2022年山东省青岛市高新区中考一模数学试题（含答案解析）

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1、2022年山东省青岛市高新区中考一模数学试题一、单选题.1. 的绝对值是（ ）.A. B. C. -3D. 2. 如图长方体的展开图，不可能是（ ）A. B. C. D. 3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）.A. B. C. D. 4. 在显微镜下，一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.000000083m这个数据用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 5. 某校篮球队12名队员的年龄情况如下：年龄（岁）1415161718人数24321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）.A. 16，15B. 15，15.5C. 15，16.5D. 15，156

2、. 如图，的顶点坐标、，若绕点按逆时针方向旋转90，再向右平移2个单位，得到，则点的对应点的坐标是（ ）.A. B. C. D. 7. 如图，在中，以点为圆心，以2cm的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 相切或相交8. 已知，一次函数与二次函数的部分自变量与对应的函数值如表：02341345-2-2414当时，自变量的取值范围是（ ）.A. 或B. 或C. D. 二、填空题.9. 计算：_.10. 在一个不透明的口袋中装有10个白球和个红球，它们除颜色外完全相同.若从中随机摸出一球；摸到红球的概率为，则的值为_.11. 如图，A、B、C、D是半径为4cm的

3、上的四点，AC是直径，则_cm.12. 某校准备购买签字笔和笔袋奖励优秀学生，第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元.第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500元.每次购买签字笔和笔袋的单价都相同，求签字笔和笔袋的单价分别是多少元?若设签字笔元/支，笔袋元/个，则根据题意可列方程组为_.13. 如图，在矩形中，点是线段上动点，点是线段上的动点，则的最小值是_.14. 如图，P是OA上一动点（点P不与O、A重合），过点P做，交OD于点B，交AD于点C，M是OP中点，N是PA中点连接BM、CN，下列结论正确是_（填写所有正确结论的序号）是等腰三角形四边形是平行四边形，周

4、长是14cm动点无论移动到OA上哪一点（P不与O、A重合），的值为固定值是.三、作图题15. 已知：线段，直线及外一点A.求作：菱形ABCD，使顶点A、C在直线两侧，对角线BD在直线上，且.四、解答题16. 计算（1）化简：（2）解不等式组，并写出它的整数解18. 2022年冬奧运会、冬残奥会不久前在北京落下帷幕，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深得大家喜爱在一次活动中，奖品为一个“冰墩墩”的玩偶，小颖和小亮都想获得该奖品，组织者想到北京冬奥会2月4日开始，2月20日结束，冬残奥会3月4日开始，3月13日结束.组织者设计了一个游戏：准备A、B两组除正面数字不同其余都相同的纸牌，每组三张，A组牌正面

5、数字分别是2，4，20B组牌正面数字分别是3，4，13将纸牌背面朝上，充分洗匀后，小颖从A组纸牌中摸出一张，小亮从B组纸牌中摸出一张，称为一次游戏.当摸出的两张纸牌的正面数字差的绝对值小于9，则小颖胜，否则小亮胜，获胜者即可获得“冰墩墩”的玩偶（1）请你用列表法或画树状图求出小颖胜的概率（2）这个游戏公平吗?请说明理由.20. 某校九年级的800名学生参加兴趣社团活动；现有以下5个兴趣社团：A篮球社团，B书香社团，C舞蹈社团，D编程社团，E合唱社团，要求：每位学生都从中选择一个社团参加，为了了解同学们选择这5个社团的情况，现随机对九年级中的部分同学选择的兴趣社团进行了调查，收集、整理、统计、描

6、述数据；选择各兴趣社团的人数统计表：兴趣社团人数A篮球社团10B书香社团8C舞蹈社团aD编程社团4E合唱社团6选择各兴趣社团的人数统计图：根据以上信息：（1）请补全统计表和统计图_，_（2）扇形统计图中D（编程社团）部分对应的圆心角是_；（3）根据样本数据估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有多少人？22. 2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达

7、中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离（结果保留整数）（参考数值：，）23. 2022年疫情期问，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”某爱心企业计划用2400元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的

8、数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？25. 已知：如图中，BD平分交AC于点D，E为AB中点，过点A作，交DE延长线于点F.（1）求证：（2）当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形?请证明你的结论.27. 2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，根据市场调查发现，日销售量（件）与销售单价（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.（1）求日销售

9、量（件）与销售单价（元）的函数关系式；（2）求该批玩具的日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元?29. 【问题提出】计算（其中是正整数）【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究.图1中，第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为2+2=22，即；第3行三个圆圈中数的和为3+3+3=33即；第行个圆圈中数的和为，即.所有圆圈中数的和为.要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手：探究一：计算.将图2按逆时针方向两次旋转得到图3

