2022年全国高中数学联赛(四川预赛)试卷(参考答案及评分细则)
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1、2022年全国高中数学联赛 (四川预赛) 试题(考试时间: 2022年5月22日14:3016:30)一、 填空题: 本大题共8小题, 每小题8分, 满分64分1. 已知正实数a、 b满足ab= 8a9b, 则a4a2log值为2.已知平面向量 a a、 b b 满足:a a= 1,b b= 2, a a b b = 1, 记向量 a a + 2b b 与向量 2a a - b b 的夹角为 ,则cos的值为3.已知数列 an满足: a1=1, a2=2, a2k+1=a22ka2k-1, 且a2k+2=2a2k+1-a2kkN N*, 则a2022的末两位数字为4.已知实数x、 y满足x x
2、+y y3=1, 则3x+y-4的取值范围为5.已知函数 f : 1, 2, , 10 1, 2, 3, 4, 5, 且对一切 k = 1, 2, , 9, 有 f k+1- f k 3则符合条件的函数 f的个数为6.若ABC的三边a、 b、 c满足a2+b2+3c2=7, 则ABC面积的最大值为7.已知函数 f x在 0, +上严格单调递减, 对任意 x 0, +, 均有 f x f f x+2x=13,记g x= f x+4x2, x 0, +, 则函数g x的最小值为8.至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为二、 解答题: 本大题共3小题, 满分56分解答应写出文字说明、 证明过程或
3、演算步骤9. (本题满分16分) 如图所示, ABCD是一个矩形, AB=8, BC=4, M、 N分别是AB、 CD的中点,以某动直线l为折痕将矩形在其下方的部分翻折, 使得每次翻折后点M都落在边CD上, 记为M过M作MP垂直于CD交直线l于点P设点P的轨迹是曲线E(1) 建立恰当的直角坐标系, 求曲线E的方程;(2) F是MN上一点, FN =-3FM , 过点F的直线交曲线 E于S、 T两点, 且SF=FT , 求实数的取值范围10. (本题满分20分) 已知各项均为正整数的数列 an满足: 对于任意的正整数m、 k, 都有am2=a2m及am2+k2=amak, 求数列 an的通项公式
4、11. (本题满分20分)对任意正实数a、 b、 c及任意正实数r1, 求证:ab+c+bc+a+ca+barbr+cr+brcr+ar+crar+brABCDMNMPFl参考答案及评分标准 (第 1 页,共 4 页) 2022 年年全国全国高中数学联赛高中数学联赛(四川四川预预赛赛)试题试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明说明: 1、本试卷满分本试卷满分 120,其中填空题其中填空题 64 分分,解答题解答题 56 分分. . 2、 评阅试卷时评阅试卷时, 请依据评分标准请依据评分标准. .填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档分两档; 第第 9 题题 4 分一个档次分一
5、个档次、第第 10 题和第题和第 11 题均为题均为 5 分分一个档次一个档次. .请严格按照评分标准规定的评分档次给分请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增不要再增加其它中间档次加其它中间档次. . 3、如果考生的解答题方法和本解答不同如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理只要思路合理,步骤正确步骤正确,在评阅时可参考在评阅时可参考本评分标准评分本评分标准评分. . 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分. 1、3827 2、2114 3、32 4、46 4), 、288 6、74 7、3 8、81. 二、解答题:本大题共3小题,满分56分解答应写出文字说明、证明
6、过程或演算步骤 9、 (本题满分 16 分)如图所示,ABCD 是一个矩形,AB=8,BC=4,M、N 分别是 AB、CD 的中点,以某动直线 l 为折痕将矩形在其下方的部分翻折,使得每次翻折后点 M 都落在边 CD 上,记为 M过 M作 MP 垂直于 CD 交直线 l 于点 P设点 P 的轨迹是曲线 E (1)建立恰当的直角坐标系,求曲线 E 的方程; (2)F 是 MN 上一点,3FNFM ,过点 F 的直线交曲线 E 于 S、T 两点,且SFFT ,求实数的取值范围 解: (1)以 M 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 设 M(2t,4),则直线 MM的方程为2yxt,MM
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