江苏省南京市2021-2022学年九年级上期末数学试题（含答案解析）

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1、江苏省南京市江苏省南京市 20212021- -20222022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分 ）分 ） 1. 一元二次方程 2x214x 化成一般形式后，常数项是1，一次项系数是（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 2. 已知P是线段AB的黄金分割点，且APPB，10AB，则AP长约为（ ） A. 0.618 B. 6.18 C. 3.82 D. 0.382 3. 在一个不透明的袋中装有 5个球，其中 2个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1

2、 个球，摸出红球的概率是（ ） A. 23 B. 15 C. 25 D. 35 4. 将二次函数 y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】 A. y=x21 B. y=x2+1 C. y=（x1）2 D. y=（x+1）2 5. 如图，若O半径为 6，圆心 O 到一条直线的距离为 3，则这条直线可能是（ ） A. 1l B. 2l C. 3l D. 4l 6. 如图，身高 1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达 D处时的影子继续向前走 8m到达点N，影子为 FN若测得 EF10m，则路灯 AH 的高度为（ ） A. 6m B. 7m C. 8m D.

3、9m 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分 ）分 ） 7. 已知23xy，则xyy_ 8. 一组数据 7，2，1，6的极差为_ 9. 若、是方程 x22022x20210 的两个实数根，则的值为_ 10. 若一个圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_ 11. 若方程 x240844410 的两根为2021，则方程 x22x40844400 的两根为_ 12. 如图，在边长为 2的正方形内有一边长为 1 的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是_. 13. 如图，AB 是O的直径

4、，C是O上的一点若ACO25，则B_ 14. 如图， 在边长为 1 的正方形网格中， A、 B、 C、 D为格点， 连接 AB、 CD相交于点 E， 则 AE 的长为_ 15. 如图，在O中，半径 OC与弦 AB垂直于点 D，M为 AD的中点，N为AC上的点，且 MNCD若CD5，MN4，则O的半径为_ 16. 如图，在 RtABC中，P 是斜边 AB 边上一点，且 BP2AP，分别过点 A、B 作 l1、l2平行于 CP，若 CP4，则 l1与 l2之间的最大距离为_ 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分 ）分 ） 17. 解方程： （1）x24x10； （

5、2）100（x1）2121 18. 甲、乙两人在 5 次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 3.2 （2）教练根据这 5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击 1次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差 （填“变大”、“变小”或“不变”） 19. 为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按 A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中 A 类指废电池、过期药品等有毒垃圾， B 类指剩余食品等厨余垃圾， C类指塑料、 废纸等可回收物， D类指其他垃圾 小明、小亮

6、各投放了一袋垃圾 （1）小明投放垃圾恰好是 A 类的概率为 ； （2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率 20. 如图，已知 A是直线 l外一点用两种不同的方法作O，使O过 A 点，且与直线 l相切 要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明 21. 阅读下面短文，并解答下列问题： 我们把相似形概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体 如图， 甲、 乙是两个不同的正方体， 正方体都是相似体， 它们的一切对应线段之比都等于相似比 （ab） 设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则22266SaaSbb甲乙；又

7、设 V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则333VaaVbb甲乙； （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A.两个球体 B.两个锥体 C.两个圆柱体 D.两个长方体 （2）请归纳出相似体三条主要性质： 相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ； 相似体表面积的比等于 ； 相似体体积比等于 （3） 假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体， 一个小朋友上幼儿园时身高为 1.1米，体重为 18 千克，到了初三时，身高为 1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 22. 如图，以 AB为直径的O 经过点 C，CP 为O的切线，E 是 AB 上一点

8、，以 C 为圆心，CE长为半径作圆交 CP 于点 F，连接 AF，且 AFAE求证：AB是C的切线 23. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，E 是 BC上一动点，过点 E 作 EFAE，交 BC 于点 F，连接 AF （1）求证：ABEECF； （2）求 AF长度的最小值 24. 如图，已知二次函数 yax2bx3 的图像经过点 A（1，0） ，B（2，3） （1）求该二次函数的表达式； （2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴 l； （用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （3）结合图像，直接写出当 y3 时，x 的取值范围是 25. 已知二次函数 yx22mxm2（m 是常数）的图像是抛

9、物线 （1）若抛物线与 x轴只有一个公共点，求 m 的值； （2）求证：抛物线顶点在函数 yx2x2的图像上； （3）若点 B（2，a） ，C（5，b）在抛物线上，且 ab，则 m的取值范围是 26. 某公司电商平台，在 2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件） （x 为正整数）的一次函数，下表列出了该商品的售价 x，周销售量y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 （1）该商品进价 （元/件） ，y关于 x 的函数表达式是 （不要求写出自

