2022年高考数学复习专题(四)第2讲:空间点线面的位置关系(含答案解析)
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1、20222022 年高考数学复习专题(四)年高考数学复习专题(四)第第 2 2 讲讲 空间点、线、面的位置关系空间点、线、面的位置关系 【要点提炼】 考点一 空间线、面位置关系的判定 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断,解决问题 (2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断 【热点突破】 【典例】1 (1)已知直线 a,b,平面,下列命题正确的是( ) A若,a,则 a B若a,b,c,则 abc C若a,ba,则 b D若,a,b,则 ba (2)(2019全国)如图,点 N
2、为正方形 ABCD 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段ED 的中点,则( ) ABMEN,且直线 BM,EN 是相交直线 BBMEN,且直线 BM,EN 是相交直线 CBMEN,且直线 BM,EN 是异面直线 DBMEN,且直线 BM,EN 是异面直线 【拓展训练】1 (1)若 m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A若 m,n,则 mn B若 m,n,则 mn C若 m,n,则 mn D若 m,n,则 mn (2)(多选)如图,在四面体 ABCD 中,M,N,P,Q,E 分别为 AB,BC,CD,AD,AC 的中点,则下列说法中
3、正确的是( ) AM,N,P,Q 四点共面 BQMECBD CBCDMEQ D四边形 MNPQ 为梯形 【要点提炼】 考点二 空间平行、垂直关系 平行关系及垂直关系的转化 【热点突破】 考向 1 平行、垂直关系的证明 【典例】2 (2020山西省长治第二中学月考)如图,四边形 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO底面ABCD,E 是 PC 的中点求证: (1)PA平面 BDE; (2)平面 PAC平面 BDE. 考向 2 翻折问题 【典例】3 (2020莆田第一联盟体联考)如图,正方形 ABCD 的边长为 2 2,以 AC 为折痕把ACD 折起,使点 D 到达点 P 的位置,且 PAP
4、B. (1)证明:平面 PAC平面 ABC; (2)若 M 是 PC 的中点,设PNPA(01),且三棱锥 ABMN 的体积为89,求的值 【拓展训练】2 (2019全国)图是由矩形 ADEB,RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形,其中 AB1,BEBF2,FBC60.将其沿 AB,BC 折起使得 BE 与 BF 重合,连接 DG,如图. (1)证明:图中的 A,C,G,D 四点共面,且平面 ABC平面 BCGE; (2)求图中的四边形 ACGD 的面积 专题训练专题训练 一、单项选择题 1.如图所示,平面平面l,A,B,ABlD,C,Cl,则平面 ABC 与平面的交线是( ) A
5、直线 AC B直线 AB C直线 CD D直线 BC 2设直线 m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A若 m,n,mn,则 B若 m,n,mn,则 C若 m,n,mn,则 D若 m,n,mn,则 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为棱 CD 的中点,则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 4点 E,F 分别是三棱锥 PABC 的棱 AP,BC 的中点,AB6,PC8,EF5,则异面直线 AB 与 PC 所成的角为( ) A90 B45 C30 D60 5.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N
6、 分别是 A1D1,A1B1的中点,过直线 BD 的平面平面AMN,则平面截该正方体所得截面的面积为( ) A. 2 B.98 C. 3 D.62 6 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 16 2, 点 P 在正方形 A1B1C1D1上且 A1, C 到 P 的距离分别为 2, 2 3,则直线 CP 与平面 BDD1B1所成角的正切值为( ) A.22 B.33 C.12 D.13 二、多项选择题 7 如图, 以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕, 翻折ABD 和ACD, 使得平面 ABD平面 ACD.下列结论正确的是( ) ABDAC BBAC 是等边三角形
7、 C三棱锥 DABC 是正三棱锥 D平面 ADC平面 ABC 8.如图,点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 BC1上运动,则下列四个结论正确的是( ) A三棱锥 AD1PC 的体积不变 BA1P平面 ACD1 CDPBC1 D平面 PDB1平面 ACD1 三、填空题 9.如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,平面 AB1C 与平面 A1DC1的位置关系是_ 10正方体 ABCDA1B1C1D1的棱和六个面的对角线共有 24 条,其中与体对角线 AC1垂直的有_条 11(2020全国改编)设有下列四个命题: 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内; 过空间中任意
8、三点有且仅有一个平面; 若空间两条直线不相交,则这两条直线平行; 若直线 l平面,直线 m平面,则 ml. 则上述命题中所有真命题的序号是_ 12.如图,已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F,M 分别是线段 AB,AD,AA1的中点,又 P,Q 分别在线段 A1B1,A1D1上,且 A1PA1Qx(0 x1) 设平面 MEF平面 MPQl,现有下列结论: l平面 ABCD; lAC; 直线 l 与平面 BCC1B1不垂直; 当 x 变化时,l 不是定直线 其中成立的结论是_(写出所有成立结论的序号) 四、解答题 13.如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1中,ABAC,
