2022年江苏省常州市中考冲刺数学试卷（含答案解析）

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1、2021-2022 学年江苏省学年江苏省常州市常州市中考中考冲刺数学试冲刺数学试卷卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1一元二次方程 x22x+10 的二次项、一次项系数分别为（ ） A1，2 B1，2 Cx2，2 Dx2，2x 2已知，则下列式子成立的是（ ） A3x5y Bxy15 C D 3如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC7，点 D 在边 BC 上，CD3，以点 D 为圆心作D，其半径长为 r，要使点 A 恰在D 外，点 B 在D 内，那么 r 的取值范围是（ ） A4r5 B3r4 C3r5 D1r7 4小明与

2、小华本学期都参加了 5 次数学考试（总分均为 100 分） ，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人 5 次数学成绩的（ ） A平均数 B方差 C众数 D中位数 5如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，如果，C 比D 大 36，则A 等于（ ） A24 B27 C34 D37 6已知抛物线 yx2x1 与 x 轴的一个交点为（m，0） ，则代数式2m2+2m+2021 的值为（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 7在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要赛一场，共赛 45 场，设共有 x 个队参赛、根据题意可列方程为（ ） A45 Bx

3、（x1）45 C45 Dx（x+1）45 8已知一次函数 y2x+b（mxn）的图象经过点 P（p，q） ，下列结论中正确的是（ ） Aqb2m Bqb2m Cqb2n Dq+b2m 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9计算 sin245+cos30tan60 10已知 a 是方程 x22x50 的一个解，则代数式 3a26a 的值为 11圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm，则圆锥的侧面积是 12有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共 100 个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后

4、再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在 0.4，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 个 13小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高 1 米时影长 0.9 米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长 BC 为 2.7米，又测得墙上影高 CD 为 1.2 米，旗杆 AB 的高度为 米 14已知O 的内接正六边形的边心距为 2则该圆的的半径为 15 如图， 正六边形ABCDEF的中心点为原点O， 顶点 A D在x轴上， 半径为2cm， 则顶点E的坐标为 16如图，ABC

5、与DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积之比为 17扇形半径为 3cm，弧长为 5cm，则它的面积为 cm2 18二次函数 yx22x+1 在5x3 范围内的最大值为 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 84 分）分） 19 （6 分）计算：tan30sin60cos230+sin245tan45 20 （8 分）解下列方程： （1）x2+5x60； （2）2x（x+2）（x+2） 21 （8 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成 A、

6、B、C、D、E 五个等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中共抽取 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求 B 等级所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有 1200 名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为 A 和 B 等级的学生共有多少名？ 22 （8 分）盒中有 x 个白球和 y 个黄球，这些球除颜色外无其他差别若从盒中随机取一个球，它是白球的概率是；若往盒中再放进 1 个黄球，这时取得白球的概率变为 （1）填空：x ，y ； （2）小聪和小明利用 x 个白球和 y 个黄球进行摸球游戏，从盒中随机摸取一个，接着从

7、剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小聪获胜，若颜色不同则小明获胜，求小明获胜的概率 23 （8 分）如图，C，D 是线段 AB 上的两点，已知 AC：CD：DB1：2：3，M，N 分别为 AC，DB 的中点 （1）若 AM2，求 AB 的长 （2）若 AD6，求 CN 的长 24 （8 分）如图，点 A，B，C 是半径为 2 的O 上三个点，AB 为直径，BAC 的平分线交圆于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F （1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并证明 （2）若 DF4，求 tanEAD 的值 25 （8 分）某超

8、市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量 y（瓶）与销售单价 x（元）满足一次函数关系所调查的部分数据如表： （已知每瓶进价为 4 元，每瓶利润销售单价进价） 单价 x（元） 5 6 7 销售量 y（瓶） 150 140 130 （1）求 y 关于 x 的函数表达式 （2） 该新型饮料每月的总利润为 w （元） ， 求 w 关于 x 的函数表达式， 并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价此时超市发现进价提高了 a 元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过 14 元时，利润随着 x

