2022年高考数学复习专题(四)第1讲:空间几何体(含答案解析)
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1、20222022 年高考数学复习专题(四)年高考数学复习专题(四)第第 1 1 讲讲 空间几何体空间几何体 【要点提炼】 考点一 表面积与体积 1旋转体的侧面积和表面积 (1)S圆柱侧2rl,S圆柱表2r(rl)(r 为底面半径,l 为母线长) (2)S圆锥侧rl,S圆锥表r(rl)(r 为底面半径,l 为母线长) (3)S球表4R2(R 为球的半径) 2空间几何体的体积公式 V柱Sh(S 为底面面积,h 为高); V锥13Sh(S 为底面面积,h 为高); V球43R3(R 为球的半径) 【热点突破】 【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆
2、锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15,则该圆锥的侧面积为_ (2)如图, 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均为 2, 点 D 在棱 AA1上, 则三棱锥 DBB1C1的体积为_ 【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A12 2 B12 C8 2 D10 (2)如图,在 RtABC 中,ABBC1,D 和 E 分别是边 BC 和 AC 上异于端点的点,DEBC,将CDE 沿 DE折起,使点 C 到点 P 的位置,得到四棱锥 PABDE,则四棱锥 PABDE
3、 的体积的最大值为_ 【要点提炼】 考点二 多面体与球 解决多面体与球问题的两种思路 (1)利用构造长方体、正四面体等确定直径 (2)利用球心 O 与截面圆的圆心 O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心 【典例】2 (1)已知三棱锥 PABC 满足平面 PAB平面 ABC,ACBC,AB4,APB30,则该三棱锥的外接球的表面积为_ (2)(2020全国)已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 【拓展训练】2 (1)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB90,C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A36 B
4、64 C144 D256 (2)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知 PA平面 ABCE,四边形 ABCD 为正方形,AD 5,ED 3,若鳖臑 PADE的外接球的体积为 9 2,则阳马 PABCD 的外接球的表面积为_ 专题训练专题训练 一、单项选择题 1.水平放置的ABC 的直观图如图,其中 BOCO1,AO32,那么原ABC 是一个( ) A等边三角形 B直角三角形 C三边中只有两边相等的等腰三角形 D三边互不相等的三角形
5、 2(2020全国)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A.514 B.512 C.514 D.512 3 已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍, 记该圆锥的内切球的表面积为 S1, 外接球的表面积为 S2, 则S1S2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18 4(2020大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出,如图,需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住,罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形,高 1.8
6、 米,体积 0.5 立方米,其底部是直径为 0.9 米的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔 0.3 米,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米,气体每立方米 1 000 元,则气体的费用最少为( ) A4 500 元 B4 000 元 C2 880 元 D2 380 元 5.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,动点 E 在 BB1上,动点 F 在 A1C1上,O 为底面 ABCD 的中心,若 BEx,A1Fy,则三棱锥 OAEF 的体积( ) A与 x,y 都有关 B与 x,y 都无关 C与 x 有关,与 y 无关 D与 y 有关,与 x 无关 6在梯形 ABCD 中,AB
7、C2,ADBC,BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.23 B.43 C.53 D2 7(2020全国)已知 A,B,C 为球 O 的球面上的三个点,O1为ABC 的外接圆若O1的面积为 4,ABBCACOO1,则球 O 的表面积为( ) A64 B48 C36 D32 8(2020武汉调研)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的表面上,若 ABAC1,AA12 3,BAC23,则球 O 的体积为( ) A.323 B3 C.43 D8 9.如图所示,某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为
8、5 的半球对接而成,在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为( ) A.2 0009 B.4 00027 C81 D128 10已知在三棱锥 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,且长度相等若点 P,A,B,C 都在半径为 1 的球面上,则球心到平面 ABC 的距离为( ) A.36 B.12 C.13 D.32 二、多项选择题 11(2020枣庄模拟)如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器一边 AB于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面几个结论,其中正确的是( ) A没有水
