，O 是 AD 的中点，若，其中，R R，则的值为( ) A12 B.12 C14 D.14 【答案】 A 【解析】 由题意知，12()12 14()121434， 则14，34，故12. (2)已知 e e1，e e2是不共线向量，a ame e12e e2，b bne e1e e2，且 mn0.若 a ab b，则mn_. 【答案】 2 【解析】 a ab b，m(1)2n，mn2. (3)A，B，C 是圆

12、 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D，若(R R，R R)，则的取值范围是_ 【答案】 (1，) 【解析】 由题意可得， kkk(0k1，即的取值范围是(1，) 易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化 【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，BC 的中点，连接 CE，DF，交于点 G.若(，R R)，则_. 【答案】 12 【解析】 由题意可设x(0 x1)， 则x()xx2x. 因为，与不共线， 所以x2，x，所以12. (2)如图， 在扇形 OAB 中， AOB3， C

13、 为弧 AB 上的一个动点， 若xy， 则 x3y 的取值范围是_ 【答案】 1,3 【解析】 设扇形的半径为 1，以 OB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则 B(1,0)，A12，32，C(cos ，sin ) 其中BOC，03. 则(cos ，sin )x12，32y(1,0)， 即 x2ycos ，32xsin ， 解得 x2 3sin 3，ycos 3sin 3， 故 x3y2 3sin 33cos 3sin 3cos 33sin ，03. 令 g()3cos 33sin ， 易知 g()3cos 33sin 在0，3上单调递减， 故当0 时，g()取

14、得最大值为 3， 当3时，g()取得最小值为 1， 故 x3y 的取值范围为1,3 【要点提炼】【要点提炼】 考点二考点二 平面向量的数量积平面向量的数量积 1若 a a(x，y)，则|a a| a aa a x2y2. 2若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|x2x12y2y12. 3若 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，为 a a 与 b b 的夹角， 则 cos a ab b|a a|b b|x1x2y1y2x21y21x22y22. 【热点突破】 【典例】 2 (1)(2020 全国)已知向量 a a， b b 满足|a a|5， |b b|6， a a b b6， 则

15、 cos a a， a ab b 等于( ) A3135 B1935 C.1735 D.1935 【答案】 D 【解析】 |a ab b|2(a ab b)2a a22a ab bb b2 25123649， |a ab b|7， cosa a，a ab ba aa ab b|a a|a ab b|a a2a ab b|a a|a ab b| 256571935. (2)已知扇形 OAB 的半径为 2，圆心角为23，点 C 是弧 AB 的中点，12，则的值为( ) A3 B4 C3 D4 【答案】 C 【解析】 如图，连接 CO， 点 C 是弧 AB 的中点， COAB， 又OAOB2，12，

16、AOB23， () 1212() 12122 1222121243. (3)已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD2CD2，ADC90，若点 M 在线段 AC 上，则|的取值范围为_ 【答案】 2 55，2 2 【解析】 以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)， 设(01)，则 M(，2)， 故(，22)，(2，2)， 则(22，24)， |222242 2035245，01， 当0 时，|取得最大值为 2 2， 当35时，|取得最小值为2 55， |2 55，2 2 . 易错

17、提醒 两个向量的夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是 0 或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线 【拓展训练】2 (1)(2019全国)已知非零向量 a a，b b 满足|a a|2|b b|，且(a ab b)b b，则 a a 与 b b 的夹角为( ) A.6 B.3 C.23 D.56 【答案】 B 【解析】 方法一 设 a a 与 b b 的夹角为， 因为(a ab b)b b，所以(a ab b)b ba ab b|b b|20， 又因为|a a|2|b b|，所以 2|b b|2cos |b b|20，

18、 即 cos 12， 又0，所以3，故选 B. 方法二 如图，令a a，b b，则a ab b. 因为(a ab b)b b，所以OBA2， 又|a a|2|b b|，所以AOB3， 即 a a 与 b b 的夹角为3，故选 B. (2)(2020新高考全国)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 的取值范围是( ) A(2,6) B(6,2) C(2,4) D(4,6) 【答案】 A 【解析】 如图，取 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 则 A(0,0)，B(2,0)，C(3， 3)，F(1， 3) 设 P(x，y)，则(x，y)，(2,0

