2022年高考数学复习专题(三)第2讲:数列求和及其综合应用(含答案解析)
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1、20222022 年高考数学复习专题(三)年高考数学复习专题(三)第第 2 2 讲讲 数列求和及其综合应用数列求和及其综合应用 【要点提炼】 考点一 数列求和 1裂项相消法就是把数列的每一项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项抵消,有的是间隔项抵消常见的裂项方式有: 1nn11n1n1;1nnk1k1n1nk;1n21121n11n1;14n211212n112n1. 2 如果数列an是等差数列, bn是等比数列, 那么求数列an bn的前 n 项和 Sn时, 可采用错位相减法 用错位相减法求和时,应注意:(1)等比数列的公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”
2、和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” ,以便准确写出“SnqSn”的表达式 【特点突破】 考向 1 分组转化法求和 【典例】1 已知在等比数列an中,a12,且 a1,a2,a32 成等差数列 (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足 bn1an2log2an1,求数列bn的前 n 项和 Sn. 考向 2 裂项相消法求和 【典例】2 (2020莆田市第一联盟体学年联考)设数列an的前 n 项和为 Sn,且 Snn22n,bn为正项等比数列,且 b1a13,b36a42. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)设 cn1an1log2bn1,求cn的前 n 项和 Tn
3、. 考向 3 错位相减法求和 【典例】3 已知数列an的前 n 项和为 Sn,a12,an0,且 a2n12an1an3a2n0. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bnlog3(1Sn),求数列anbn的前 n 项和 Tn. 【拓展训练】1 (1)已知函数 f(n) n2,n为奇数,n2,n为偶数,且 anf(n)f(n1),则 a1a2a3a8等于( ) A16 B8 C8 D16 (2)(2020武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为23的数列an满足 2(2n1)anan1an1an,则 a1a2a3a2 020等于( ) A.8 0804 041 B.4 0784 040 C.4
4、 0404 041 D.4 0394 040 (3)已知数列an和bn满足 a12,b11,an12an(nN N*),b112b213b31nbnbn11(nN N*) 求数列an与bn的通项公式; 记数列anbn的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 【要点提炼】 考点二 数列的综合问题 数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向,此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系,通过放缩进行等式的证明 【热点突破】 【典例】4 (1)(2020日照模拟)如图,在直角坐标系 xOy 中,一个质点从 A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过 B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,
5、a8),按此规律一直运动下去,则 a2 017a2 018 a2 019a2 020等于( ) A2 017 B2 018 C2 019 D2 020 (2)(2020洛阳第一高级中学月考)已知数列an满足 a112a21nann2n(nN N*),设数列bn满足 bn2n1anan1,数列bn的前 n 项和为 Tn,若 Tnnn1(nN N*)恒成立,则的取值范围是( ) A.14, B.14, C.38, D.38, 【拓展训练】 2 (1)(2020 中国人民大学附属中学模拟)在数列an中, 已知 ann2n, nN N*, 则 “a1a2”是“an是单调递增数列”的( ) A充分不必要
6、条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)设曲线 y2 020 xn1(nN N*)在点(1,2 020)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 anlog2 020 xn,则a1a2a2 019的值为( ) A2 020 B2 019 C1 D1 专题训练专题训练 一、单项选择题 1(2020聊城模拟)数列 1,6,15,28,45,中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么第 10 个六边形数为( ) A153 B190 C231 D276 2 已知数列an满足 an1anan1(n2, nN N*), a11, a22, Sn为数列a
7、n的前 n 项和, 则 S2 020等于( ) A3 B2 C1 D0 3已知数列an,bn满足 a1b11,an1anbn1bn3,nN N*,则数列ban的前 10 项和为( ) A.12(3101) B.18(9101) C.126(2791) D.126(27101) 4已知数列an和bn的首项均为 1,且 an1an(n2),an1an,数列bn的前 n 项和为 Sn,且满足 2SnSn1anbn10,则 S2 021等于( ) A2 021 B.12 021 C4 041 D.14 041 5定义在0,)上的函数 f(x)满足:当 0 xan DTn0) 所以 q2b3b116,即