10、变量的取值范围） ； （2）因该商品原料涨价，进价提高了 m（元/件） （m为正整数） ，该商品在今后的销售中，公司发现当售价为 63 元/件时，周销售利润最大，求 m 的值 27. （1）如图 1，将直角三角板的直角顶点放在正方形 ABCD 上，使直角顶点与 D重合，三角板的一边交AB 于点 P，另一边交 BC的延长线于点 Q则 DP DQ（填“”“”或“”） ； （2）将（1）中“正方形 ABCD”改成“矩形 ABCD”，且 AD2，CD4，其他条件不变 如图 2，若 PQ5，求 AP 长 如图 3，若 BD 平分PDQ则 DP的长为 江苏省南京市江苏省南京市 20212021- -202

11、22022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分 ）分 ） 1. 一元二次方程 2x214x 化成一般形式后，常数项是1，一次项系数是（ ） A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先化为一般形式，然后确定一次项系数即可 【详解】解：一元二次方程 2x2-14x化成一般形式为 2x2-4x -10， 故一次项系数为-4， 故选 D 【点睛】 本题考查一元二次方程的一般形式， 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的二次项系数是 a， 一次项系数是 b，常

12、数项是 c 2. 已知P是线段AB的黄金分割点，且APPB，10AB，则AP长约为（ ） A. 0.618 B. 6.18 C. 3.82 D. 0.382 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义PBAP=0.618APAB即可解题. 【详解】P是线段AB的黄金分割点，且APPB， PBAP=0.618APAB 即 AP0.618AB=6.18 故选 B 【点睛】本题考查了黄金分割的定义,属于简单题,熟悉定义概念是解题关键. 3. 在一个不透明的袋中装有 5个球，其中 2个红球，3 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1 个球，摸出红球的概率是（ ） A. 23 B. 15

13、 C. 25 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单事件概率计算公式即可得 【详解】解：由题意得：从不透明的袋中随机摸出 1 个球共有 5 种等可能性的结果，其中，摸出红球的结果有 2种， 则从中随机摸出 1个球，摸出红球的概率是25， 故选：C 【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键 4. 将二次函数 y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】 A. y=x21 B. y=x2+1 C. y=（x1）2 D. y=（x+1）2 【答案】A 【解析】 【详解】二次函数图象与平移变换 据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加上下平移只改

14、变纵坐标，下减上加因此，将二次函数 y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x21故选 A 5. 如图，若O的半径为 6，圆心 O到一条直线的距离为 3，则这条直线可能是（ ） A. 1l B. 2l C. 3l D. 4l 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解 【详解】解：O的半径为 6，圆心 O到一条直线的距离为 3，63， 这条直线与圆相交， 由图可知只有直线2l与圆相交， 故选 B 【点睛】

15、本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键 6. 如图，身高 1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达 D处时的影子继续向前走 8m到达点N，影子为 FN若测得 EF10m，则路灯 AH 的高度为（ ） A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m 【答案】A 【解析】 【分析】设 DE=x m，DH=y m，则 FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论 【详解】解CDEF，AHEF，MNEF， CDAHMN， CDEAHE，MNFAHF， CDDEAHEH，MNFNAHFH， 设 DE=xm，DH=ym，则

16、 FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m， 1.2xAHxy，1.210810()xAHxy， y=4x， 15DEEH， 1.215AH， AH=6， 故路灯 AH的高度为 6m 故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质列出关系式是解题的关键 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分 ）分 ） 7. 已知23xy，则xyy_ 【答案】53 【解析】 【分析】由23xy得到23xy，然后代入计算，即可得到答案 【详解】解：23xy， 23xy， 255333yyyxyyyy； 故答案为：53 【点

17、睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确得到23xy 8. 一组数据 7，2，1，6的极差为_ 【答案】9 【解析】 【分析】根据极差的定义：一组数据中，最大值与最小值的差即为极差，进行解答即可 【详解】解：一组数据7，2，1，6的极差为729 故答案为：9 【点睛】本题考查了极差的定义解题的关键在于熟练掌握极差的定义 9. 若、是方程 x22022x20210 的两个实数根，则的值为_ 【答案】2022 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出2022ba=-=-，此题得解 【详解】解：、是方程 x22022x20210的两个实数根， 则2022.ba=-=- 故答案为：