19、)，且1x3. 所以(x，y)(2,0)2x(2,6) (3)设 A，B，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且，则()()的最大值是( ) A1 2 B1 2 C. 21 D1 【答案】 A 【解析】 如图，作出，使得.则()()21()1 ，由图可知，当点 C在 OD 的反向延长线与圆 O 的交点处时， 取得最小值，最小值为 2，此时()()取得最大值，最大值为 1 2.故选 A. 专题训练 一、单项选择题 1已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 为边 CD 的中点，则等于( ) A12 B.12 C.12 D.12 【答案】 A 【解析】 由题意可知，12. 2(2020广州模拟

20、)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为3，每只胳膊的拉力大小均为 400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g10 m/s2， 31.732)( ) A63 B69 C75 D81 【答案】 B 【解析】 设该学生的体重为 m，重力为 G G，两臂的合力为 F F，则|G G|F F|，由余弦定理得|F F|2400240022400400cos 2334002，|F F|400 3，|G G|mg400 3，m40 369 kg. 3已知向量 a a(1,2)，b b(2，2)，c

21、 c(，1)，若 c c(2a ab b)，则等于( ) A2 B1 C12 D.12 【答案】 A 【解析】 a a(1,2)，b b(2，2)，2a ab b(4,2)，又 c c(，1)，c c(2a ab b)，240，解得2，故选 A. 4(2020潍坊模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P( 3，1)，将向量绕点 O 按逆时针方向旋转2后得到向量，则点 Q 的坐标是( ) A( 2，1) B(1， 2) C( 3，1) D(1， 3) 【答案】 D 【解析】 由 P( 3，1)，得 P2cos 6，2sin 6， 将向量绕点 O 按逆时针方向旋转2后得到向量， Q2cos62，

22、2sin62， 又 cos62sin 612， sin62cos 632， Q(1， 3) 5(2020泰安模拟)如图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若m，n，则 mn 等于( ) A0 B1 C2 D3 【答案】 C 【解析】 如图，连接 AO，由 O 为 BC 的中点可得，12() m2n2， M，O，N 三点共线， m2n21. mn2. 6在同一平面中，2.若mn(m，nR R)，则 mn 等于( ) A.23 B.34 C.56 D1 【答案】 A 【解析】 由题意得，12，13，故12131213()12131

23、313，所以 m13，n13，故 mn23. 7若 P 为ABC 所在平面内一点，且|2|，则ABC 的形状为( ) A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 【答案】 C 【解析】 |2|，|()()|，即|，两边平方整理得， 0，ABC 为直角三角形故选 C. 8已知 P 是边长为 3 的等边三角形 ABC 外接圆上的动点，则的最大值为( ) A2 3 B3 3 C4 3 D5 3 【答案】 D 【解析】 设ABC 的外接圆的圆心为 O， 则圆的半径为33212 3， 0 0， 故24. 又2518512475， 故5 3， 当，同向共线时取最大值 9如图，圆 O 是边长

24、为 2 3的等边三角形 ABC 的内切圆，其与 BC 边相切于点 D，点 M 为圆上任意一点，xy(x，yR R)，则 2xy 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C2 D2 2 【答案】 C 【解析】 方法一 如图，连接 DA，以 D 点为原点，BC 所在直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系设内切圆的半径为 r，则圆心为坐标(0，r)， 根据三角形面积公式，得12lABCr12ABACsin 60(lABC为ABC 的周长)，解得 r1. 易得 B( 3，0)，C( 3，0)，A(0,3)，D(0,0)， 设 M(cos ，1sin )，0,2)， 则(c

25、os 3，1sin )，( 3，3)，( 3，0)， 故(cos 3，1sin )( 3x 3y,3x)， 故 cos 3x 3y 3，sin 3x1， 则 x1sin 3，y3cos 3sin 323， 所以 2xy3cos 3sin 34323sin3432. 当6时等号成立故 2xy 的最大值为 2. 方法二 因为xy， 所以|23(4x22xyy2)3(2xy)22xy 由题意知，x0，y0， |的最大值为2 32323， 又2xy242xy，即2xy242xy， 所以 334(2xy)29，得 2xy2， 当且仅当 2xy1 时取等号 二、多项选择题 10(2020长沙模拟)已知 a

