2022年四川省成都市郫都区中考二诊数学试题（含答案解析）

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1、2022年四川省成都市郫都区九年级下学期二诊数学试题一、选择题1. -7的倒数是（ ）A. +7B. C. D. 2. 如图摆放的圆柱、球、圆锥、长方体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ）A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 若函数是一次函数，则值为（ ）A. -1B. C. 1D. 26. 2021年12月9日，“天宫误堂”第一课正式开讲，时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课，此时空间站距离地球约370000米，数据370000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 7

2、. 如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD0.5m，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A. 1.25mB. 1 mC. 0.75 mD. 0.50 m8. 如图，在边长为正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（ ）A. B. C D. 二、填空题9. 如图所示的四角风车至少旋转_就可以与原图形重合10. 某班男生在体育课上进行投篮测试，每人投10次他们投中的次数统计如下表：投中次数5678910人数2451031则该班级男生在此次测试中投中

3、次数的中位数、众数分别是_11. 如图，若“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点_12. 一元一次不等式组的解集为_13. 如图，的顶点，按下步骤作图：以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E；分别以点D、E为圆心，大于DE的一半长为半径作弧，两弧交于点F；作射线OF，交边AC于点G则AG的长度为_三、解答题14. （1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中15. 某校七年级举办了“古诗词背诵比赛”活动，并进行了评比：A为优秀；B为良好；C为合格；D为不合格九（1）班的语文老师对本班学生的成绩做了统计，绘制了下列两幅尚不完整的统计图，请根据下列所给信息回答问题：（1）该班

4、共有_人，扇形统计图中的D所对应的圆心角为_度（2）请根据以上信息补全条形统计图（3）老师准备从D类学生中随机抽取2人再次背诵已知D类学生中有3名男生，1名女生，求恰好选中1名男生和1名女生的概率16. 如图，桥AB是水平并且笔直的，无人机飞悬停在桥AB正上方200米的点C处，此时测得桥两端A、B两点的俯角分别为70和45，求桥AB的长度（参考数据：，结果精确到0.1米）17. 如图，AB是的直径，CA与相切于点A，且连接OC，过点A作于点E，交于点D，连接DB（1）求证：；（2）连接交于点若，求的长18. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与反比例函数的图象交于点C、点D（

5、1）直接写出点B的坐标；（2）作轴于，作轴于连接，求证：EF/CD；（3）若点N在x轴上，且满足的N点有且只有一个，求k的值四、填空题19. 若要使有意义，则的取值范围为_20. 在中，AD是斜边BC上的中线将沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF交AB于点E则的大小为_21. 如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y=_22. 骰子的六个面上分别标记六个数：-2、-1、0、1、2、3掷一次骰子，掷得的数字记为，则使得关于x的分式方程有正整数解的概率为_23. 从三角形一个顶点引

6、出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的华丽分割线如图，AC是的华丽分割线，且，若点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为_五、解答题24. 某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？25. 如图，边长为5的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点，为顶点的抛物线经过点，点P是抛物线MN段

7、上一动点，过点P作于点F，点，连接PE、EF（1）求抛物线解析式；（2）当，求点P的坐标；（3）求周长取值范围26. 如图，矩形ABCD中，点E为对角线AC上一点，过点E作交边AD于点F（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当AB：BC=4：3时，连接EF，探究线段AB、AE、AF的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF，若面积的最大值为6，求BC的长2022年四川省成都市郫都区九年级下学期二诊数学试题一、选择题1. -7的倒数是（ ）A. +7B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据倒数的概念求解即可【详解】解：-7的倒数是，故选：D【点睛】本题考查了倒数的概念，解题

8、的关键是掌握相乘得1的两个数互为倒数2. 如图摆放的圆柱、球、圆锥、长方体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图，对各选项进行判断即可【详解】解：A圆柱的主视图和左视图都是长方形，故此选项不符合题意；B长方体的主视图是长方形，左视图可能是正方形，故此选项符合题意；C球的主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意；D圆锥的主视图和左视图都是三角形，故此选项不符合题意故选：B【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握确定三视图的方法是解答的关键3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ）A. B. C. D. 【答

9、案】C【解析】【分析】根据分式的意义，分母不等于0，就可以求解【详解】解：m-4 0，m 4，m应满足的条件是m 4，故选：C【点睛】本题考查了分式有意义，解题的关键是掌握分式的分母不为04. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法和幂的乘方计算即可【详解】和不是同类项不能合并，故A计算错误，不符合题意；，故B计算错误，不符合题意；，故C计算错误，不符合题意；，故D计算正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的除法和幂的乘方掌握各运算法则是解题关键5. 若函数是一次函数，则的值为（ ）A. -1B. C. 1D.