8、 q4, 所以 bnb1qn124n122n1,nN N*. (2)因为 an12(n1)32n1,bn122n1. 所以 cn1an1log2bn112n1log222n1 12n12n11212n112n1. 所以 Tnc1c2c3cn 121131315151712n112n1 12112n1n2n1.所以 Tnn2n1. 考向 3 错位相减法求和 【典例】3 已知数列an的前 n 项和为 Sn,a12,an0,且 a2n12an1an3a2n0. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bnlog3(1Sn),求数列anbn的前 n 项和 Tn. 【解析】 (1)由 a2n12an1a
9、n3a2n0 及 an0, 得an1an22an1an30, 解得an1an3 或an1an1(舍), 所以an是等比数列,且公比 q3, 又 a12,所以 an23n1,nN N*. (2)因为 Sn213n133n1, 所以 bnlog3(1Sn)n,则 anbn2n3n1, 所以 Tn230431632(2n2)3n22n3n1, 所以 3Tn231432633(2n2)3n12n3n, ,得(13)Tn223123223323n12n3n213n132n3n(12n)3n1, 所以 Tnn123n12. 【方法总结】 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的
10、和差 (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分,可以产生相互抵消的项 (3)错位相减法求和,主要用于求anbn的前 n 项和,其中an,bn分别为等差数列和等比数列 【拓展训练】1 (1)已知函数 f(n) n2,n为奇数,n2,n为偶数,且 anf(n)f(n1),则 a1a2a3a8等于( ) A16 B8 C8 D16 【答案】 C 【解析】 当 n 为奇数时,n1 为偶数,则 ann2(n1)22n1,所以 a1a3a5a7(371115)36.当 n 为偶数时,n1 为奇数,则 ann2(n1)22n1,则 a2a4a6a859131744.所以 a1a2a3a836448,故选 C.
11、 (2)(2020武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为23的数列an满足 2(2n1)anan1an1an,则 a1a2a3a2 020等于( ) A.8 0804 041 B.4 0784 040 C.4 0404 041 D.4 0394 040 【答案】 C 【解析】 依题意得 an0,由 2(2n1)anan1anan1, 等式两边同时除以 anan1可得1an11an4n2, 则当 n2 时,1an1an14n2,1an11an24n6,1a21a16, 以上式子左右两边分别相加可得 1an1a164n2n12, 即1an2n2122n12n12, 所以 an22n12n112n11
12、2n1, 当 n1 时,a123满足上式 故 a1a2a3a2 020113131514 03914 041114 0414 0404 041. (3)已知数列an和bn满足 a12,b11,an12an(nN N*),b112b213b31nbnbn11(nN N*) 求数列an与bn的通项公式; 记数列anbn的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 【解析】 由 a12,an12an,得 an2n(nN N*) 由题意知: 当 n1 时,b1b21,故 b22. 当 n2 时,1nbnbn1bn. 整理得bn1n1bnn, 又b22b11,所以 bnn(nN N*) 由知 anbnn2n, 因
13、此 Tn2222323n2n, 2Tn22223324n2n1, 所以 Tn2Tn222232nn2n1. 故 Tn(n1)2n12(nN N*) 【要点提炼】 考点二 数列的综合问题 数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向,此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系,通过放缩进行等式的证明 【热点突破】 【典例】4 (1)(2020日照模拟)如图,在直角坐标系 xOy 中,一个质点从 A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过 B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),按此规律一直运动下去,则 a2 017a2 018 a2 019a2 020等于( ) A2 0
14、17 B2 018 C2 019 D2 020 【答案】 C 【解析】 由直角坐标系可知,A(1,1),B(1,2),C(2,3),D(2,4),E(3,5),F(3,6),即 a11,a21,a31,a42,a52,a63,a72,a84, 由此可知,数列中偶数项是从 1 开始逐渐递增的,且都等于其项数除以 2;每四个数中有一个负数,且为每组的第三个数,每组的第一个数为其组数,每组的第一个数和第三个数是互为相反数, 因为 2 0204505,所以 a2 017505,a2 0181 009,a2 019505,a2 0201 010, a2 017a2 018a2 019a2 0202 01
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