2021-2022学年七年级下数学期末难点特训（二）与整式乘法和因式分解有关的压轴题（含答案解析）

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1、七年级下期末难点特训（二）与整式乘法和因式分解有关的压轴题1已知、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、均为正整数，则以下结论错误的是_.；若，则；若，则；若，则；2一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足ma2+b2，我们就称该整数为“空谷”数例如：对于整数28222+228，282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，122+12145121451也是一个“空谷”数满足m2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，2418，481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，211

2、734，13417是一个“幽兰”数（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 ；（2）若是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，求a2b2的值（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数请写出所有的四位“空谷幽兰”数3定义：若一个整数能表示成a2b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如：因为133222，所以13是“完美数”；再如：因为a22ab2b2（ab）2b2，所以a22ab2b2也是“完美数”（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；（2）

3、判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；（3）已知Mx24xk（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”4材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例

4、如4334，5665均为“南麓数”根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t5对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）例如：（1）已知求的值；若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围；（2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式学习参考：，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去

5、乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加6若满足，求的值：解：设，则所以请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若满足，求的值；（2）已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积7完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题例如：若，求的值解：因为所以所以得根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，求的值；（2）若,则 ；若则 ；（3）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积8知识生成通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线

6、用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形请解答下列问题：（1）图中阴影部分的正方形的边长是_；（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：方法1:_；方法2：_；（3）观察图，请你写出（a+b）2、之间的等量关系是_；（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，则= 知识迁移类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式（5）根据图，写出一个代数恒等式：_；（6）已知，利用上面的规律求的值9知直线，一块直角三角板的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，其中，请解答下列问题：（1）如图1，若点C在直线b上，点B在直线b的下方，求的度数：（2）如图2，若三

7、角板的位置绕着点A进行转动，使得点C在直线a，b之间，点B在直线b的下方请说明和的数量关系；若图中两个角的度数和之间满足关系式，求x，y的值七年级下期末难点特训（二）与整式乘法和因式分解有关的压轴题1已知、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、均为正整数，则以下结论错误的是_.；若，则；若，则；若，则；【答案】【解析】【分析】根据新定义进行推理论证便可判断正误【详解】解：，故正确；，、为整数），由两式相加可得：，为整数），故正确；，、为整数），由两式相乘可得：，为整数， 故正确；，两式相除得，不一定是整数，不一定正确，故错误答案为【点睛】本题是一个新定义题，关键是根据新定义进行

8、推理计算，主要考查了学生的推理能力和自学能力2一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足ma2+b2，我们就称该整数为“空谷”数例如：对于整数28222+228，282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，122+12145121451也是一个“空谷”数满足m2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，2418，481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，211734，13417是一个“幽兰”数（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的

9、数为40，则该四位数为 ；（2）若是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，求a2b2的值（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数请写出所有的四位“空谷幽兰”数【答案】（1）390；4405或5404；（2）136或-136；（3）1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987【解析】【分析】（1）根据“空谷”数，“幽兰”数的特点进行分析并解答即可；（2）据题意可得：a2+b2=586，2ab=570，从而可求得a+b与a-b的值，进而可求a2-b2的值；（3）由题意可得：a2+b2=2ab，整理可得a=b，再由这个数是四位数，分析可得出结

10、果【详解】解：（1）这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9，a2+b2=9，有，（不符合题意），这个三位数是390；这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40，2ab=40，则ab=20，有，（不符合题意），（不符合题意），这个四位数是：4405或5404；故答案为：390；4405或5404；（2）是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，a2+b2=586，2ab=570，(a+b)2=a2+b2+2ab=586+570=1156，则a+b=34，(a-b)2=a2+b2-2ab=586-570=16，则a-b=4，a2-b2=(a+b)(a-b)=344=136或a2-b2=(a+b)(a-b)=

11、34(-4)=-136；（3）由题意得：，则有a2+b2=2ab，整理得：(a-b)2=0，则有a=b；这个整数是一个四位数，1a9，1b9，中间数是两位数，则有：a=b=1时，这个四位数是1021；a=b=2时，这个四位数是2082；a=b=3时，这个四位数是3183；a=b=4时，这个四位数是4324；a=b=5时，这个四位数是5505；a=b=6时，这个四位数是6726；a=b=7时，这个四位数是7987综上，这个四位数是1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，灵活运用因式分解进行解答3定义：若一

12、个整数能表示成a2b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如：因为133222，所以13是“完美数”；再如：因为a22ab2b2（ab）2b2，所以a22ab2b2也是“完美数”（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；（3）已知Mx24xk（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由见解答过程；（4）见解析【解析】【分析】（1）2=12+12，5=22+12

13、，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；（2）利用53=22+72即可判断；（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，故答案为：2或5或8（写一个即可）；（2）53=22+72，故53是“完美数”，故答案为：是；（3）k=5（答案不唯一），理由：M=x2+4x+kM=x2+4x+

