浙江省杭州市滨江区2021年八年级下期末数学试卷（含答案解析）

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1、20202021 学年浙江省杭州市滨江区八年级下期末数学试卷学年浙江省杭州市滨江区八年级下期末数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分）分） 1. 下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等边三角形 2. 下列计算正确的是（ ） A 4 52 52 B. 532 C. 4 34 3 D. 3622 3. 50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前 50%的选手晋级，选手拿到成绩后，他只要知道所有参赛选手成绩的（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数

2、 4. 若点（2，3）在反比例函数kyx（k0）图象上，则该函数图象一定经过点（ ） A. （3，2） B. （3，2） C. （3，2） D. （2，3） 5. 下列配方正确的是（ ） A. 2225(1)6xxx B. 2233322xxx C 223613(1)2xxx D. 22131124416xxx 6. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于 60”时，首先假设这个三角形中（ ） A. 三个内角都小于 60 B. 只有一个内角大于或等于 60 C. 至少有一个内角小于 60 D. 每一个内角都小于或等于 60 7. 正方形具有矩形不一定有的性质是（ ） A. 对角

3、互补 B. 对角线相等 C. 四个角相等 D. 对角线互相垂直 8. 如图，点 E是 ABCD边 CD 的中点，线段 AD、BE 的延长线相交于点 F，若 DF4，DE3，则平行四边形 ABCD的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 9. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等四边形是正方形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 10. 关于 x 的一元二次方程 ax22axb10（ab0）有两个相等的实数根 k （ ） A. 若1a1，则kkab B. 若kka

4、b，则 0a1 C. 若1a1，则kkab D. 若kkab，则 0a1 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 24 分）分） 11. 计算：2( 2) _ 12. 已知一个多边形的内角和为 540，则这个多边形是_边形 13. 若数据 a，b，c的平均数是 3，数据 d，e 的平均数是 2，则 a，b，c，5，d，e 这组数据的平均数是_ 14. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100箱，每箱利润 20 元为扩大销售，超市准备适当降价据测算，每箱每降价 4元，平均每天可多售出 20箱若要使每天销售这种饮料获利 1280 元，每箱应降价

5、多少元？设每箱降价 x元，可列方程_ 15. 如图， 将矩形纸片 ABCD的四个角向内折起， 恰好拼成一个无缝隙、 无重叠的四边形 EFGH 若 BC8，GH=7，则 EH_ 16. 如图，在 ABCD中，AB6，AC10，BD16，求COD的周长为_ 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 计算： （1）23； （2）(12)(22) 18. 解方程： （1）x22x0 （2）2312042xx 19. 如图，在 ABCD中，点 E，F 分别是边 AD，BC上的

6、点，且 DEBF，连接 CE，AF （1）求证：四边形 AECF平行四边形； （2）若 E 是 AD中点，且 CEAD，当 CE4，AB=5 时，求ABCD的面积 20. 甲、乙二人加工同一批零件，零件内径合格尺寸是（单位：毫米） ：297D302质检员分别从二人各自加工的 100个零件中随机抽取 5个 甲：302，299，296，299，299； 乙：300，298，297，300，300 （1）完成如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 299 299 乙 299 300 85 （2）根据以上信息，你认为如何评价两人的加工质量？ 21. 如图，在正方形 ABCD中，点 E 是对角线 AC上

7、一点，过点 E作 EFAC，交边 AD，AB 于点 F，H，连接 CF，CH （1）求证：CFCH； （2）若正方形 ABCD的边长为 1，当AFH与CDF 的面积相等时，求 AE 的长 22. 反比例函数kyx（k0） 和一次函数 yax2 （a0） 的图象交于第一象限内两点 A （x1， y1） ， B （x2，y2） ，且 0 x1x2记 sx1y2，tx2y1 （1）若 k2， 计算 st的值 当 1s2 时，求 t的取值范围 （2）当 st14 时，求 y1和 y2的值 23. 如图 1，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD交于点 O （1）若 F 是 CD的中点，连接 OE，EF，

