2021-2022学年八年级下数学期末难点特训(一)与特殊四边形有关的压轴题(含答案解析)
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1、八年级下数学期末难点特训(一)与特殊四边形有关的压轴题1小乾同学提出一种新图形定义:一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形如图1,四边形ABCD中,AB=CD,ABCD,四边形ABCD即为等垂四边形,其中相等的边AB、CD称为腰,另两边AD、BC称为底(1)性质初探:小乾同学探索了等垂四边形的一些性质,请你补充完整:等垂四边形两个钝角的和为 ;若等垂四边形的两底平行,则它的最小内角为 (2)拓展研究:小坤同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关系,如图2,M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点,试探索MN与AB的数量关系,小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180,请按此方法求出MN
2、与AB的数量关系,并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数如图1,等垂四边形ABCD的腰为AB、CD,AB=CD=AD=3,则较长的底BC长的取值范围是 (3)实践应用:如图3,直线l1,l2是两条相互垂直的公路,利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园,第四条边CD做成一条隔离带,已知AB=250米,BC=240米,AD=320米,此隔离带最长为多少米?2【问题情境】:如图1,点E为正方形ABCD内一点,AE2,BE4,AEB90,将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度(0180)点B、E的对应点分别为点B、E;【问题解决】:(1)如图2,在旋转的过程中,点B落在
3、了AC上,求此时CB的长;(2)若90,如图3,得到ADE(此时B与D重合),延长BE交BE于点F,试判断四边形AEFE的形状,并说明理由;连接CE,求CE的长;(3)在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中,直接写出线段CE长度的取值范围3【问题背景】如图,点是等边内一点,求的度数【方法探索】小丽通过分析、思考,形成如下思路:思路一:将绕点逆时针旋转,得到,连接,从而求出的度数;思路二:将绕点顺时针旋转,得到,连接,从而求出的度数下面是某位同学的解题,请你完成后续解题过程;解:把绕着点逆时针旋转得到,连接请接着写下去:【类比探究】如图,若点是正方形内一点,直接写出 _如图,点在正方形的对
4、角线上,且满足直接写出线段间的数量关系为_ ;【拓展延伸】如图,在四边形中,过点作,连接,问线段是否存在最小值?若存在,请求出最小值若不存在,请说明理由4在中,点为直线上一动点(点不与重合),以为边在右侧作正方形,连接(1)探究猜想如图1,当点在线段上时,与的位置关系为 ;之间的数量关系为 ;(2)深入思考:如图2,当点在线段的延长线上时,结论、是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸如图3,当点在线段的延长线上时,正方形对角线交于点若已知,请求出的长5(1)【发现证明】问题:如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD边上的动点,且,求证:
5、观察:EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上,能不能借助图形的运动,将部分线段放置在一条直线上加以证明呢?思路:将绕点A顺时针旋转90使AB与AD重合,得到了旋转后的根据上述思路在图1中画图分析并证明(写出详细的证明过程)若正方形ABCD的边长为6,当动点E在BC边上运动到中点位置时,动点F在CD边上距离D点多长的位置?(写出详细的解答过程)(2)【类比迁移】若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点,EF、BE、DF三者之间还存在(1)中的关系吗?根据解决(1)中问题的经验加以探究如图2,在正方形ABCD中,点E、F分别是CB、DC延长线上的动点,且,EF、BE、DF之间的数量关系是什
6、么?请借助图2加以分析,并写出详细的证明过程如图3,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD延长线上的动点,且,则EF、BE、DF之间的数量关系是_(直接写出关系式,无需证明)6已知矩形中,点是边的中点(1)如图,连接并延长,与的延长线交干点,问:线段上是否存在点,使得为等腰三角形,若存在,请求出的长,若不存在,请说明理由(2)如图,把矩形沿直线折益,使点落在点上,直线与、的交点分别为、,求折痕的长(3)如图:在(2)的条件下,以点为原点、分别以矩形的两条边、所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系,若点在轴上,在平面内是否存在点,使以、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存