10、 2【答案】A【解析】【分析】由一次函数的定义：比例系数不为零，自变量的指数为1，可得答案【详解】解：由题意可得，m-10，m=-1，故选A【点睛】本题考查一次函数的定义，准确掌握定义的要点是解题的关键6. 2021年12月9日，“天宫误堂”第一课正式开讲，时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课，此时空间站距离地球约370000米，数据370000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值10时，n

11、是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：故选：D【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，解题的关键是正确确定a的值以及n的值7. 如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD0.5m，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A. 1.25mB. 1 mC. 0.75 mD. 0.50 m【答案】B【解析】【分析】判断出OD是ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC2OD【详解】解：O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，OD是ABC的中位线，

12、AC2OD2051（m）故选B【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键8. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案【详解】解：正方形中阴影部分的面积为，平行四边形的面积为x（x+2a），由此得到一个x，a的恒等式是，故选：C【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键二、填空题9.

13、如图所示的四角风车至少旋转_就可以与原图形重合【答案】90【解析】【分析】如图所示，AOB即为所求，由题意得AOB=90，由此即可得到答案【详解】解：如图所示，AOB即为所求，由题意得，AOB=90，四角风车至少旋转90就可以与原图形重合，故答案：90【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的意义10. 某班男生在体育课上进行投篮测试，每人投10次他们投中的次数统计如下表：投中次数5678910人数2451031则该班级男生在此次测试中投中次数的中位数、众数分别是_【答案】8、8【解析】【分析】根据题意可得一共有25人，再根据中位数和众数的定义，即可求解【详解】解：根据

14、题意得：一共有2+4+5+10+3+1=25人，数据按从小到大顺序排列后，位于第13位的是8，该班级男生在此次测试中投中次数的中位数为8，8出现的次数最多，该班级男生在此次测试中投中次数的众数是8，故答案为：8、8【点睛】本题考查了求中位数和众数，解题的关键是熟练掌握把一组数据按从大到小（或从小到大）顺序排列后，位于正中间的一个数或两个的平均数是该组数据的中位数；出现次数最多的数据是众数11. 如图，若“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点_【答案】（-2，2）【解析】【分析】根据“帅”和“马”的位置，可确定原点O的位置，即可得答案【详解】解：如下图，“帅”位于点(0，1)，“马”位于点(

15、3，1)，原点O的位置如上图，“兵”位于点（-2，2），故答案为：（-2，2）【点睛】本题考查了平面上物体位置的确定，解题的关键是确定原点O的位置12. 一元一次不等式组的解集为_【答案】#【解析】【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，再按照求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求解即可【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，原不等式组的解集为故答案为：【点睛】本题考查解一元一次不等式组掌握求不等式组的方法和步骤是解题关键13. 如图，的顶点，按下步骤作图：以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E；分别以点D、E为圆心，大于DE的一半

16、长为半径作弧，两弧交于点F；作射线OF，交边AC于点G则AG的长度为_【答案】【解析】【分析】如图，先利用勾股定理计算出OA，再利用基本作图和平行线的性质得到AOGAGO，则AGAO，从而求解【详解】解：如图，AOBC的顶点A的坐标为，ACOB，OA，由作法得OG平分AOB，AOGBOG，而ACOB，AGOBOG，AOGAGO，AGAO，故答案为：【点睛】本题考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了平行四边形的性质三、解答题14. （1）计算：；（2）先化简，再求值

17、：，其中【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂，化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，化最简二次根式，再合并即可；（2）根据分式的混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可【详解】解：（1）（2）当时，【点睛】（1）考查二次根式的混合运算，涉及负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，化最简二次根式（2）考查分式的化简求值，分母有理化掌握各运算法则是解题关键15. 某校七年级举办了“古诗词背诵比赛”活动，并进行了评比：A为优秀；B为良好；C为合格；D为不合格九（1）班的语文老师对本班学生的成绩做了统计，绘制了下列两幅尚不完整的统计图，请根据下列所给信息回答问

18、题：（1）该班共有_人，扇形统计图中的D所对应的圆心角为_度（2）请根据以上信息补全条形统计图（3）老师准备从D类学生中随机抽取2人再次背诵已知D类学生中有3名男生，1名女生，求恰好选中1名男生和1名女生的概率【答案】（1）50，28.8 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）用A等级的人数除以所占的百分比求出总人数；用360乘以D等级所占的百分比即可得出扇形统计图中的D所对应的圆心角的度数；（2）用总人数减去其它等级的人数求出B等级的人数，从而补全统计图；（3）据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中一男一女的试卷的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【小问1详解】该