8、求证：OC平分 EF 下面是小滨同学的证明过程： 证明：连接 OF O 是菱形 ABCD对角线的交点， O 是 BD中点 又F是 CD中点， OF是DBC 的中位线， ， 又E是 BC中点 ， OFEC OFEC且 OFEC 四边形 OECF是平行四边形 （ ） OC平分 EF （ ） 补全小滨同学的证明过程，并填写括号中的理由 （2）如图 2，点 G是 OD的中点，连接 OE，EG， 求证：OC 平分 EG 连接 AG，若 AGEG， 求证：ABCAGE180 20202021 学年浙江省杭州市滨江区八年级下期末数学试卷学年浙江省杭州市滨江区八年级下期末数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择

9、题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分） 分） 1. 下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【详解】解：A平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意； C菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意； D等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的

10、概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 2. 下列计算正确的是（ ） A. 4 52 52 B. 532 C. 4 34 3 D. 3622 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对 A、B进行判断；根据二次根式的性质对 C、D进行判断，即可 【详解】A. 4 52 52 5 ，故该选项错误； B. 53，不能合并，故该选项错误； C. 4233，故该选项错误； D. 3622，故该选项正确 故选 D 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质以及加减法法则是解决问题的关键 3. 50名选手

11、参加某歌咏比赛选拔赛，前 50%的选手晋级，选手拿到成绩后，他只要知道所有参赛选手成绩的（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可得出答案 【详解】解：有 50名选手参加某歌咏比赛选拔赛，前 50%的选手晋级， 晋级的有 25 名， 要判断他能否进入晋级，只需知道这些数据的中位数即可 故选：C 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用 4. 若点（2，3）在反比例函数kyx（k0）图象

12、上，则该函数图象一定经过点（ ） A. （3，2） B. （3，2） C. （3，2） D. （2，3） 【答案】B 【解析】 【分析】将点（2，3）代入kyx（k0） ，求出 k的值，再根据 kxy 对各项进行逐一检验即可 【详解】解：点（2，3）在反比例函数kyx（k0）图象上， k236， 符合此条件的只有 B（3，2） ，326 故选：B 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 只要点在函数的图象上， 则一定满足函数的解析式 反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上 5. 下列配方正确的是（ ） A. 2225(1)6xxx B. 2233322xxx C. 22361

13、3(1)2xxx D. 22131124416xxx 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可 【详解】解：A. 2225(1)4xxx，故该选项错误； B. 2239324xxx，故该选项错误； C. 223613(1)2xxx ，故该选项正确； D. 221311124416xxx，故该选项错误 故选 C 【点睛】本题主要考查多项式的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键 6. 用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于 60”时，首先假设这个三角形中（ ） A. 三个内角都小于 60 B. 只有一个内角大于或等于 60 C. 至少有一个内角小于

14、60 D. 每一个内角都小于或等于 60 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的第一步是假设结论不成立，据此解答即可 【详解】要证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于 60” ， 用反证法证明时，首先假设这个三角形中三个内角都小于 60， 故选：A 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立 7. 正方形具有矩形不一定有的性质是（ ） A. 对角互补 B. 对角线相等 C. 四个角相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质、矩形的性质逐一进

15、行判断即可 【详解】解：A、对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以 A 选项不符合题意； B、对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以 B选项不符合题意； C、四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以 C选项不符合题意； D、对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以 D 选项符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是熟练掌握矩形和正方形的性质 8. 如图，点 E 是ABCD边 CD 的中点，线段 AD、BE 的延长线相交于点 F，若 DF4，DE3，则平行四边形 ABCD的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析

16、】 【分析】由平行四边形性质得出 ABCD，ADBC，ADBC，证出CBEF，由 AAS 证明BCEFDE，得出 BCDF4，即可求出平行四边形 ABCD 的周长 【详解】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，ADBC， CBEF， E是 CD 的中点， CEDE3，CD2DE6， 在BCE和FDE中， CBEFBECFEDCEDE ， BCEFDE（AAS） ， BCDF4， 平行四边形 ABCD的周长2（BCCD）2（46）20 故选 C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问