7、在,请说明理由(4)如图:若点为边上的一个动点,连结,以为边向下方作等边,连结,则的最小值是_(请直接写出答案)7问题背景若两个等腰三角形有公共底边,则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点;若再满足两个顶角的和是180,则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点如图1,四边形中,是一条对角线,则点与点关于互为顶针点;若再满足,则点与点关于互为勾股顶针点初步思考(1)如图2,在中,、为外两点,为等边三角形点与点_关于互为顶针点;点与点_关于互为勾股顶针点,并说明理由实践操作(2)在长方形中,如图3,点在边上,点在边上,请用圆规和无刻度的直尺作出点、,使得点与点关于互为勾股顶针点(不
8、写作法,保留作图痕迹)思维探究如图4,点是直线上的动点,点是平面内一点,点与点关于互为勾股顶针点,直线与直线交于点在点运动过程中,线段与线段的长度是否会相等?若相等,请直接写出的长;若不相等,请说明理由8社团活动课上,数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题:如图,点为边上一定点,点为边上一动点,以为一边在MON的内部作正方形,过点作,垂足为点(在点、之间),交与点,试探究的周长与的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索:【动手操作,归纳发现】(1)通过测量图、中线段、和的长,他们猜想的周长是长的_倍请你完善这个猜想【推理探索,尝试证明】为了探索这个猜想是否成立,他们作了如下思考,请你完成后
9、续探索过程:(2)如图,过点作,垂足为点则又四边形正方形,则在与中,【类比探究,拓展延伸】(3)如图,当点在线段的延长线上时,直接写出线段、与长度之间的等量关系为 9在数学的学习中,有很多典型的基本图形(1)如图,中,直线经过点,直线,直线,垂足分别为、试说明; (2)如图,中,点、在同一条直线上,则菱形面积为_(3)如图,分别以的直角边、向外作正方形和正方形,连接,是的高,延长交于点,若,求的长度10定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x,y,那么称点T是点A,B的三分点例如:A(1,5),B(7,7),当点T(x,y)满足x2,y4时,则点
10、T(2,4)是点A,B的三分点(1)已知点C(1,8),D(1,2),E(4,2),请说明其中一个点是另外两个点的三分点(2)如图,点A为(3,0),点B(t,2t+3)是直线l上任意一点,点T(x,y)是点A,B的三分点试确定y与x的关系式若中的函数图象交y轴于点M,直线l交y轴于点N,当以M,N,B,T为顶点的四边形是平行四边形时,求点B的坐标若直线AT与线段MN有交点,直接写出t的取值范围11同学们:八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转,图形旋转过程中蕴含着众多数学规律,以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法(1)【问题提出】如图,在正方形ABCD中,MAN
11、=45,点M、N分别在边BC、CD上求证:MNBMDN证明思路如下:第一步:如图,将绕点A按顺时针方向旋转90得到ABE,再证明E、B、M三点在一条直线上第二步:证明请你按照证明思路写出完整的证明过程.(2)【初步思考】如图,四边形ABCD和CEFG为正方形,连接DG、BE,得到和下列关于这两个三角形的结论:周长相等; 面积相等; CBE=CDG其中所有正确结论的序号是 (3)【深入研究】如图,分别以ABCD的四条边为边向外作正方形,连接EF,GH,IJ,KL若ABCD的面积为8,则图中阴影部分(四个三角形)的面积之和为 12(1)【发现】如图1,在中,分别交于,交于已知,求的值思考发现,过点
12、作,交延长线于点,构造,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)请回答:的值为_(2)【应用】如图3,在四边形中,与不平行且,对角线,垂足为若,求的长(3)【拓展】如图4,已知平行四边形和矩形,与交于点,且,判断与的数量关系并证明八年级下数学期末难点特训(一)与特殊四边形有关的压轴题1小乾同学提出一种新图形定义:一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形如图1,四边形ABCD中,AB=CD,ABCD,四边形ABCD即为等垂四边形,其中相等的边AB、CD称为腰,另两边AD、BC称为底(1)性质初探:小乾同学探索了等垂四边形的一些性质,请你补充完整:等垂四边形两个钝角的和为 ;若等垂四边形的两底平行
13、,则它的最小内角为 (2)拓展研究:小坤同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关系,如图2,M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点,试探索MN与AB的数量关系,小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180,请按此方法求出MN与AB的数量关系,并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数如图1,等垂四边形ABCD的腰为AB、CD,AB=CD=AD=3,则较长的底BC长的取值范围是 (3)实践应用:如图3,直线l1,l2是两条相互垂直的公路,利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园,第四条边CD做成一条隔离带,已知AB=250米,BC=240米,AD=320米,此隔离