26、 a，b b 是单位向量，且 a ab b(1，1)，则( ) A|a ab b|2 Ba a 与 b b 垂直 Ca a 与 a ab b 的夹角为4 D|a ab b|1 【答案】 BC 【解析】 |a ab b| 1212 2，故 A 错误；因为 a a，b b 是单位向量，所以|a a|2|b b|22a ab b112a ab b2，得 a ab b0，a a 与 b b 垂直，故 B 正确；|a ab b|2a a2b b22a ab b2，|a ab b| 2，故 D 错误；cosa a，a ab ba aa ab b|a a|a ab b|a a2a ab b1 222，所以

27、a a 与 a ab b 的夹角为4，故 C 正确 11设向量 a a(k,2)，b b(1，1)，则下列叙述错误的是( ) A若 k2，则 a a 与 b b 的夹角为钝角 B|a a|的最小值为 2 C与 b b 共线的单位向量只有一个为22，22 D若|a a|2|b b|，则 k2 2或2 2 【答案】 CD 【解析】 对于 A 选项，若 a a 与 b b 的夹角为钝角，则 a ab b0 且 a a 与 b b 不共线，则 k20 且 k2，解得k2 且 k2， A 选项正确；对于 B 选项，|a a| k24 42，当且仅当 k0 时等号成立，B 选项正确；对于C选项， |b b

28、| 2， 与b b共线的单位向量为b b|b b|， 即与b b共线的单位向量为22，22或22，22，C 选项错误；对于 D 选项，|a a|2|b b|2 2， k242 2，解得 k2，D 选项错误 12已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，D，E 分别是 AC，AB 上的两点，且，2，BD 与 CE 交于点 O，则下列说法正确的是( ) A.1 B.0 0 C|32 D.在方向上的投影为76 【答案】 BCD 【解析】 因为，ABC 是等边三角形， 所以 CEAB，所以0，选项 A 错误； 以 E 为坐标原点， ，的方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 所以

29、 E(0,0)，A(1,0)，B(1,0)，C(0， 3)，D13，2 33， 设 O(0，y)，y(0， 3)， 则(1，y)，13，y2 33， 又，所以 y2 3313y，解得 y32， 即 O 是 CE 的中点，0 0，所以选项 B 正确； |2|32， 所以选项 C 正确； 13，2 33，(1， 3)，在方向上的投影为132276，所以选项 D 正确 三、填空题 13(2020全国)已知单位向量 a a，b b 的夹角为 45，ka ab b 与 a a 垂直，则 k_. 【答案】 22 【解析】 由题意知(ka ab b)a a0，即 ka a2b ba a0. 因为 a a，b

30、 b 为单位向量，且夹角为 45， 所以 k1211220，解得 k22. 14在ABC 中，AB1，ABC60， 1，若 O 是ABC 的重心，则_. 【答案】 5 【解析】 如图所示，以 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 AB1，ABC60， A12，32.设 C(a,0) 1， a12，3212，32 12a12341，解得 a4. O 是ABC 的重心，延长 BO 交 AC 于点 D， 232312 1312，324，032，36. 32，3672，325. 15(2020石家庄模拟)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点

31、O 为ABC 的外接圆的圆心，A3，且，则的最大值为_ 【答案】 19 【解析】 ABC 是锐角三角形， O 在ABC 的内部， 01,01. 由()()， 得(1)， 两边平方后得，(1)22()2 22222 ， A3，BOC23，又|. (1)222， 132()， 01,01，134 ， 设 t，3t24t10，解得 t1(舍)或 t13， 即 1319，的最大值是19. 16(2020浙江)已知平面单位向量 e e1，e e2满足|2e e1e e2| 2，设 a ae e1e e2，b b3e e1e e2，向量 a a，b b 的夹角为，则 cos2的最小值是_ 【答案】 2829 【解析】 设 e e1(1,0)，e e2(x，y)， 则 a a(x1，y)，b b(x3，y) 由 2e e1e e2(2x，y)， 故|2e e1e e2|2x2y2 2， 得(x2)2y22. 又有 x2y21，得(x2)21x22， 化简，得 4x3，即 x34，因此34x1. cos2a ab b|a a|b b|2 x1x3y2x12y2x32y22 4x42x2 6x1024x12x13x5 4x13x5433x5833x543833x5， 当 x34时，cos2有最小值，为434133452829.