18、2022 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于ba是解题的关键 10. 若一个圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_ 【答案】120 【解析】 【详解】试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：22=4（cm） ，设圆心角的度数是 n 度则6180n=4，解得：n=120故答案为 120 考点：圆锥的计算 11. 若方程 x240844410 的两根为2021，则方程 x22x40844400 的两根为_ 【答案】x12022，x22020 【解析】 【分析】利用配方法求解即可 【详解】解：x22x40844400， x22x4084440， x2

19、2x+14084441，即（x1）24084441， 方程 x240844410的两根为2021， x12021， x12022，x22020 故答案为：x12022，x22020 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等 12. 如图，在边长为 2的正方形内有一边长为 1 的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是_. 【答案】34 【解析】 【分析】求解得图形中空白的面积：21 ，正方形的面积为22 ，得出阴影部分的面积为；222 -1 ，运用几何概率公式求解

20、即可 【详解】这只青蛙跳入阴影部分的概率等于阴影部分面积与总面积的比是：2222 -13=24 【点睛】本题考查了几何概型，掌握概率公式是解题的关键. 13. 如图，AB 是O的直径，C是O上的一点若ACO25，则B_ 【答案】65 【解析】 【分析】根据直径所对圆周角是直角，可得90ACB，进而根据已知条件即可求得65OCB，根据半径相等，等边对等角即可求得65B 【详解】解： AB是O的直径， 90ACB， ACO25 ， 65OCB， OCOB， 65B ， 故答案为：65 【点睛】本题考查了直径所对圆周角是直角，掌握直径所对圆周角是直角是解题的关键 14. 如图， 在边长为 1 的正方

21、形网格中， A、 B、 C、 D为格点， 连接 AB、 CD相交于点 E， 则 AE 的长为_ 【答案】6 25 【解析】 【分析】根据题意可得 AB32，ACBD，所以AECBED，进而可以解决问题 【详解】解：根据题意可知：AB32，ACBD，AC2，BD3， AECBED， AEBEACBD， 3 2AEAE23， 解得 AE6 25 故答案为：6 25 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 15. 如图，在O中，半径 OC与弦 AB垂直于点 D，M为 AD的中点，N为AC上的点，且 MNCD若CD5，MN4，则O的半径

22、为_ 【答案】212#10.5 【解析】 【分析】连接 AO，ON，延长 NM交O于 F，过 O作 OENF于 E，如图，设O的半径为 r，AD=t，先证明四边形 MEOD是矩形得到 OE=DM=12t，OD=ME=r-5，再利用勾股定理得222(5)rtr，2221(54)()2rtr，然后解方程组即可 【详解】解：连接 AO，ON，延长 NM交O于 F，过 O 作 OENF于 E，如图， 设O的半径为 r，AD=t， CDAB，MNCD， ODM=DME=MEO=90， 四边形 MEOD 是矩形， OE=DM=12t，OD=ME=r-5， 在 RtAOD 中，222(5)rtr， 在 Rt

23、NOE 中，2221(54)()2rtr， 4-得 2r-21=0， 解得 r=212， 即O的半径为212 故答案为：212 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键 16. 如图，在 RtABC中，P 是斜边 AB 边上一点，且 BP2AP，分别过点 A、B 作 l1、l2平行于 CP，若 CP4，则 l1与 l2之间的最大距离为_ 【答案】6 2 【解析】 【分析】过点 A作 AGl2于点 G，延长 CP交 AG于点 F，证明APFABG，可得APABPFBGAFAG，由 BP2AP，设 BP

24、2x，APx，PFa， （a0） ，可得 BG3a，AG3AF，过点 C作 CDl1于点 D交l2与点E，证明CADBCE，可得CDBEADCE，由 ADEGCP+PF=4+a，CE222xa，BE42a，CDAF22xa，整理得 AF2a22a+8，因为二次函数开口向下，当对称轴 a1 时，AF 取最大值， 因为 a0， 所以 a1 时不符合题意舍去， 所以 a0 时， AF2取得最大值为 8， 所以 AF22，进而可以解决问题 【详解】解：如图，过点 A作 AGl2于点 G，延长 CP 交 AG 于点 F， PFBG， APFABG， APABPFBGAFAG， BP2AP， 设 BP2x