9、侧面 BCC1B1底面 ABC,E,F 分别为棱 BC 和 A1C1的中点 (1)求证:EF平面 ABB1A1; (2)求证:平面 AEF平面 BCC1B1. 14.如图,菱形 ABCD 的边长为 a,D60,点 H 为 DC 的中点,现以线段 AH 为折痕将DAH 折起使得点 D到达点 P 的位置,且平面 PHA平面 ABCH,点 E,F 分别为 AB,AP 的中点 (1)求证:平面 PBC平面 EFH; (2)若三棱锥 PEFH 的体积等于312,求 a 的值 20222022 年高考数学复习专题(四)年高考数学复习专题(四)第第 2 2 讲讲 空间点、线、面的位置关系空间点、线、面的位置
10、关系 【要点提炼】 考点一 空间线、面位置关系的判定 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断,解决问题 (2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断 【热点突破】 【典例】1 (1)已知直线 a,b,平面,下列命题正确的是( ) A若,a,则 a B若a,b,c,则 abc C若a,ba,则 b D若,a,b,则 ba 【答案】 A 【解析】 A 中,若,a, 则 a,该说法正确; B 中,若a,b,c, 在三棱锥 PABC 中,令平面,分别为平面 PAB,平面 PAC,平面 PBC
11、, 交线 a,b,c 为 PA,PB,PC,不满足 abc,该说法错误; C 中,若a,ba,有可能 b,不满足 b,该说法错误; D 中,若,a,b, 正方体 ABCDA1B1C1D1中,令平面,分别为平面 ABCD,平面 ADD1A1,交线 a 为 AD, 当直线 b 为 A1C1时,满足 b,不满足 ba,该说法错误 (2)(2019全国)如图,点 N 为正方形 ABCD 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段ED 的中点,则( ) ABMEN,且直线 BM,EN 是相交直线 BBMEN,且直线 BM,EN 是相交直线 CBMEN,且直线 BM,EN 是异面直
12、线 DBMEN,且直线 BM,EN 是异面直线 【答案】 B 【解析】 如图,取 CD 的中点 O,连接 ON,EO,因为ECD 为正三角形,所以 EOCD,又平面 ECD平面ABCD,平面 ECD平面 ABCDCD,所以 EO平面 ABCD.设正方形 ABCD 的边长为 2,则 EO 3,ON1,所以 EN2EO2ON24,得 EN2.过 M 作 CD 的垂线,垂足为 P,连接 BP,则 MP32,CP32,所以 BM2MP2BP2322322227,得 BM 7,所以 BMEN.连接 BD,BE,因为四边形 ABCD 为正方形,所以 N 为BD 的中点,即 EN,MB 均在平面 BDE 内
13、,所以直线 BM,EN 是相交直线 易错提醒 (1)定理中的条件理解不全面 (2)直接将平面几何中的结论引入到立体几何中 【拓展训练】1 (1)若 m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A若 m,n,则 mn B若 m,n,则 mn C若 m,n,则 mn D若 m,n,则 mn 【答案】 A 【解析】 对于选项 A,由 n,可得 n或 n, 又 m,所以可得 mn,故 A 正确; 对于选项 B,由条件可得 mn 或 mn,或 m 与 n 既不垂直也不平行,故 B 不正确; 对于选项 C,由条件可得 mn 或 m,n 相交或 m,n 异面,故 C 不正确; 对于
14、选项 D,由题意得 mn,故 D 不正确 (2)(多选)如图,在四面体 ABCD 中,M,N,P,Q,E 分别为 AB,BC,CD,AD,AC 的中点,则下列说法中正确的是( ) AM,N,P,Q 四点共面 BQMECBD CBCDMEQ D四边形 MNPQ 为梯形 【答案】 ABC 【解析】 由三角形的中位线定理,易知 MQBD,MEBC,QECD,NPBD.对于 A,有 MQNP,所以 M,N,P,Q 四点共面,故 A 说法正确;对于 B,根据等角定理,得QMECBD,故 B 说法正确;对于 C,由等角定理,知QMECBD,MEQBCD,所以BCDMEQ,故 C 说法正确;对于 D,由三角
15、形的中位线定理,知 MQBD,MQ 12BD,NPBD,NP12BD,所以 MQNP,MQNP,所以四边形 MNPQ 是平行四边形,故 D 说法不正确 【要点提炼】 考点二 空间平行、垂直关系 平行关系及垂直关系的转化 【热点突破】 考向 1 平行、垂直关系的证明 【典例】2 (2020山西省长治第二中学月考)如图,四边形 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO底面ABCD,E 是 PC 的中点求证: (1)PA平面 BDE; (2)平面 PAC平面 BDE. 证明 (1)如图,ACBDO,连接 OE, 在PAC 中,O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, OEAP, 又OE平面
16、BDE,PA平面 BDE. PA平面 BDE. (2)PO底面 ABCD,BD底面 ABCD, POBD, 又ACBD,且 ACPOO,AC平面 PAC,PO平面 PAC, BD平面 PAC,而 BD平面 BDE, 平面 PAC平面 BDE. 考向 2 翻折问题 【典例】3 (2020莆田第一联盟体联考)如图,正方形 ABCD 的边长为 2 2,以 AC 为折痕把ACD 折起,使点 D 到达点 P 的位置,且 PAPB. (1)证明:平面 PAC平面 ABC; (2)若 M 是 PC 的中点,设PNPA(01),且三棱锥 ABMN 的体积为89,求的值 (1)证明 如图,取 AC 的中点 O,
17、连接 PO,BO. 因为 PCPA,所以 POAC. 在POB 中,POOB12AC2,PBPA2 2, 则 PB2PO2OB2,所以 POOB, 又 ACOBO,且 AC,OB平面 ABC, 所以 PO平面 ABC, 又 PO平面 PAC,所以平面 PAC平面 ABC. (2)解 因为平面 PAC平面 ABC, 又平面 PAC平面 ABCAC,且 BOAC, 所以 OB平面 PAC, 所以 VABMNVBAMN13SAMNBO. 又因为 OB2,VABMN89,所以 SAMN43. 因为PNPA, 所以 SAMN(1)SAPM12SPAC. 又 SPAC12PAPC4, 所以12443,得1
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