19、班共有人数是：2550%50（人），扇形统计图中的D所对应的圆心角为：；故答案为：50，28.8；【小问2详解】B等级的人数有：50256415人，补图如下：【小问3详解】画树状图得：共有12可能的结果，恰好选中一男一女的有6情况，恰好选中一男一女概率为：【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比16. 如图，桥AB是水平并且笔直的，无人机飞悬停在桥AB正上方200米的点C处，此时测得桥两端A、B两点的俯角分别为70和45，求桥AB的长度（参考数据：，结果精确到0.1米）【答案】272.7米【解析】【分析】过点 C 作 CDA

20、B ，垂足为 D ，得MCA = A =75，NCB = B =45， 分别求出AD 、BD的长，可得答案【详解】解：如下图示，过点 C 作 CDAB ，垂足为 D ，由题意得， MCA = A =75，NCB = B =45， CD =200（米），在 Rt ACD 中，（米），在 Rt BCD 中，CBD =45，CBD =DCB，BD = CD =200（米），AB = AD + BD 72.73+200272.7（米），桥的长度约为272.7米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形17. 如图，AB是的直径，CA与相切于点A，且连接OC，过点A作于点E，交

21、于点D，连接DB（1）求证：；（2）连接交于点若，求的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得，根据圆周角定理的推论可得，即得出结合题意即可利用“AAS”证明；（2）连接AF由垂径定理可得再根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可求出再根据圆周角定理的推论结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出【小问1详解】证明：CA与相切于点A，AB为直径，又，；【小问2详解】如图，连接AF，在中，AB为直径，AB=AC，【点睛】本题为圆的综合题考查切线的性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理掌握与圆相关的知识点是解题关键18. 如图，一

22、次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与反比例函数的图象交于点C、点D（1）直接写出点B的坐标；（2）作轴于，作轴于连接，求证：EF/CD；（3）若点N在x轴上，且满足的N点有且只有一个，求k的值【答案】（1）（4，0） （2）见详解 （3）k的值为-1【解析】【分析】（1）一次函数，令y=0，解方程可得x的值，可得点B的坐标；（2）设点C、点D的横坐标分别为m，n，联立一次函数与反比例函数，可得m+n=4，由题意可得点A的坐标为（0，-4k），可得，进而可证EF/CD；（3）过点C、D分别作CP、DQ垂直于x轴，易得CNPNDQ，可得，设N（x，0），代入可得关于x的一元二次方程，因为

23、存在唯一的点N，所以方程有两个相等的实数根，可得k的值【小问1详解】解：点B的坐标为（4，0）点B为一次函数与x轴的交点，当y=0时，kx-4k=0，x=4，点B的坐标为（4，0）【小问2详解】证明：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C、点D两点， ， ，设点C、点D的横坐标分别为m，n，则m+n=4 ，如图，由点C是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，点C的纵坐标为，代入一次函数解析式得：，则 ，由题意可得，点A的坐标为（0，-4k）， ，又m+n=4，m-4=-n，又 ，EF/CD【小问3详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C、点D两点， ， ，设点C、点D的横坐标分别

24、为m，n则m+n=4， ，如图，过点C、D分别作CP、DQ垂直于x轴，当时，CNP+DNQ=90，又CNP+NCP=90，NCP=DNQ，CNPNDQ，设N（x，0），则 ， ，即，当=时，即k=-1时，满足的N点有且只有一个即k的值为-1【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，比例线段等，综合分析问题，灵活运用所学知识是解题的关键四、填空题19. 若要使有意义，则的取值范围为_【答案】x3且x0【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解【详解】解：62x0，解得：x

25、3，分式的分母不为0，x0，x的取值范围为：x3且x0，故答案为：x3且x0【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义，解题的关键是掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数是非负数20. 在中，AD是斜边BC上的中线将沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF交AB于点E则的大小为_【答案】36#36度【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出C=54，由AD是斜边BC边上的中线得到AD=BD=CD，求出ADC=72，再根据翻折后三角形角大小不变得到ADC=ADF=72，即可求出BDE的度数【详解】在RtABC中，BAC=90，B=36，C=90B=54，AD是斜边BC边上的中线，AD=BD=CD，BA

26、D=B=36，DAC=C=54，ADC=180DACC=72，将ACD沿AD对折，使C落在F处，ADC=ADF=72，BDE=180ADCADF=36，故答案为36【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中位线的性质，翻折变换，等腰三角形的性质明确直角三角形斜边上的中位线的性质以及翻折变换是解题的关键21. 如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱设矩形的长和宽分别为y和x，则因变量y与自变量x的函数关系式为y=_【答案】【解析】【分析】根据从矩形得等于圆的周长，列方程式=，化简即可【详解】解：由题意得，=化简得：，y与x的函