25、，APx，PFa， （a0） ， BG3a，AG3AF， 过点 C作 CDl1于点 D， l1l2， CEl2， 得矩形 CEGF， EGCFCP+PF4+a， BEEGBG4+a3a42a， 在 RtAPF中，根据勾股定理，得 AF22APPF22xa， FG2AF222xa， CEFG222xa， ADCCEB90， ACD+CAD90， ACB90， ACD+CCB90， CADECB， CADECB， CDBEADCE， ADEG4+a，CE222xa，BE42a，CDAF22xa， 2242xaa2242axa， （22xa）2（2a） （4+a）a22a+8， AF2a22a+8，

26、 因为二次函数开口向下，当对称轴 a1时，AF取最大值， a0， a1时不符合题意舍去， a0 时，AF2取得最大值为 8， AF22， AG3AF62， l1与 l2之间的最大距离为 62 故答案为：62 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，平行线之间的距离，勾股定理， 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分 ）分 ） 17. 解方程： （1）x24x10； （2）100（x1）2121 【答案】 （1）x125，x225 （2）x12110，x2110 【解析】 【分析】 （1）运用公式法求解即可； （2）运用直接开平方法求解即可 【小

27、问 1 详解】 解： a1，b4，c1， 424 1 （1）200 则 x242bbaca 4202 125 即 x125，x225 【小问 2 详解】 解 （x1）2121100， x11110， 即 x12110，x2110 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法 18. 甲、乙两人在 5 次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 3.2 （2）教练根据这 5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙

28、再射击 1次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差 （填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】 （1）填表见解析； （2）理由见解析； （3）变小 【解析】 【分析】 （1）根据众数、平均数和中位数的定义求解： （2）方差就是和中心偏离程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. （3）根据方差公式求解：如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差变小 【详解】 （1）甲的众数为 8，乙的平均数=15（5+9+7+10+9）=8，乙的中位数为 9. 故填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8

29、 8 8 0.4 乙 8 9 9 3.2 （2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； （3）如果乙再射击 1次，命中 8 环，平均数不变， 则乙的方差为2183.2 58863 ， 83.23 所以乙的射击成绩的方差变小 【点睛】 19. 为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按 A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中 A 类指废电池、过期药品等有毒垃圾， B 类指剩余食品等厨余垃圾， C类指塑料、 废纸等可回收物， D类指其他垃圾 小明、小亮各投放了一袋垃圾 （1）小明投放的垃圾恰好是 A 类的概率为 ； （2）求小亮投放垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概

30、率 【答案】 （1）14 （2）14 【解析】 【分析】 （1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是 A类的概率； （2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案 【小问 1 详解】 解：垃圾要按 A，B，C，D 四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾， 小明投放的垃圾恰好是 A 类的概率为：14； 故答案为：14； 【小问 2 详解】 解：如图所示： 由图可知，共有 16 种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有 4 种， 所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为41164 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概

31、率公式是解题关键 20. 如图，已知 A是直线 l外一点用两种不同的方法作O，使O过 A 点，且与直线 l相切 要求： （1）用直尺和圆规作图； （2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明 【答案】见解析 【解析】 【分析】方法一：过点 A作 l的垂线，垂足为 P作 AP的垂直平分线，与 AP 的交点为圆心 O以 O为圆心，OA（或 OP）为半径，作O方法二：取 l上任意一点 Q，作出 AQ的垂直平分线过点 Q作 l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心 O以 O 为圆心，OA（或 OQ）为半径，作O 【详解】方法一：过点 A作 l的垂线，垂足为 P 作 AP的垂直平分线，与 AP 的交点为圆心 O

32、以 O 为圆心，OA（或 OP）为半径，作O 方法二：取 l上任意一点 Q，作出 AQ的垂直平分线 过点 Q作 l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心 O 以 O 为圆心，OA（或 OQ）为半径，作O 【点睛】 本题主要考查了利用尺规作图画圆，熟练掌握线段垂直平分线的性质， 切线的性质是解题的关键 21. 阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体 如图， 甲、 乙是两个不同的正方体， 正方体都是相似体， 它们的一切对应线段之比都等于相似比 （ab） 设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则22266SaaS

33、bb甲乙；又设 V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则333VaaVbb甲乙； （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A.两个球体 B.两个锥体 C.两个圆柱体 D.两个长方体 （2）请归纳出相似体的三条主要性质： 相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ； 相似体表面积的比等于 ； 相似体体积比等于 （3） 假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体， 一个小朋友上幼儿园时身高为 1.1米，体重为 18 千克，到了初三时，身高为 1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化） 【答案】 （1）A （2）相似比；相似比的平方；相似比的立方 （3）6