10、、图4.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5（1+2）.则图2中所有数字之和为，所以得到等式.探究二：计算仿照上述方法，将图6按逆时针方向两次旋转得到图7、图8.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈数字之和都是_（如图9），而图9共有_个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为_.那么图6中所有数字之和为_，所以得到等式_.（仿照上述方法，写出探究得出的式子）.探究三：计算_.（仿照上述方法，直接写出结果）【问题解决】_.（仿照上述方法，直接写出探究得出的式子，用含的代数式表示）【拓广应用】计算：_.（直接写出

11、结果）30. 已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，.延长BC至点E，使，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为，过点F作垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为，过点H作，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为，解答下列问题：（1）求证：；（2）是否存在某一时刻，使G点在ED的垂直平分线上?若存在，求出值；若不存在，请说明理由.（3）设六边形PCGFDH的面积为，求与的函数关系式；（4）连接HG，是否存在某一时刻，使?若存在，求出值；若不存在，请说明理由.2022年山东省青岛市高新区中考一模数学试题一、单选题.1

12、. 的绝对值是（ ）.A. B. C. -3D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义求解即可【详解】解：的绝对值是，故选A【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，掌握绝对值是解题的关键2. 如图长方体的展开图，不可能是（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】结合长方体的面与面之间的连接判断即可；【详解】解：A选项正确，不符合题意；B选项正确，不符合题意；C选项正确，不符合题意；D组合后缺少上表面，选项错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了长方体的展开图，掌握长方体的立体特征是解题关键3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）.A.

13、B. C. D. 【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意故选：B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合4. 在显微镜下，一种细胞的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.000000083m这个数

14、据用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法判断即可详解】解：0.0000000838.3108故选：C【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定5. 某校篮球队12名队员的年龄情况如下：年龄（岁）1415161718人数24321则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）.A. 16，15B. 15，15.5C. 15，16.5D. 15，15【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义求解可得【详解】解：这组数据中1

15、5出现4次，次数最多，众数为15岁，把这列数从小到大排列为：14，14，15，15，15，15，16，16，16，17，17，18，12个数中它的中位数是第6、7个数据的平均数，中位数为（岁），故选：B【点睛】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数6. 如图，的顶点坐标、，若绕点按逆时针方向旋转90，再向右平移2个单位，得到，则点的对应点的坐标是（ ）.A. B. C. D. 【6题答案】【答案

16、】A【解析】【分析】作图说明绕点按逆时针方向旋转90后点A的对应点A的坐标，然后可得再向右平移2个单位后得到的点的坐标【详解】解：如图，的边OA绕点按逆时针方向旋转90后为OA，A（5，3），再向右平移2个单位后得到的点的坐标是，故选：A【点睛】本题考查了旋转和平移，掌握旋转和平移的性质是解题的关键7. 如图，在中，以点为圆心，以2cm的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 相切或相交【7题答案】【答案】A【解析】【分析】计算C点到AB上的高即可判断；【详解】解：如图，过C作CDAB于D，由题意得：AB=5，AB=cm，由勾股定理得：BC=cm，RtBCD中，

17、CD=BCsinB=3cm，2cm3cm，圆与AB相离，故选： A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题关键8. 已知，一次函数与二次函数的部分自变量与对应的函数值如表：02341345-2-2414当时，自变量的取值范围是（ ）.A. 或B. 或C. D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据表格所给的值作出一次函数与抛物线的图象，再由两函数交点判断求解【详解】解：根据表格作出两个函数图象，如图所示，由图象可得，当时，函数自变量的取值范围是x3，故选：D【点睛】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数与不等式的关系，利用图象法求解不等

18、式二、填空题.9. 计算：_.【9题答案】【答案】#-0.25【解析】【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键10. 在一个不透明的口袋中装有10个白球和个红球，它们除颜色外完全相同.若从中随机摸出一球；摸到红球的概率为，则的值为_.【10题答案】【答案】15【解析】【分析】根据摸到红球的概率为，列出方程求解即可.【详解】解：在一个不透明的口袋中装有10个白球和个红球，共有(10+m)个球，根据概率公式知：P(红球)，解得m15.经检验，m=15是方程的解故答案为：15.【点睛】此题考查了概率公式的应用解题关

