2021-2022学年广东省东莞市虎门镇九年级上期末考试数学试卷（含答案解析）

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1、广东省东莞市虎门镇2021-2022学年九年级上期末考试数学试题一、选择题（共10小题，每题3分）1. 在有理数2，0，1，3中，任意取两个数相加，和最小是（）A. 2B. 1C. 3D. 42. 下列属于中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长以上，其中4000亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）A B. C.

2、 D. 6. 如果数据，的方差是，则另一组数据，的方差是（ ）A. B. C. D. 7. 若，则的值是（ ）A. 5B. -5C. 1D. -18. 如图，把ABC绕着点A逆时针旋转40得到ADE，130，则BAE（）A. 10B. 30C. 40D. 709. P为O内一点，O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）A 5B. 6C. 8D. 1010. 二次函数的图象如图，对称轴为直线，关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（共7小题，每题4分）11. 计算：_12. 分解因式：_13. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲

3、比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为85分，70分，80分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则她的平均成绩是_分14. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是_15. 不等式组的解集为_16. 如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（1，2），若点P是第一象限内的一点，且OPC=45，则线段AP最长时的P点坐标为_17. 如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值

4、为_三、解答题（每小题6分，共18分）18. 化简：19. 如图，四边形是矩形（1）尺规作图：在边上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求20. 共享经济已经进入人们的生活小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片

5、分别用它们的编号A、B、C、D表示）四、解答题（每小题8分，共24分）21. 直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？22. 如图，中，点、分别在边、上，且（1）求的度数；（2）将绕点逆时针旋转100

6、，点的对应点为点，连接，求证：四边形为平行四边形23. 如图，已知双曲线和直线交于点A和B，B点的坐标是，垂直y轴于点C，（1）求双曲线和直线的解析式；（2）若，求的值五、解答题（每小题10分，共20分）24. 如图1，四边形内接于，直径，过点C作于点E，连接（1）求证：；（2）若是的切线，连接，如图2请判断四边形的形状，并说明理由；当时，求与围成阴影部分面积25. 抛物线过点，点，顶点为C（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，

7、连接，作，边交x轴于点F，求的最大值广东省东莞市虎门镇2021-2022学年九年级上期末考试数学试题一、选择题（共10小题，每题3分）1. 在有理数2，0，1，3中，任意取两个数相加，和最小是（）A. 2B. 1C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】找出值最小的两个数相加即可【详解】解：（1）（3）4，故选：D【点睛】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键2. 下列属于中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心

8、对称图形这个旋转点，就叫做中心对称点【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：D【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合3. 从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长以上，其中4000亿用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a1

9、0n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：4000亿，故选：【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解4. 若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据内角和定理180（n-2）即可求得解：180（n-2）=720，解得n=6考点：多边形的内角和定理5. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）A

10、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数的非负性即可得【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：，解得，故选：B【点睛】本题考查了二次根式、函数的自变量，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键6. 如果数据，的方差是，则另一组数据，的方差是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据方差的求法即可得出答案【详解】解：根据题意，数据，的平均数设为，则数据，的平均数为，根据方差公式：则，故选C【点睛】本题考查了方差的定义当数据都加上一个数时，平均数也加上这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数（不为0），

11、方差变为这个数的平方倍7. 若，则的值是（ ）A. 5B. -5C. 1D. -1【答案】C【解析】【分析】由可得4x-2y=-2，代入求值即可.【详解】，4x-2y=-2，=3+(4x-2y)=3+(-2)=1.故选C.【点睛】主要考查了代数式求值，正确变形，利用“整体代入法”求值是解题关键8. 如图，把ABC绕着点A逆时针旋转40得到ADE，130，则BAE（）A. 10B. 30C. 40D. 70【答案】D【解析】【分析】先找到旋转角，根据BAE1+CAE进行计算【详解】解：根据题意可知旋转角CAE40，所以BAE30+4070故选D【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋

12、转角9. P为O内一点，O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得【详解】解：在过点P的所有O的弦中，如图，当弦与OP垂直时，弦最短，此时，得其半弦长为4，则弦长是8，故选：C【点睛】此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算10. 二次函数的图象如图，对称轴为直线，关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题【详解】解：如图

13、，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，由题意可知：，当时，当时，由图象可知关于一元二次方程为实数）在的范围内有解，直线在直线和直线之间包括直线，故选：D【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（共7小题，每题4分）11. 计算：_【答案】【解析】【分析】算出零指数幂和负指数幂即可；【详解】解：=-1，故答案为：【点睛】本题主要考查了零指数幂和负指数幂的计算，准确计算是解题的关键12. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】准确找到公因式，用提公因式法分解即可【详解】解：

14、= 【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，一定要注意准确找到公因式13. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为85分，70分，80分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则她的平均成绩是_分【答案】79【解析】【分析】本问题是求小红三项成绩的加权平均数，利用加权平均数的计算公式，列式算出答案即可【详解】解：小红的平均成绩为：（分）故答案为：79【点睛】本题主要考查加权平均数的求法，掌握加权平均数公式是解题关键14. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是_【答案】0【解析】【分析】根据正比例函数和

15、反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得【详解】一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数与反比例函数的图象关于原点对称，故答案为：0【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键15. 不等式组的解集为_【答案】2x3【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，确定出不等式组的解集详解】解： ，由不等式得：x3，由不等式得：x2，所以不等式组的解集为：2x3【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键16. 如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴的