34、0.75kg 【解析】 【分析】 （1）根据相似体的定义：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，进行判断即可； （2）根据题意进行推导即可； （3）设到初三时，该小朋友的体重为 x kg，根据相似体体积比等于相似比的立方；则有31.11.6518x ，计算求解即可 【小问 1 详解】 解：由题意知形状完全相同的几何体为球体 故选 A 【小问 2 详解】 解：由题意知：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比； 故答案为：相似比 由题意知：相似体表面积的比等于相似比的平方； 故答案为：相似比的平方 由题意知：相似体体积比等于相似比的立方； 故答案为：相似比的立方

35、【小问 3 详解】 解：由题意，该小朋友的体积比为31.11.65. 又体重之比等于体积比， 设到初三时，该小朋友的体重为 xkg，则31.11.6518x ， 解得，x60.75 答：到初三时，该小朋友的体重是 60.75kg 【点睛】本题考查了相似的应用解题的关键在于对相似知识的掌握与类比 22. 如图，以 AB为直径的O 经过点 C，CP 为O的切线，E 是 AB 上一点，以 C 为圆心，CE长为半径作圆交 CP 于点 F，连接 AF，且 AFAE求证：AB是C的切线 【答案】见解析 【解析】 【分析】连结 AC、OC根据全等三角形性质得到CAF=CAE，AFC=AEC，求得 OCAF，

36、根据平行线的性质得到AFC=90，根据切线的判定定理即可得到结论 【详解】证明：连结 AC、OC AEAF， CECF，ACAC， ACEACF CAFCAE，AFCAEC OAOC， OACOCA 又CAFCAE， CAFOCA， OCAF CP为O的切线， OCBF，即OCF90 AFC90 AECAFC90，即 CEAB 点 E在C上，AB是C 的切线 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键 23. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，E 是 BC上一动点，过点 E 作 EFAE，交 BC 于点 F，连接

37、AF （1）求证：ABEECF； （2）求 AF长度的最小值 【答案】 （1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】 (1)先利用等角的余角相等， 证得BAECEF， 再结合BC90， 即可证得ABEECF (2) 由勾股定理得，在 RtADF 中，D90，22224AFADDFDF 要求 AF 长度的最小值，即求 DF长度的最小值，也就是求 CF长度的最大值即可求解 【小问 1 详解】 证明： 四边形 ABCD是正方形， BC90， BAEBEA90 EFAE， AEF90， BEACEF90， BAECEF 又BC90， ABEECF 【小问 2 详解】 ABEECF， BECFABCE，

38、即 CFBE CEAB 设 CEx，则 BE4x CF(4)4xx14（x2）21， 当 x2 时，CF 取最大值 1； 此时，DF取最小值 3 当 DF3时，AF 取最小值，2222435AFADDF AF 长度的最小值为 5 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算，也考查了二次函数的性质和正方形的性质 24. 如图，已知二次函数 yax2bx3 的图像经过点 A（1，0） ，B（2，3） （1）求该二次函数的表达式； （2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴

39、 l； （用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （3）结合图像，直接写出当 y3 时，x 的取值范围是 【答案】 （1）yx22x3 （2）见解析 （3）2x0 【解析】 【分析】 （1）将 A（1，0） ，B（2，3）代入 yax2bx3即可得到二次函数表达式 （2）根据二次函数的对称性即可画出抛物线的对称轴 （3）根据图象即可直接写出 y3 时，x 的取值范围 【小问 1 详解】 将 A（1，0） ，B（2，3）代入二次函数 yax2bx3， 得033423abab 解得12ab 该二次函数的表达式为 yx22x3 【小问 2 详解】 如图，直线 l为所求对称轴 【小问 3 详解】 2x

40、0 【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求解以及二次函数对称性的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键 25. 已知二次函数 yx22mxm2（m 是常数）的图像是抛物线 （1）若抛物线与 x轴只有一个公共点，求 m 的值； （2）求证：抛物线顶点在函数 yx2x2的图像上； （3）若点 B（2，a） ，C（5，b）在抛物线上，且 ab，则 m的取值范围是 【答案】 （1）m12，m21 （2）见解析 （3）m72 【解析】 【分析】 （1）由抛物线与 x 轴交点个数与根的判别式的关系求解 （2）根据顶点坐标公式表示出顶点坐标，代入解析式进而求解即可 （3）由抛物线开口方向向上可得点 B到对称轴