19、键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比注意方程思想的应用11. 如图，A、B、C、D是半径为4cm的上的四点，AC是直径，则_cm.【11题答案】【答案】【解析】【分析】连接,根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是90，可得，则是等腰直角三角形，勾股定理求解即可【详解】解：连接，AC是直径，是等腰直角三角形，半径为4cm， cm，故答案为：【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90，勾股定理解直角三角，掌握以上知识是解题的关键12. 某校准备购买签字笔和笔袋奖励优秀学生，第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元.第二次购买签字笔60支，笔袋50个

20、，购买总价为1500元.每次购买签字笔和笔袋的单价都相同，求签字笔和笔袋的单价分别是多少元?若设签字笔元/支，笔袋元/个，则根据题意可列方程组为_.【12题答案】【答案】【解析】【分析】根据题意找到等量关系，列出方程组即可【详解】解:由第一次购买签字笔40支，笔袋30个，购买总价为960元可得:40x+30y=960，由第二次购买签字笔60支，笔袋50个，购买总价为1500可得: 60x+50y=1500，可列方程组为，故答案为: 【点睛】本题考查了列二元一次方程组,根据题意找到等量关系是解题的关键13. 如图，在矩形中，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是_.【13题答案】【答案

21、】【解析】【分析】根据“牧人饮马”模型可作点C关于AB边的对称点，根据“垂线段最短”，过点作AC边的垂线段，垂足为P交AB于点Q，此时的P、Q位置为最小值的位置【详解】解：如图所示：作点C关于AB的对称点C，过点作AC边的垂线段，垂足为P交AB于点Q，根据垂线段最短可得：最小，在矩形中，又，故答案为：【点睛】本题考查了最短路径问题及利用锐角三角函数解三角形，熟知最短路径问题的解题模型是解决本题的关键14. 如图，P是OA上一动点（点P不与O、A重合），过点P做，交OD于点B，交AD于点C，M是OP中点，N是PA中点连接BM、CN，下列结论正确的是_（填写所有正确结论的序号）是等腰三角形四边形是

22、平行四边形，周长是14cm动点无论移动到OA上哪一点（P不与O、A重合），的值为固定值是.【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明OOPB，由等角对等边可得正确；根据等腰三角形三线合一的性质可知正确；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再由BOBP，PCCA求出平行四边形的周长可知正确；作DEOA于E，CFDE于F，证明四边形FENC是矩形，BMPDFC，求出BMCNDFFEDE，再由勾股定理求出DE即可【详解】解：，AO，AOPB，OOPB，BOBP，是等腰三角形，正确；同可得：是等腰三角形，N是PA中点，CNPA，正确；，四边

23、形是平行四边形，由可知BOBP，由可知是等腰三角形，PCCA，平行四边形的周长BPPCCDDBBOCACDDBODAD14cm，正确；如图，作DEOA于E，CFDE于F，由可知CNPA，四边形FENC是矩形，FECN，是等腰三角形，M是OP中点，BMOP，即BMP90，四边形是平行四边形，BPDC，CFDE，OADE，CFOA，ADCF， 由可知AOPB，DCFOPB，在BMP和DFC中，BMPDFC（AAS），BMDF，BMCNDFFEDE，DOA是等腰三角形，DEOA，OE，DE，BMCN，正确；综上，结论正确的是：，故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性

24、质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握基础知识进行推理计算是解题的关键三、作图题15. 已知：线段，直线及外一点A.求作：菱形ABCD，使顶点A、C在直线两侧，对角线BD在直线上，且.【15题答案】【答案】见解析【解析】【分析】过点A作ACl于O，在AO延长线上截取OC=OA，在直线l上截取OB=OD=，连接AB，BC，CD，DA即可【详解】解：如图所示，过点A作ACl于O，在AO延长线上截取OC=OA，在直线l上截取OB=OD=，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所要求作的 ACBD，OA=OC，OB=OD=，四边形ABCD是菱形，BD=a，即

25、菱形ABCD，即为所要求作的【点睛】本题考查复杂作图，掌握过一点作已知直线的垂线的基本作图和菱形的判定性质是解题的关键四、解答题16. 计算（1）化简：（2）解不等式组，并写出它的整数解【16题答案】【答案】（1）； （2）0，1，2；【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简即可；（2）分别解不等式，再求解集的公共部分；找出整数解即可；【小问1详解】解：原式=【小问2详解】解：，由得6x18，x3，由得16x+83+x，15x-5，x，不等式组的解集为：x3，不等式组的整数解为：0，1，2；【点睛】本题考查了分式的化简，求不等式组的整数解，掌握相关运算法则是解题关键18.