9、 的增大而增大，求 a 的最小值 26 （8 分）如图，反比例函数 y的图象过格点（网格线的交点）A，一次函数 yax+b 的图象经过格点A，B （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法） ，要求每个矩形均需满足下列两个条件： 四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 A，点 B； 矩形的面积等于AOB 面积的整数倍 27 （12 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，BC2AB，M 是斜边上一点，经过 A，B，M 的O 交BC 于 N 点，当点 D 从点 A 匀速运动到点 M 时，点 E 恰好从点 C 匀速运动点 B当 D 为 AM

10、 中点时，E恰好在点 N 处，记 ADx，BEy，已知 y2kx （1）求 BC 的长和 k 的值； （2）连结 DE，当DEC 的面积最大时，求 DE 的长； （3）连结 BD，并延长 BD 交O 于点 F，连结 BM，FM当 FM 与BMN 中的某一边相等时，求所有满足条件的 x 的值 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yax22x+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 P 在第二象限的抛物线上，连接 PC、PO，线段 PO 交线段 BC 于点 E （1）求抛物线的表达式； （2）若PCE 的面

11、积为 S1，OCE 的面积为 S2，当时，求点 P 的坐标； （3）已知点 C 关于抛物线对称轴的对称点为点 N，连接 BN，点 H 在 x 轴上，当HCBNBC 时， 求满足条件的所有点 H 的坐标； 当点 H 在线段 AB 上时，平面内点 M，且 HM1，直接写出AM+CM 的最小值 2021-2022 学年江苏省常州市中考冲刺数学试卷学年江苏省常州市中考冲刺数学试卷 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1一元二次方程 x22x+10 的二次项、一次项系数分别为（ ） A1，2 B1，2 Cx2，2 Dx2，2x 解：一元二次方程

12、x22x+10 的二次项、一次项系数分别为 x2，2， 故选：C 2已知，则下列式子成立的是（ ） A3x5y Bxy15 C D 解：， 两边都乘以 5y，得 5x3y， ， 两边都乘以 3y，得 xy15， ， 两边都乘以 3x，得 3y5x， 即只有选项 D 符合题意；选项 A、B、C 都不符合题意； 故选：D 3如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC7，点 D 在边 BC 上，CD3，以点 D 为圆心作D，其半径长为 r，要使点 A 恰在D 外，点 B 在D 内，那么 r 的取值范围是（ ） A4r5 B3r4 C3r5 D1r7 解：在 RtADC 中，C90，AC4，CD3

13、， AD5 BC7，CD3， BDBCCD734 以点 D 为圆心作D，其半径长为 r，要使点 A 恰在D 外，点 B 在D 内， r 的范围是 4r5， 故选：A 4小明与小华本学期都参加了 5 次数学考试（总分均为 100 分） ，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人 5 次数学成绩的（ ） A平均数 B方差 C众数 D中位数 解：由于方差和极差都能反映数据的波动大小，故判断小明的数学成绩是否稳定，应知道方差 故选：B 5如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，如果，C 比D 大 36，则A 等于（ ） A24 B27 C34 D37 解：AB 是O

14、的直径，CD 是弦，如果， ABCD， B+D90，A+C90， B 与C 都对， CB， C+D90， CD36， C63，D27， 则A27 故选：B 6已知抛物线 yx2x1 与 x 轴的一个交点为（m，0） ，则代数式2m2+2m+2021 的值为（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 解：将（m，0）代入抛物线表达式得：m2m10， 则2m2+2m+20212（m2m）+20212+20212019， 故选：B 7在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要赛一场，共赛 45 场，设共有 x 个队参赛、根据题意可列方程为（ ） A45 Bx（x1）45 C45 Dx（x

15、+1）45 解：依题意得：45 故选：A 8已知一次函数 y2x+b（mxn）的图象经过点 P（p，q） ，下列结论中正确的是（ ） Aqb2m Bqb2m Cqb2n Dq+b2m 解：一次函数 y2x+b（mxn）的图象经过点 P（p，q） ， q2p+b， qb2p 又pm， qb2m 故选：A 二填空题（共二填空题（共 10 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9计算 sin245+cos30tan60 2 解：原式（）2+（） +3 2 故答案为：2 10已知 a 是方程 x22x50 的一个解，则代数式 3a26a 的值为 15 解：a 是方程 x22x