41、的距离大于点 A到对称轴的距离，进而求解 【小问 1 详解】 解：a1，b2m，cm2， b24ac（2m）241（m2） 4（m2m2） 因为抛物线与 x 轴只有一个公共点，所以 b24ac4（m2m2）0， 解得 m12，m21 【小问 2 详解】 解：a1，b2m，cm2， 顶点坐标为（m，m2m2） ， 令 xm 时，函数 yx2x2m2m2， 抛物线顶点在函数 yx2x2 的图像上 【小问 3 详解】 解：抛物线开口向上，对称轴为直线 xm， 当 ab 时，|2m|5m|， 当 2m0时，2m5m，不符合题意， 当 2m0，5m0时可得 m25m， 解得 m72 故答案为：m72 【

42、点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系 26. 某公司电商平台，在 2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 y（件）是关于售价 x（元/件） （x 为正整数）的一次函数，下表列出了该商品的售价 x，周销售量y，周销售利润 W（元）的三组对应值数据 x 40 70 90 y 180 90 30 W 3600 4500 2100 （1）该商品进价 （元/件） ，y关于 x 的函数表达式是 （不要求写出自变量的取值范围） ； （2）因该商品原料涨价，进价提高了 m（元/件） （m为正整数）

43、 ，该商品在今后的销售中，公司发现当售价为 63 元/件时，周销售利润最大，求 m 的值 【答案】 （1）20，y3x300 （2）6 【解析】 【分析】 （1）利用进价=售价-利润求出进价，利用待定系数法求出函数解析式； （2）列出关于销售利润的函数解析式，利用函数性质解决问题 【小问 1 详解】 解：40-3600 180=40-20=20， 故答案为 20； 设函数解析式为 y=kx+b, 则有180409070kbkb ， 解得3300kb 所以函数解析式为 y=-3x+300， 故答案为 y3x300 【小问 2 详解】 原料涨价后周销售利润 W（3x300） （x20m）3（x10

44、0） （x20m） ， 该二次函数开口向下，对称轴为直线 x100202m1202m， 当售价为 63 元/件时，周销售利润 W最大， 1202m63， 解得，m6 m 的值为 6 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及利用二次函数解决利润问题，列出函数解析式是解决问题关键 27. （1）如图 1，将直角三角板的直角顶点放在正方形 ABCD 上，使直角顶点与 D重合，三角板的一边交AB 于点 P，另一边交 BC的延长线于点 Q则 DP DQ（填“”“”或“”） ； （2）将（1）中“正方形 ABCD”改成“矩形 ABCD”，且 AD2，CD4，其他条件不变 如图 2，若 PQ5，求 A

45、P 长 如图 3，若 BD 平分PDQ则 DP的长为 【答案】 （1）； （2）1，2 103 【解析】 【分析】 （1）先证明ADPCDQ，即可求解； （2）先证明ADPCDQ，可得APCQADCD24 12，设 APx，则 CQ2x， 再由勾股定理，即可求解； 过点 B 作 BEDP 交 DP 延长线于点 E，BFDQ于点 F，根据ADPCDQ，可得APD=Q，APCQADCD24 12， 从而得到BPE=Q， 再由角平分线的性质定理可得 BE=BF， 进而证得BEPBFQ，得到 BP=BQ，从而得到23AP ，再由勾股定理，即可求解 【详解】解（1）正方形 ABCD 中， A=BCD=D

46、CQ=ADC=90，AD=CD， PDQ=90， PDQ=ADC=90， ADPPDCCDQPDC90 ， ADP=CDQ， ADPCDQ， DP=DQ； 故答案为= （2）四边形 ABCD 是矩形， AADCBCD90 ADPPDCCDQPDC90 ， ADPCDQ 又ADCQ90 ADPCDQ， APCQADCD24 12， 设 APx，则 CQ2x， PB4x，BQ22x 由勾股定理得，在 RtPBQ中，PB2BQ2PQ2， 代入得（4x）2（22x）252， 解得 x1，即 AP1 AP 的长为 1 如图，过点 B作 BEDP交 DP延长线于点 E，BFDQ 于点 F， 由得：ADPCDQ， APD=Q，APCQADCD24 12， CQ=2AP， APD=BPE， BPE=Q， BD平分PDQ，BEDE，BFDQ， BE=BF， E=BFQ=90， BEPBFQ， BP=BQ， 设 AP=m，则 BQ=BP=4-m，CQ=2m， 2+2m=4-m，解得：23m ， 即23AP ， 222222 10233DPADAP 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键