14、带最长为多少米?【答案】(1)270;45;(2),AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45,理由见解析;(3)650米【解析】【分析】(1)延长CD与BA延长线交于点P,则P=90,可以得到B+C=90,再由B+C+BAD+ADC=360,即可得到BAD+ADC=270;延长CD交BA延长线于P,过点D作DEAB交BC于E,则DEC=B,由等垂四边形的两底平行,即ADBC,可证四边形ABED是平行四边形,得到DE=AB,再由AB=CD,ABCD得到DE=CD,DECD,则DEC=C=45,即四边形ABCD的最小内角为45;(2)延长CD交BA延长线与P,交NM延长线与Q,NM延长线与BA延
15、长线交于点F,将腰AB绕中点M旋转180得到DE,连接CE,BE,由旋转的性质可得:MB=ME,AB=DE,ABM=DEM,则CD=AB=DE,ABDE,即可推出DEC=DCE,EDC=EDP=BPD=90,由勾股定理得到,DEC=DCE=45,再证MN是BCE的中位线,得到,MNCE,则NQC=DCE=45,由此即可推出直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45;延长CD交BA延长线于P,取AD,BC的中点,M、N连接PM,PN,同理可得APD=90,则,即,由(2)可知,即可推出,再由PMN随着PA减小而减小,当点P与点A重合时,PMN最小,此时PN最小,即BC最小,即此时A、D、
16、C三点共线由勾股定理得:,则;(3)仿照(2)进行求解即可(1)解:如图所示,延长CD与BA延长线交于点P,四边形ABCD为等垂四边形,即AB=CD,ABCD,P=90,B+C=90,B+C+BAD+ADC=360,BAD+ADC=270,故答案为:270;如图所示,延长CD交BA延长线于P,过点D作DEAB交BC于E,DEC=B,等垂四边形的两底平行,即ADBC,四边形ABED是平行四边形,DE=AB,又AB=CD,ABCDDE=CD,DECD,DEC=C=45,四边形ABCD的最小内角为45,故答案为:45;(2)解:,AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45,理由如下:延长CD交BA延
17、长线与P,交NM延长线与Q,NM延长线与BA延长线交于点F,将腰AB绕中点M旋转180得到DE,连接CE,BE,四边形ABCD是等垂四边形,AB=CD,ABCD,BPC=90,M是AD的中点,MA=MD,由旋转的性质可得:MB=ME,AB=DE,ABM=DEM,CD=AB=DE,ABDE,DEC=DCE,EDC=EDP=BPD=90,DEC=DCE=45,又M、N分别是BE,BC的中点,MN是BCE的中位线,MNCE,NQC=DCE=45,BPC=90,QPF=90,QFP=45,直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45;如图所示,延长CD交BA延长线于P,取AD,BC的中点,M、N
18、连接PM,PN,同理可得APD=90,即,由(2)可知,又PMN随着PA减小而减小,当点P与点A重合时,PMN最小,此时PN最小,即BC最小,即此时A、D、C三点共线由勾股定理得:,故答案为:;(3)解:如图所示,取AB,CD的中点M,N,连接MN,作点C关于M的对称点E,连接CE,AE,DE,设直线l1与直线l2交于点P,由(2)可知,AEBC,AE=BC=240米,l1l2,APB=PAE=90,DAE=90,米,M、N分别是CE,CD的中点,MN是CED的中位线,米,MNDE,M为AB的中点,APB=90,米,同理可得,即米,米,隔离带最长为650米【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的
19、性质与判定,三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线,勾股定理,三角形三边的关系等等,解题的关键在于能够正确理解题意作出辅助线求解2【问题情境】:如图1,点E为正方形ABCD内一点,AE2,BE4,AEB90,将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度(0180)点B、E的对应点分别为点B、E;【问题解决】:(1)如图2,在旋转的过程中,点B落在了AC上,求此时CB的长;(2)若90,如图3,得到ADE(此时B与D重合),延长BE交BE于点F,试判断四边形AEFE的形状,并说明理由;连接CE,求CE的长;(3)在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中,直接写出线段CE长度的取值范围【答案】(
20、1);(2)四边形是正方形,理由见解析;(3)【解析】【分析】(1)连接AC,先利用勾股定理求出AB,AC的长即可得到的值;(2)根据旋转的性质,再根据,即可证明;过点C作CGBE于G,证明ABEBCG,得到CG=BE=4,BG=AE=2,EG=2,再利用勾股定理求解即可;(3)由题意可知,点的运动轨迹为以A为圆心,以AE长为半径的圆弧上,将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度(0180),的最小值即为E点的位置,最大值即为在CA延长线上的位置,由此即可求解【详解】解:(1)如图,连接AC,AE2,BE4,AEB90,四边形ABCD是正方形,ABC=90,由旋转的性质可得,;(2)四边形是正
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