26、 2022年冬奧运会、冬残奥会不久前在北京落下帷幕，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深得大家喜爱在一次活动中，奖品为一个“冰墩墩”的玩偶，小颖和小亮都想获得该奖品，组织者想到北京冬奥会2月4日开始，2月20日结束，冬残奥会3月4日开始，3月13日结束.组织者设计了一个游戏：准备A、B两组除正面数字不同其余都相同的纸牌，每组三张，A组牌正面数字分别是2，4，20B组牌正面数字分别是3，4，13将纸牌背面朝上，充分洗匀后，小颖从A组纸牌中摸出一张，小亮从B组纸牌中摸出一张，称为一次游戏.当摸出的两张纸牌的正面数字差的绝对值小于9，则小颖胜，否则小亮胜，获胜者即可获得“冰墩墩”的玩偶（1）请你用列表法或

27、画树状图求出小颖胜的概率（2）这个游戏公平吗?请说明理由.【18题答案】【答案】（1）见解析 （2）不公平；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意直接列出树形图或列表即可得所有等可能的结果，求得两张纸牌的牌面数字差的绝对值小于9的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；（2）分别计算他们各自获胜的概率，即可知道游戏是否公平不公平【小问1详解】列表如下：差的绝对值24203111742016131197由表格可以看出，所有可能出现的结果有9种，其中两张纸牌的牌面数字差的绝对值小于9的有5种，所以小颖获胜的概率为：；【小问2详解】（2）这个游戏不公平，理由如下：小颖获胜概率为：，小亮获胜的概率为：

28、，因为，所以游戏不公平【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比20. 某校九年级的800名学生参加兴趣社团活动；现有以下5个兴趣社团：A篮球社团，B书香社团，C舞蹈社团，D编程社团，E合唱社团，要求：每位学生都从中选择一个社团参加，为了了解同学们选择这5个社团的情况，现随机对九年级中的部分同学选择的兴趣社团进行了调查，收集、整理、统计、描述数据；选择各兴趣社团的人数统计表：兴趣社团人数A篮球社团10B书香社团8C舞蹈社团

29、aD编程社团4E合唱社团6选择各兴趣社团的人数统计图：根据以上信息：（1）请补全统计表和统计图_，_（2）扇形统计图中D（编程社团）部分对应的圆心角是_；（3）根据样本数据估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有多少人？【20题答案】【答案】（1）12，20 （2）36； （3）320人【解析】【分析】（1）根据A社团的人数和百分比求得调查学生总数即可解答；（2）根据扇形圆心角=所占百分比360计算求值；（3）根据调查学生中篮球社团和合唱社团的人数占调查人数的百分比估算总体中的人数即可；【小问1详解】解：由A社团的人数和百分比可得：调查学生总数=1025%=40人；C社团人数=40-10-8-4

30、-6=12人；B社团百分比=；故答案为：12，20小问2详解】解：D部分对应的圆心角=10%360=36；【小问3详解】解：A、E社团一共有10+6=16人，估计全年级选择篮球社团和合唱社团的共有：800=320人；【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图的联合求值，用样本估计总体；读懂图表所表达的数据信息是解题关键22. 2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走

31、500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离（结果保留整数）（参考数值：，）【22题答案】【答案】359米【解析】【分析】CD=x米，AD=y米，根据矩形的长和宽列方程求解即可；【详解】解：由题意得：AB=200米，BC=500米，设CD=x米，AD=y米，则：解得：，中餐台C到就餐区D的距离为：359米；【点睛】本题考查了解直角三角形和二元一次方程组的应用；掌握三角函数的定义是解题关键23. 2022年疫情期问，我区爱心企业踊跃捐赠物资，以爱心助力校园抗“疫”某爱心企业计划用2400元

32、购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折前多100个（1）求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？（2）由于学生的需求不同，该爱心企业决定购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共800个B品牌N95口罩每个原售价为7元，两种品牌N95口罩都打八折，且购买A品牌N95口罩的数量不超过总数量的一半，请问该爱心企业计划用的2400元钱是否够？如果够用，请设计一种最节省的购买方案，如果不够用，请求出至少还需要再添加多少钱？【23题答案】【答案】（1）6元； （2）不够，至少还需要再添加1760元；【解析】【分析】（1）根据打折前后购买数量差列方程求

33、解即可；（2）设购买x个A口罩，总花费为y元；列出y的表达式，再由0x400根据函数的性质判断即可；【小问1详解】解：设未打折前售价x元，由题意得：，解得：x=6，经检验x=6是方程的根，未打折前售价6元；【小问2详解】解：设购买x个A口罩，总花费为y元；由题意得：y=0.86x+0.87（800-x）=-0.8x+4480，当0x400时，函数递减，x=400时，函数有最小值4160，2400元不够，4160-2400=1760元，至少还需要再添加1760元；【点睛】本题考查了分式方程，一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质是解题关键25. 已知：如图中，BD平分交AC于点D，E为AB中点，