17、题的关键 9. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定方法逐一判断即可答案 【详解】A.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故该选项错误，不符合题意， B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项正确，符合题意， C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故该选项错误，不符合题意， D.一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形，故该选项错误，不符

18、合题意， 故选：B 【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定方法是解题关键 10. 关于 x 的一元二次方程 ax22axb10（ab0）有两个相等的实数根 k （ ） A. 若1a1，则kkab B. 若kkab，则 0a1 C. 若1a1，则kkab D. 若kkab，则 0a1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得 a 与 b的数量关系，然后代入方程求 k的值，然后结合 a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解 【详解】解：关于 x的一元二次方程 ax22axb10（ab0）有两个相等的实数根 k， （2a）24a（b1）

19、0，即：4a( ab1)0， 又ab0， ab10， 即 ab1， ax22axa0， 解得：x1x21， k1， kkab1111(1)aaa a， 当1a0 时，a10，a（a1）0， 此时kkab0，即kkab； 当 0a1 时，a10，a（a1）0， 此时kkab0，即kkab； 故 A、C错误； 当kkab时，即kkab0， 1(1)a a0， 解得：a1或 a0， 故 B 错误； 当kkab时，即kkab0， 1(1)a a0， 解得：0a1， 故 D 正确 故选：D 【点睛】 本题考查一元二次方程的根的判别式， 根据一元二次方程根的情况求得 a 与 b之间的等量关系是解题关键 二

20、、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 24 分）分） 11. 计算：2( 2) _ 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可. 【详解】2( 2) 2， 故答案为：2 【点睛】此题考查二次根式的性质.掌握二次根式的性质：22()aaaa，是解答此题的关键. 12. 已知一个多边形的内角和为 540，则这个多边形是_边形 【答案】5. 【解析】 【详解】设这个多边形是 n 边形，由题意得， (n-2) 180 =540 ,解之得，n=5. 13. 若数据 a，b，c的平均数是 3，数据 d，e 的平均数是 2，则 a，b，c，5

21、，d，e 这组数据的平均数是_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据数据 a，b，c 的平均数是 3，数据 d，e 的平均数是 2，可以得到 abc 的和 de的和，然后即可计算出数据 a，b，c，5，d，e 的平均数 【详解】解：数据 a，b，c的平均数是 3，数据 d，e的平均数是 2， abc339，de224， a，b，c，5，d，e 的平均数是： （abcde5）6（945）63 故答案为：3 【点睛】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用算术平均数的计算方法解答 14. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出 100箱，每箱利润 20 元为扩大销售，超市准备适当降价据测算，每

22、箱每降价 4元，平均每天可多售出 20箱若要使每天销售这种饮料获利 1280 元，每箱应降价多少元？设每箱降价 x元，可列方程_ 【答案】 （20 x） （1004x 20）1280 【解析】 【分析】直接利用销量每箱利润1280，进而得出方程求出答案 【详解】解：设每箱应降价 x元，则销售数量为： （1004x20）箱， 根据题意，得（20 x） （1004x 20）1280， 故答案是： （20 x） （1004x 20）1280 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每箱利润是解题关键 15. 如图， 将矩形纸片 ABCD的四个角向内折起， 恰好拼成一个无缝

23、隙、 无重叠的四边形 EFGH 若 BC8，GH=7，则 EH_ 【答案】15 【解析】 【分析】根据折叠性质可得GFE=FEH=GHE=90 ，GNH=EMH=90 ，FM=CF，FN=BF，可得四边形 EFGH是矩形，根据矩形的性质可得GHN=EFM，GH=EF，利用 AAS可证明GHNEFM，可得HN=FM，即可得出 FH=BC，利用勾股定理求出 EH的长即可 【详解】将矩形纸片 ABCD四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形 EFGH， CFE=EFH=12CFH，BFG=HFG=12BFH，FM=CF，FN=BF，GNH=EMH=90 ， EFH+HFG=12（CFH+B