16、50 的一个解， a22a5， 则 3a26a3（a22a）3515 故答案为：15 11圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm，则圆锥的侧面积是 65cm2 解：圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm， 圆锥的母线长13（cm） ， 圆锥的侧面积251365（cm2） ， 故答案为：65cm2 12有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共 100 个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在 0.4，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 40 个 解：根据题意得：

17、 1000.440（个） ， 答：估计纸箱内红球的个数约是 40 个 故答案为：40 13小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高 1 米时影长 0.9 米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长 BC 为 2.7米，又测得墙上影高 CD 为 1.2 米，旗杆 AB 的高度为 4.2 米 解：过点 D 作 DEAB 于点 E，则 BECD1.2m， 他在某一时刻测得直立的标杆高 1 米时影长 0.9 米， ，即， 解得：AE3m， ABAE+BE3+1.24.2（m） 故答案为：4.2 14已知O 的内接正六边形的边心

18、距为 2则该圆的的半径为 解：如图所示，连接 OA、OB， 多边形 ABCDEF 是正六边形， AOB60， OAOB， AOB 是等边三角形， OAM60， OMOAsinOAM， OA， 该圆的半径为 故答案为： 15如图，正六边形 ABCDEF 的中心点为原点 O，顶点 AD 在 x 轴上，半径为 2cm，则顶点 E 的坐标为 （1，） 解：连接 OE，由正六边形是轴对称图形知： 在 RtOEG 中，GOE30，OE2 GE1，OG E（1，） 故答案为： （1，） 16如图，ABC 与DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积之比为 4：9

19、解：ABC 与DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，位似比为 2：3， ABCDEF，相似比为 2：3， ABC 与DEF 的面积之比为 22：324：9 故答案为 4：9 17扇形半径为 3cm，弧长为 5cm，则它的面积为 cm2 解：扇形的面积为：lR35cm2 故答案为： 18二次函数 yx22x+1 在5x3 范围内的最大值为 36 解：yx22x+1（x1）2， 抛物线开口向上，对称轴为直线 x1， 在5x3 的取值范围内，当 x5 时，有最大值为：y36， 故答案为 36 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 84 分）分） 19 （6 分）计算：tan30s

20、in60cos230+sin245tan45 解：原式（）2+（）21 + 20 （8 分）解下列方程： （1）x2+5x60； （2）2x（x+2）（x+2） 解： （1）x2+5x60， （x+6） （x1）0， 则 x+60 或 x10， 解得 x16，x21； （2）2x（x+2）（x+2） ， 2x（x+2）（x+2）0， 则（x+2） （2x1）0， x+20 或 2x10， 解得 x12，x20.5 21 （8 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成 A、B、C、D、E 五个等级进行统计，

21、并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中共抽取 100 名学生； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求 B 等级所对应的扇形圆心角的度数； （4）若该校有 1200 名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为 A 和 B 等级的学生共有多少名？ 解： （1）2626%100（名） ， 故答案为：100； （2）D 等级所占的百分比为：10100100%10%， 则 B 等级所占的百分比为：126%20%10%4%40%， 故 B、C 等级的学生分别为：10040%40（名） ，10020%20（名） ， 补全条形图如下， （3）B 等级所对应的

22、扇形圆心角的度数为：36040%144； （4）1200792（名） ， 答：估计这次竞赛成绩为 A 和 B 等级的学生共有 792 名 22 （8 分）盒中有 x 个白球和 y 个黄球，这些球除颜色外无其他差别若从盒中随机取一个球，它是白球的概率是；若往盒中再放进 1 个黄球，这时取得白球的概率变为 （1）填空：x 2 ，y 1 ； （2）小聪和小明利用 x 个白球和 y 个黄球进行摸球游戏，从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小聪获胜，若颜色不同则小明获胜，求小明获胜的概率 解： （1）由题意得：， 解得：， 故答案为：2，1； （2）画树状图如图： 共有