34、过点A作，交DE延长线于点F.（1）求证：（2）当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形?请证明你的结论.【25题答案】【答案】（1）见解析 （2）ABBC时，四边形AFBD是矩形，证明见解析【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出AFEBDE，然后利用“角角边”,证明，进而证明四边形是平行四边形，即可得证（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知ADB90，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是ABBC【小问1详解】证明： E为AB中点，又【小问2详解】当ABC满足：ABBC时，四边形AFBD是矩形；，

35、AFBD，四边形AFBD是平行四边形，ABBC，ADCD，BD平分ABCADB90，平行四边形AFBD是矩形【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键27. 2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，根据市场调查发现，日销售量（件）与销售单价（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.（1）求日销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式；（2）求该批玩具的日销售利润（元）与销售

36、单价（元）的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元?【27题答案】【答案】（1） （2）； （3）当销售单价为57元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元【解析】【分析】（1）根据题意，得，设，根据一次函数图像性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，根据整式混合运算的性质计算，即可得到答案；（3）根据二次函数的性质，得的对称轴为：；再根据二次函数的递增性计算，即可完成求解【小问1详解】根据题意，得：，即设 日销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式为：；【小问2详解】结合（1）的结论，得该批玩具的日销售利润（元

37、）与销售单价（元）的函数关系式为：；【小问3详解】结合（2）的结论，得：的对称轴为： 当时，随x的增大而增大当时，取最大值最大利润元【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解29. 【问题提出】计算（其中是正整数）【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究.图1中，第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为2+2=22，即；第3行三个圆圈中数的和为3+3+3=33即；第行个圆圈中数的和为，即.所有圆圈中数的和为.要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手

38、：探究一：计算.将图2按逆时针方向两次旋转得到图3、图4.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5（1+2）.则图2中所有数字之和为，所以得到等式.探究二：计算仿照上述方法，将图6按逆时针方向两次旋转得到图7、图8.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是_（如图9），而图9共有_个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为_.那么图6中所有数字之和为_，所以得到等式_.（仿照上述方法，写出探究得出的式子）.探究三：计算_.（仿照上述方法，直接写出结果）.【问题解决】_.（仿照上述方法，直接写出探究得出的式

39、子，用含的代数式表示）【拓广应用】计算：_.（直接写出结果）【29题答案】【答案】 探究二7，； 探究三； 问题解决； 拓广应用 【解析】【分析】 探究二根据探究一的方法可知观察图6、图7、图8，这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是7，进而根据探究一的方法求解即可； 探究三根据 探究二的方法直接求得的结果即可；问题解决根据上述规律写出结果即可；拓广应用分别求，作差求解即可【详解】 探究二 观察图6、图7、图8，这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是7，而图9共有个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为.那么图6中所有数字之和为，所以得到等式故答案为：7，； 探究三 根据探究二可

40、得：故答案为：问题解决 故答案为：拓广应用故答案为：【点睛】本题考查了数字类规律问题，找到规律，利用乘法公式计算是解题的关键30. 已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，.延长BC至点E，使，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为，过点F作垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为，过点H作，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为，解答下列问题：（1）求证：；（2）是否存在某一时刻，使G点在ED的垂直平分线上?若存在，求出值；若不存在，请说明理由.（3）设六边形PCGFDH的面积为，求与的函数关系式；（4）连接HG，

41、是否存在某一时刻，使?若存在，求出值；若不存在，请说明理由.【30题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3） （4）存在，【解析】【分析】（1）根据菱形和等腰三角形的性质，得四边形为平行四边形、，从而完成证明；（2）根据平行四边形和垂直平分线的性质分析，即可得到答案；（3）根据菱形和勾股定理的性质，得；延长CP，交AD于点M，根据相似三角形的性质，得；设和的距离为，根据三角形面积的性质，得，根据相似三角形的性质得，通过计算即可得到答案；（4）根据相似三角形的性质，得，根据平行四边形和一元一次方程的性质计算，即可得到答案【小问1详解】菱形ABCD， ， ，四边形为平行四边形， ， ，即；【小问2详解】四边形为平行四边形， ，当时，使G点在ED的垂直平分线上，；【小问3详解】点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为，点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为， ，cm， ，菱形ABCD， ， ， ，如图，延长CP，交AD于点M， ， ， ， ， ， ，设和的距离为 ， ， ， ， ，六边形PCGFDH的面积， cm，；【小问4详解】， ， ，