14、4+k-4M=（x+2）2+k-4则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则有mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad-bc）2故mn是一个“完美数”【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键4材料一：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，

15、此时例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，因为，所以9和7为32的最佳平方差分解，材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t【答案】（1），；（2）见解析；（3）2772，5445【解析】【分析】（1

16、）根据雪松数的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；（3）设，均为正整数，且，另一个“南麓数”为，均为正整数，且，根据“南麓数”的特征即可得到结论【详解】解：（1）由题意可得：，；（2）若10是“雪松数”，则可设，均为正整数，且，则，又，均为正整数，或，解得：或，与，均为正整数矛盾，故10不是雪松数；（3）设，均为正整数，且，另一个“南麓数”为，均为正整数，且，则，整理得，均为正整数，经探究，符合题意，的值分别为：2772，5445【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键5对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）例如：（1）已知

17、求的值；若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围；（2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式学习参考：，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加【答案】（1）；42a54；（2）m=2n【解析】【分析】（1）构建方程组即可解决问题；根据不等式即可解决问题；（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题【详解】解：（1）由题意得，解得，由题意得，解不等式得p-1解不等式得p，-1p，恰好有3个整数解，2342a54；（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（m

18、y+nx）（y+2x），mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，对任意有理数x，y都成立，m=2n【点睛】本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型6若满足，求的值：解：设，则所以请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若满足，求的值；（2）已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积【答案】（1）19；（2）33【解析】【分析】（1）设，从而可得，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得，再利用正方形MFRN的

19、面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得【详解】（1）设，则，所以，；（2）由题意得：，因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，所以阴影部分的面积为，设，则，所以，由平方根的性质得：或（不符题意，舍去），所以，故阴影部分的面积为33【点睛】本题考查了乘法公式与图形面积，熟练掌握并灵活运用乘法公式是解题关键7完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题例如：若，求的值解：因为所以所以得根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，求的值；（2）若,则 ；若则 ；（3）如图，点是线段上的一点，以为

20、边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积【答案】（1）12；（2）6；17；（3）【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；（2）两边平方，再将代入计算；两边平方，再将代入计算；（3）由题意可得：，两边平方从而得到，即可算出结果【详解】解：（1）；又；，（2），；又，由，；又，（3）由题意可得，；，；，；图中阴影部分面积为直角三角形面积，【点睛】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题（2）小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得，是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案（3）根据几何图形可

21、知选段，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到，再根据直角三角形面积公式得出答案8知识生成通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形请解答下列问题：（1）图中阴影部分的正方形的边长是_；（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：方法1:_；方法2：_；（3）观察图，请你写出（a+b）2、之间的等量关系是_；（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，则= 知识迁移类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式（5）根据图，写出一个

22、代数恒等式：_；（6）已知，利用上面的规律求的值【答案】（1） a-b；（2）； ；（3）；（4） 14；（5） （a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6） 9【解析】【分析】（1）由图直接求得边长即可，（2）已知边长直接求面积，阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，可得答案，（3）利用面积相等推导公式；（4）利用（3）中的公式求解即可，（5）利用体积相等推导；（6）应用（5）中的公式即可【详解】解：（1）由图直接求得阴影边长为a-b； 故答案为：a-b； （2）方法一：已知边长直接求面积为； 方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积， 面积为； 故答案为； （3）由阴影

23、部分面积相等可得；故答案为： （4）由， 可得， ， ， ； 故答案为； （5）方法一：正方体棱长为a+b， 体积为， 方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ； 故答案为； （6）； 将a+b=3，ab=1，代入得： ；【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；同时考查对公式的熟练的应用，能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键9知直线，一块直角三角板的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，其中，请解答下列问题：（1）如图1，若点C在直线b上，点B在直线b的下方，求的度数：（2）如图2，若三角板的位置绕着点A进行转动，使得点C在直线a，b之间，点B在直线b的下方请

24、说明和的数量关系；若图中两个角的度数和之间满足关系式，求x，y的值【答案】（1）50；（2）+=90；x=130，y=70【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得到ACD，从而得出结果；（2）过点C作CDa，利用内错角的性质得到=ACD，=BCD，相加可得结果；利用+=90进行等量代换，得到x-y=60，再根据得到方程组，解之即可【详解】解：（1）2=40，ACB=90，ACD=50，ab，1=ACD=50；（2）如图，过点C作CDa，ab，CDb，=ACD，=BCD，+=ACD+BCD=90；=180-x-30，=y，+=90，180-x-30+y=90，x-y=60，x+y=200，+得：2x=260，解得：x=130，-得：2y=140，解得：y=70【点睛】本题考查了平行线的性质，平方差公式，二元一次方程组，解题的关键是添加辅助线得到+=90，再进行等量代换得到x和y的关系