23、6 种等可能的结果，小明获胜的结果有 4 种， 小明获胜的概率为 23 （8 分）如图，C，D 是线段 AB 上的两点，已知 AC：CD：DB1：2：3，M，N 分别为 AC，DB 的中点 （1）若 AM2，求 AB 的长 （2）若 AD6，求 CN 的长 解： （1）因为 AM2，M 为 AC 的中点， 所以 AC4 因为 AC：CD：DB1：2：3， 所以 CD8，DB12， 所以 AB4+8+1224 （2）因为 AC：CD：DB1：2：3， 所以 CD2AC，DB3AC 因为 AD6， 所以 AC+CD6， 所以 AC2，CD4，DB6 因为 N 为 DB 的中点 所以 DN3， 所以

24、 CNCD+DN4+37 24 （8 分）如图，点 A，B，C 是半径为 2 的O 上三个点，AB 为直径，BAC 的平分线交圆于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，延长 ED 交 AB 的延长线于点 F （1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并证明 （2）若 DF4，求 tanEAD 的值 解： （1）直线 EF 与O 相切， 证明：连接 OD，如图所示： OAOD， OADODA， AD 平分EAF， DAEDAO， DAEADO， ODAE， AEEF， ODEF， EF 是O 的切线； （2）在 RtODF 中，OD2，DF4， OF6， ODAE， ， ，

25、 AE，ED， tanEAD 25 （8 分）某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量 y（瓶）与销售单价 x（元）满足一次函数关系所调查的部分数据如表： （已知每瓶进价为 4 元，每瓶利润销售单价进价） 单价 x（元） 5 6 7 销售量 y（瓶） 150 140 130 （1）求 y 关于 x 的函数表达式 （2） 该新型饮料每月的总利润为 w （元） ， 求 w 关于 x 的函数表达式， 并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价此时超市发现进价提高了 a 元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函

26、数关系，当销售单价不超过 14 元时，利润随着 x 的增大而增大，求 a 的最小值 解： （1）设 y 关于 x 的函数表达式为 ykx+b（k0） 由题意得： 解得： y 关于 x 的函数表达式为 y10 x+200 （2）由题意得： w（x4） （10 x+200） 10 x2+240 x800 10（x12）2+640 100 当 x12 时，w 有最大值 640 元 w 关于 x 的函数表达式为 w10 x2+240 x800，单价为 12 元时利润最大，最大利润是 640 元 （3）由题意得： w（x4a） （10 x+200） 10 x2+（240+10a）x800 二次函数的对称

27、轴为：x12+ 100，当销售单价不超过 14 元时，利润随着 x 的增大而增大 12+14 a4 a 的最小值为 4 26 （8 分）如图，反比例函数 y的图象过格点（网格线的交点）A，一次函数 yax+b 的图象经过格点A，B （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法） ，要求每个矩形均需满足下列两个条件： 四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 A，点 B； 矩形的面积等于AOB 面积的整数倍 解： （1）将（1，3）代入 y得 k3， 反比例函数解析式为 y， 将（1，3） ， （3，1）代入 yax+b 得， 解得， 一次函数

28、解析式为 yx+2 （2）如图， 27 （12 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，BC2AB，M 是斜边上一点，经过 A，B，M 的O 交BC 于 N 点，当点 D 从点 A 匀速运动到点 M 时，点 E 恰好从点 C 匀速运动点 B当 D 为 AM 中点时，E恰好在点 N 处，记 ADx，BEy，已知 y2kx （1）求 BC 的长和 k 的值； （2）连结 DE，当DEC 的面积最大时，求 DE 的长； （3）连结 BD，并延长 BD 交O 于点 F，连结 BM，FM当 FM 与BMN 中的某一边相等时，求所有满足条件的 x 的值 解： （1）连接 MN，如图： 当 x0 时，y2