27、数关系式为：，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的应用，圆柱的展开图，解题的关键是熟练掌握圆柱的底面半径与展开图边长的关系22. 骰子的六个面上分别标记六个数：-2、-1、0、1、2、3掷一次骰子，掷得的数字记为，则使得关于x的分式方程有正整数解的概率为_【答案】【解析】【分析】由关于x的分式方程有正整数解，可求得m的值，然后根据概率公式进行求解即可得到答案【详解】解：去分母得： ，该分式方程有正整数解，m+10，且m+11使得关于x的分式方程有正整数解的m的值可以为：1，2，3，故使得关于x的分式方程有正整数解的概率为 故答案为 【点睛】此题考查了概率公式，以及分式方程的解的情况，正确解分

28、式方程，根据题设条件求出m的值是解题的关键23. 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的华丽分割线如图，AC是的华丽分割线，且，若点C的坐标为（2，0），则点A的坐标为_【答案】（3，）【解析】【分析】由题意可得：BCABAO，OA=2AB，得，CB=1，再得出AB的长，由勾股定理，求出CD的长，再根据勾股定理求出，即可得答案【详解】解：如下图，作ADOB，由题意可得：BCABAO，点C的坐标为（2，0），OC=2，OC=AC=2，BCABAO，OA=

29、2AB，CB=1，AB=或（舍去），AO=2 AB=2，ADC=90，即 ，解得：CD=1，点D、B重合，ABC为直角三角形，点A的坐标为（3，），故答案为：（3，）【点睛】本题考查了定义新运算，等腰三角形的性质，三角形相似，勾股定理，解题的关键是理解点D、B重合，ABC为直角三角形五、解答题24. 某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）关系如下表所示：x（万元）10121416y（件）40302010（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？【答案】（1）；（2）单价为13元时，利润最大为125万元【解析】【

30、分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：，则，解得：，故y与x的函数关系式为： ；（2）设总销售利润为W，则有：，当，销售利润万，即单价为13万时，最大获利125万元【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系25. 如图，边长为5的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点，为顶点的抛物线经过点，点P是抛物线MN段上一动点，过点P作于点F，点，连接PE、EF（1）求抛物线的

31、解析式；（2）当，求点P的坐标；（3）求周长的取值范围【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）点P的坐标为(，1) （3）周长C的取值范围为4C【解析】【分析】（1）由抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，可用待定系数法确定抛物线的解析式；（2）过点P作PGy轴于点G，设点P的坐标为，可用含t的式子表示出EG，由OE=OG+EG列方程可求出点P的坐标；（3）由点P的运动过程，可得周长最大和最小的位置，计算可得范围【小问1详解】解：设抛物线的解析式为，由抛物线经过点，代入可得9a+4=0，解得：a=，抛物线的解析式为【小问2详解】解：如图，过点P作PGy轴于点G，当时，EPG=30，设点P的坐标为

32、，则PG=t，EG=tan30PG=，OE=OG+EG=3，解得t= 或（舍去），所以点P的坐标为(，1)【小问3详解】解：周长C的取值范围为4EF，所以的周长大于4；当点P运动到点N的位置时，EF最大，PEF的周长最大，此时，所以周长的最大值为，故周长C的取值范围为4C【点睛】本题属于二次函数综合题，会用数形结合的思想解题是解决本题的关键26. 如图，矩形ABCD中，点E为对角线AC上一点，过点E作交边AD于点F（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当AB：BC=4：3时，连接EF，探究线段AB、AE、AF的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF，若面积的最大值为6，求BC的

33、长【答案】（1）见解析 （2）；证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）连接，取中点以为半径作，根据同弧所对的圆周角相等，可得，可得是等腰直角三角形，即可得证；（2）过点作，则四边形是矩形，设，则，设，则，可得，即可求解；（3）延长交于点，由（2）可知，分别求得，以及，边上的高，根据三角形面积公式列出关于的关系式，根据二次函数的性质求得最大值为6时的 值，进而求得的长【小问1详解】如图，连接，取中点以为半径作，四边形是正方形，是的中点，在上，是等腰直角三角形，；【小问2详解】如图，过点作，则四边形是矩形，则，设，则，设，则，43得，在中，【小问3详解】解：如图，延长交于点，由（2）可知，设，则，若面积的最大值为6，最大值为6，设，当时取得最大值，最大值为，解得（负值舍去），此时，【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，二次函数的性质求最值，综合运用以上知识是解题的关键