9、的部分始终呈棱柱形 B水面 EFGH 所在四边形的面积为定值 C随着容器倾斜度的不同,A1C1始终与水面所在平面平行 D当容器倾斜如图所示时,AEAH 为定值 12. (2020青岛检测)已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面均为正方形,其中 AB2 2,A1B1 2,AA1BB1CC1DD12,则下列叙述正确的是( ) A该四棱台的高为 3 BAA1CC1 C该四棱台的表面积为 26 D该四棱台外接球的表面积为 16 三、填空题 13(2020浙江)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为 2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是_ 14.在如图所示的斜截圆柱
10、中,已知圆柱的底面直径为 40 cm,母线长最短 50 cm,最长 80 cm,则斜截圆柱的侧面面积 S_cm2. 15已知球 O 与棱长为 4 的正四面体的各棱相切,则球 O 的体积为_ 16(2020新高考全国)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2,BAD60.以 D1为球心, 5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_ 20222022 年高考数学复习专题(四)年高考数学复习专题(四)第第 1 1 讲讲 空间几何体空间几何体 【要点提炼】 考点一 表面积与体积 1旋转体的侧面积和表面积 (1)S圆柱侧2rl,S圆柱表2r(rl)(r 为底面半径,l 为母线长) (2)
11、S圆锥侧rl,S圆锥表r(rl)(r 为底面半径,l 为母线长) (3)S球表4R2(R 为球的半径) 2空间几何体的体积公式 V柱Sh(S 为底面面积,h 为高); V锥13Sh(S 为底面面积,h 为高); V球43R3(R 为球的半径) 【热点突破】 【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15,则该圆锥的侧面积为_ 【答案】 40 2 【解析】 因为母线 SA 与圆锥底面所成的角为 45, 所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形 设底面圆的半径为 r,则母线长 l 2r. 在SAB 中,cosAS
12、B78,所以 sinASB158. 因为SAB 的面积为 5 15,即12SASBsinASB 12 2r 2r1585 15, 所以 r240, 故圆锥的侧面积为rl 2r240 2. (2)如图, 已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均为 2, 点 D 在棱 AA1上, 则三棱锥 DBB1C1的体积为_ 【答案】 2 33 【解析】 如图,取 BC 的中点 O, 连接 AO. 正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长均为 2, AC2,OC1,则 AO 3. AA1平面 BCC1B1, 点 D 到平面 BCC1B1的距离为 3. 又1 1BB CS12222, 1 1D BB CV132
13、32 33. 易错提醒 (1)计算表面积时,有些面的面积没有计算到(或重复计算) (2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解 (3)求几何体体积的最值时,不注意使用基本不等式或求导等确定最值 【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A12 2 B12 C8 2 D10 【答案】 B 【解析】 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,由题意可知 2rh2 2,圆柱的表面积 S2r22rh4812.故选 B. (2)如图,在 RtABC 中,ABBC1,D 和 E 分别
14、是边 BC 和 AC 上异于端点的点,DEBC,将CDE 沿 DE折起,使点 C 到点 P 的位置,得到四棱锥 PABDE,则四棱锥 PABDE 的体积的最大值为_ 【答案】 327 【解析】 设 CDDEx(0 x0;当 x33,1 时,V0. 当 x33时,Vmax327. 【要点提炼】 考点二 多面体与球 解决多面体与球问题的两种思路 (1)利用构造长方体、正四面体等确定直径 (2)利用球心 O 与截面圆的圆心 O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心 【典例】2 (1)已知三棱锥 PABC 满足平面 PAB平面 ABC,ACBC,AB4,APB30,则该三棱锥的外接球的表面积为_ 【答案】
15、 64 【解析】 因为 ACBC,所以ABC 的外心为斜边 AB 的中点, 因为平面 PAB平面 ABC,所以三棱锥 PABC 的外接球球心在平面 PAB 上, 即球心就是PAB 的外心, 根据正弦定理ABsinAPB2R,解得 R4, 所以外接球的表面积为 4R264. (2)(2020全国)已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 【答案】 23 【解析】 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球,设其半径为 r.作出圆锥的轴截面 PAB,如图所示,则PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆在PAB 中,PAPB3,D 为 AB 的中点,AB2,E 为切点,则 PD2
16、 2,PEOPDB, 故POPBOEDB,即2 2r3r1,解得 r22, 故内切球的体积为4322323. 规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长 (2)三棱锥 SABC 的外接球球心 O 的确定方法: 先找到ABC 的外心 O1, 然后找到过 O1的平面 ABC 的垂线 l,在 l 上找点 O,使 OSOA,点 O 即为三棱锥 SABC 的外接球的球心 (3)多面体的内切球可利用等积法求半径 【拓展训练】2 (1)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB90,C 为该球面上的动点若三棱锥 OABC体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A36 B64 C14
17、4 D256 【答案】 C 【解析】 如图所示,设球 O 的半径为 R, 因为AOB90, 所以 SAOB12R2, 因为 VOABCVCAOB, 而AOB 的面积为定值, 当点 C 位于垂直于平面 AOB 的直径端点时,三棱锥 OABC 的体积最大, 此时 VOABCVCAOB1312R2R16R336, 故 R6, 则球 O 的表面积为 S4R2144. (2)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知 PA平面 ABCE,四边形
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