29、，即 BC2， ABC90，BC2AB， AB，AC5， 当点 D 从点 A 匀速运动到点 M 时，点 E 恰好从点 C 匀速运动点 B当 D 为 AM 中点时，E 恰好在点N 处， N 是 BC 中点， CNBC， 四边形 ABNM 是O 内接四边形， NMC180ABC90， 且CC， ABCNMC， ，即， CM2， AMACCM523， 即当 x3 时，y0， 代入 y2kx 得 k； （2）过点 D 作 DHBC，如图： ABC90，BC2，AB，AC5， sinC，cosC，tanC， CD5x， DHCDsinC（5x） ， 又CEBCBE2y2（2x）x， SDECCEDH（5

30、x） x（x25x）（x）2+， 当 SDEC最大时，x， 此时，DC5x，CEx， HCDCcosC，DHDCsinC， EHECHC， RtDHE 中，由勾股定理得 DE； （3）当 BNMF 时，如图： BNMF， BMNFBM， BFMN， FBAM， ABD90AC， xADABsinABDABsinC1， 当 FMMN 时，如图： 记NAM，则FBM， ABBN，ABN90， AMBANBBAN45， BAM45+， ADBAMB+45+， ADBBAMBFMMDF， MDFMMNCNsinC1， xAMDM312， 当 FMBM 时，如图： AFFBM， 又BMDAMB， ABM

31、BDM， ， 而 MQCMsinC，BQBCCQ2CMcosC， BM2， ， MD，则 xAMMD3， 综上所述，x1 或 2 或 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yax22x+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 P 在第二象限的抛物线上，连接 PC、PO，线段 PO 交线段 BC 于点 E （1）求抛物线的表达式； （2）若PCE 的面积为 S1，OCE 的面积为 S2，当时，求点 P 的坐标； （3）已知点 C 关于抛物线对称轴的对称点为点 N，连接 BN，点 H 在 x 轴上，当HCBN

32、BC 时， 求满足条件的所有点 H 的坐标； 当点 H 在线段 AB 上时，平面内点 M，且 HM1，直接写出AM+CM 的最小值 解： （1）把点 A（1，0） ，点 B（3，0）代入抛物线 yax22x+c 中， 得：， 解得：， 抛物线的表达式为：yx22x+3； （2）如图 1，过 P 作 PGy 轴于 G，过 E 作 EHy 轴于 H， 当 x0 时，y3， C（0，3） ， 设 BC 的解析式为：ykx+b， 则，解得， BC 的解析式为：yx+3， PCE 的面积为 S1，OCE 的面积为 S2，且， ， EHPG， OEHOPG， ， 设 E（3m，3m+3） ，则 P（5m，

33、25m210m+3） ， ， 25m2+15m+20， （5m+2） （5m+1）0， m1，m2， 当 m时，5m2，则 P（2，3） ， 当 m时，5m1，则 P（1，4） ， 综上，点 P 的坐标是（2，3）或（1，4） ； （3）由对称得：N（2，3） ， HCBNBC， 如图 2，连接 CN，有两种情况： i）当 BNCH1时，H1CBNBC， CNAB， 四边形 CNBH1是平行四边形， H1（1，0） ； ii）当H2CBNBC， 设 H2（n，0） ，直线 CH2与 BN 交于点 M， BMCM， B（3，0） ，N（2，3） ， 同理可得 BN 的解析式为：y3x+9， 设 CH2的解析式为：yk1x+b1， 则，解得：， 设 CH2的解析式为：y+3， M（，） ， BMCM， （+3）2+（）2（）2+（3）2， 解得：n9 或1（舍） ， H2（9，0） ， 综上，点 H 的坐标是（1，0）或（9，0） ； 点 H 在线段 AB 上， 点 H（1，0） ， HO1，AH2， 如图 3，取 HO 的中点 N（，0） ， HO， ， 又MHNAHM， MHNAHM， ， MNAM， AM+MCMN+MC， 当点 M，点 N，点 C 共线时，MN+MC 最小值为 CN 的长， CN， AM+MC 的最小值为