2022年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题及答案
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1、2022 年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题 (说明:本试卷满分 150 分,共 15 题, 10 道填空题,5 道解答题。所有题目的答案填写在答题纸上。 ) 一、填空题(每题填空题(每题 6 6 分,共分,共 6 60 0 分分) 1 1. 设,(0,)2 , 且22610sinsinsinsin1022+ =, 则+=_。 答案 2 解 由已知配方得22610(sin)(sin)044+=,解得610sin,sin44=,所以sin()1+=,所以2+=。 2. 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中, E是AB的中点,F是 1CC的中点,则D到过1D、E、F三点的平面的距离为
2、_。 答案 4 2929 解 以D为原点, 分别以,DA DC D1D为, ,x y z轴建立空间直接坐标系,求得过1D、E、F平面的法向量为(3,2,4)n =。又1(0,0,1)DD =。所以D到过1D、E、F三点的平面的距离为14 2929DDnn=。 3. 若单位复数, a b满足3abab+=(z表示复数z的共轭),则ab= _。 答案 23 解 ()()21123ababababab= + =,所以23ab= 4. 已知数列121,(2)1nnaann=,则121()_nkka aa=。 答案 22(1)!n+ 解 由于12112()(2)!(1)!ka aakkk=+,所以 12
3、12()2(1)!nkka aan=+ 5. 掷一枚不均匀的硬币 5 次。若恰有 1 次正面与恰有 2 次正面的概率相等且不为零,则恰好出现 3 次正面的概率为_。 答案 40243 解 设出现正面的概率为p,依题意得1422355(1)(1)C ppC pp=,解得1,3p =所以恰好出现 3 次正面的概率为332540(1)243C pp=。 6. 平面向量, ,a b c满足1,1,aabbc=2 2abc+,则ac的最大值为_。 答案 2 解 设(1,0),(1, ),(1, )( ,abs cst t s t=),由已知得, 222222(1)()( )4( )42abcststst
4、ststststst+=+=+ 当20( )21802 21stststst+ +, 当20( )61810stststst+ , 所以当12 212 212stacst + = 。 所以ac的最大值为 2。 7. 设126,a aa是1,2,6的任意排列。若任意相邻三数之和都不能被 3 整除,则这样的排列有_个。 答案 96 解 把集合中的数模 3,得两个 0,两个 1,两个 2,使得任何三个相邻数之和不被 3 整除的排列有 002211,001122,112200,110022,220011,221100,011220,022110,100221,122001, 211002,200112
5、。所以满足条件的排列为2222221296A A A=。 8. 已知OAB的顶点坐标(0,0), (4,4 3), (8,0)OAB,它的内切圆圆心为I。设圆C经过,A B两点,且与圆I交于,P Q两点。若过,P Q点所做两圆的切线垂直,则圆C的半径为_。 答案 2 7 解 设圆I切,BO AB AO于,D E F。由于OAB为正三角形,所以,D E F的坐标分别为(4,0),(6,2 3),(2,2 3)DEF。由已知以及圆幂性质,可知圆C经过,DE EF的中点(5, 3),(4,2 3)GH。又圆C经过,A B两点,求得圆C的半径为2 7。 9. 把与 143 互质的全体正整数按从小到大排
6、列成一个数列,则该数列的第 2022 项为_。 答案 2410 解 从 1 到 143 中与 143 互质的数共有 120 个,120172040=。考虑长度为 143 的正整数段,143 172431=, 从 1 到 2431 中与 143 互质最大的一个数为 2410, 再往前 18 个与 143互质的数为 2410 即为所求。 或解 设数列中的第 2022 个数为n, 则 12020221113143nnnn +=, 解得n =2410。 1010. 已知( )p x为 5 次多项式。若0 x =为( )10p x + =的三重根,1x =为( )10p x =三重根,则( )p x的表
7、达式为_。 答案 5431230201xxx+ 解 令3232( )1(), ( )1(1) (),p xx axbxcp xxlxmxn+ =+ =+对上述两式分别求一阶、二阶导数,分别令0 x =,比较相应的两式的系数,解得12,6,2lmn=。所以543( )1230201p xxxx=+。 二、解答题(共五题,11-12 各 15 分,13、14、15 各 20 分,合计 90 分) 11. 已知椭圆1:C2221(02 6)24xybb+=的右焦点1F, 与抛物线22:4()Cypx p+=的 焦 点 重 合 , 过1F且 斜 率 为 正 整 数 的 直 线l交1C于,A B, 交2
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