16、正半轴上，点B的坐标为（1，2），若点P是第一象限内的一点，且OPC=45，则线段AP最长时的P点坐标为_【答案】（1，）【解析】【分析】取AB的中点D，以D为圆心，DC长为半径作D，判断出点P在优弧OPC上运动，即可得到线段AP最长时的P点的位置【详解】取AB的中点D，以D为圆心，DC长为半径作D，连接OD，CD，如图：点B的坐标为（1，2），且四边形OABC是矩形，点D的坐标为（1，1），CB=BD=AD=OA=1， BDC和ODA都是等腰直角三角形，CDB=ODA=45，则ODC=90，OPC=45，点P在优弧OPC上运动，延长AB交D于点P1，此时线段AP最长，CB=BD=1，CD=，

17、即D的半径为，点P1的坐标为（1，），故答案为：（1，）【点睛】本题考查矩形的性质，圆周角定理，坐标与图形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，得到线段AP最长时的P点的位置17. 如图所示，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据题意表示出，分别求出、对应正方形边长及、的值，推导一般性规律，然后求解即可【详解】解：由题意知，面积为的正方形的边长为1，面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为，推导一般性规律为： 故答

18、案为：【点睛】本题考查了图形规律的探究，正方形的性质解题的关键在于推导出一般性规律三、解答题（每小题6分，共18分）18. 化简：【答案】【解析】【分析】先通分、因式分解，然后进行乘除运算即可【详解】解：原式【点睛】本题考查了分式的加减，平方差公式、完全平方公式进行因式分解解题的关键在于熟练掌握乘法公式和异分母分式的加减运算19. 如图，四边形是矩形（1）尺规作图：在边上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由矩形的性质知AD/BC，在边上求作点，即，根据等腰三角形等边对等角的性质，得出BEBC，所以以B为圆心，BC

19、长为半径画弧与AD交于点E，即为所求；（2）由矩形，由（1）知BEBC10，在RtABE中，由勾股定理求得AE6，则DE4，在RtCDE中，由勾股定理求CE的长即可【详解】解：（1）作法：以B为圆心，BC长为半径画弧与AD交于点E，得BCBE，连接CE； 四边形是矩形 AD/BC，又 BCBE，（2）四边形是矩形，由（1）得ADBCBE10，ABCD8，AD90，在RtABE中， DE1064，在RtCDE中，【点睛】本题考查了作图基本作图，利用等腰三角形的性质等边对等角和平行线的性质，转化成边相等是解题的关键还考查了矩形的性质和勾股定理解直角三角形20. 共享经济已经进入人们的生活小沈收集了

20、自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，

21、根据概率公式求解可得【详解】（1）有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比四、解答题（每小题8分，共24分）21. 直播购物逐渐走进了人

22、们的生活某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】（1）50元；（2）八折【解析】【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的

23、售价列出一元一次不等式，解不等式即可【详解】解：（1）设每件的售价定为x元，则有：，解得：(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m折，根据题意得：，解得：，答：至少打八折销售价格不超过50元【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键22. 如图，中，点、分别在边、上，且（1）求的度数；（2）将绕点逆时针旋转100，点的对应点为点，连接，求证：四边形为平行四边形【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可； （2）根据旋转可评聘证明BD/EF，BD=EF，从而可得结论【详解】解：（1），在

24、中，（2）证明：由（1）可知：，绕点逆时针旋转100，点的对应点为点，如图所示，则，又，四边形为平行四边形【点睛】本题考查了旋转性质：对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，也考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答此题的关键23. 如图，已知双曲线和直线交于点A和B，B点的坐标是，垂直y轴于点C，（1）求双曲线和直线的解析式；（2）若，求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）根据的坐标，分别求得，进而即可求得的值【小问1详解】B在双曲线上，B点的坐标是，双曲线的解析式为：垂直y轴于点C，点A横坐标为，代入求得，把A、B的坐标代入，得，解

25、得，直线的解析式为；【小问2详解】在中，令，则求得，直线与x轴的交点坐标为，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数结合，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键五、解答题（每小题10分，共20分）24. 如图1，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接（1）求证：；（2）若是的切线，连接，如图2请判断四边形的形状，并说明理由；当时，求与围成阴影部分的面积【答案】（1）证明见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析；【解析】【分析】（1）由题意知，有，进而可说明；（2）由题意知，有，有，由（1）知，可得，可知，四边形是平行四边形，由，可证明是菱形；由知

26、，可得，根据计算求解即可【小问1详解】证明：四边形是的内接四边形为的直径；【小问2详解】四边形是菱形，理由如下：由题意知由（1）知，四边形是平行四边形又是菱形；由知，四边形是菱形，阴影部分面积为【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，菱形的判定与性质，扇形的面积等知识解题的关键在于对知识的灵活运用25. 抛物线过点，点，顶点为C（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F，求的最大值【答案】（1）抛物线的表

27、达式为，顶点 （2） （3）有最大值【解析】【分析】（1）将点，点代入，列方程组求得，得到抛物线的表达式，再把抛物线的表达式化成顶点式，求出顶点坐标；（2）设交y轴于点F，连接，过点C作轴于点E，如图3，利用勾股定理求出的长，再证明，求得OF的长，且证明了F为的中点，再证明，进一步求得点D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的表达式，与二次函数表达式联立，求得点P的坐标；（3）过点P作于点H，如图4，由勾股定理求得的长，再求得，设，则，再证明，得到AF的二次函数表达式，就出函数的最大值即可【小问1详解】解：将点，点代入得：，解得：抛物线的表达式为，顶点【小问2详解】解：设交y轴于点F，连接，过点C作轴于点E，如图3，F为的中点是以为底的等腰三角形，设直线的解析式为，解得：直线的解析式为，解得：，【小问3详解】解：过点P作于点H，如图4，则，由（2）知：设，则，又， 当时，y即有最大值【点睛】本题考查了二次函数、勾股定理、相似三角形等知识，是综合性较强的题目，灵活应用所学知识和有较强的计算能力是正确解答的关键