24、FH）=90 ，即EFG=90 ， 同理可得：FEH=GHE=90 ， 四边形 EFGH是矩形， GHF=EFH，EF=GH=7， 在GHN 和EFM 中，GNHEMFGHNEFMGHEF， GHNEFM， HN=FM， CF=HN， FH=NH+FN=CF+BF=BC=8， EH=22FHEF=22FHGH=2287=15 故答案为：15 【点睛】本题考查折叠性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键 16. 如图，在ABCD中，AB6，AC10，BD16，求COD的周长为_ 【答案】19 【解析】 【分析】根据平行四边形性质解答即可 【详

25、解】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD6，OC12AC12105，OD12BD12168， OCD的周长65819 故答案是：19 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 计算： （1）23； （2）(12)(22) 【答案】 （1）6； （2）2 【解析】 【分析】 （1）根据二次根式的乘法法则，即可求解； （2）先算二次根式乘法，再算加减法，即可求解 【详解】解： （1）原式=2 3

26、6； （2）原式=222 22 =2 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的乘法法则，加减法法则，是解题的关键 18. 解方程： （1）x22x0 （2）2312042xx 【答案】 （1）1202xx ，； （2）14223x，24223x 【解析】 【分析】 （1）根据因式分解法，即可求解； （2）先把一元二次方程的系数化为整数，再利用求根公式求解，即可 【详解】解： （1）x22x0， 因式分解得：x(x+2)0， x=0或 x=-2, 即：1202xx ，； （2）2312042xx， 两边同乘 4，得：23820 xx， 2884 322 3x ， 、 14223x，24

27、223x 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法以及求根公式，是解题的关键 19. 如图，在ABCD中，点 E，F 分别是边 AD，BC上的点，且 DEBF，连接 CE，AF （1）求证：四边形 AECF是平行四边形； （2）若 E 是 AD中点，且 CEAD，当 CE4，AB=5 时，求ABCD的面积 【答案】 （1）见详解； （2）24 【解析】 【分析】 （1）由平行四边形的性质得 ADBC，ADBC，再证 AECF，即可得出结论； （2）由勾股定理得 DE3，则 AD2DE6，再由平行四边形的面积公式求解即可 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD是平行四边形， ADB

28、C，ADBC， DEBF， ADDEBCBF， 即 AECF，且 AECF， 四边形 AECF 是平行四边形； （2）解：四边形 ABCD是平行四边形， CDAB5， CEAD， DEC90， DE22CDCE= 22543， E是 AD 的中点， AD2DE6， ABCD的面积AD CE6 424 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出 DE 的长是解题的关键 20. 甲、乙二人加工同一批零件，零件内径合格尺寸是（单位：毫米） ：297D302质检员分别从二人各自加工的 100个零件中随机抽取 5个 甲：302，299，296

29、，299，299； 乙：300，298，297，300，300 （1）完成如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 299 299 乙 299 300 85 （2）根据以上信息，你认为如何评价两人的加工质量？ 【答案】 （1）见详解； （2）乙加工零件的质量更好，理由见详解 【解析】 【分析】 （1）将甲的数据重新排列，再根据中位数和方差的定义求解可得甲的中位数和方差，由众数的定义可得乙的众数； （2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可，答案不唯一，合理即可 【详解】解： （1）将甲数据重新排列为 296、299、299、299、302， 甲的中位数为 299，平均数为（2962993302

30、）5299， 甲的方差为15 （296299）23 （299299）2（302299）2185， 乙的数据中 300 出现次数最多， 所以乙的众数为 300， 补全表格如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲 299 299 299 185 乙 299 300 300 85 （2）由表可知，甲、乙加工零件的平均数相等，而乙加工零件的方差小于甲， 乙加工的零件尺寸稳定性更高， 乙加工零件的质量更好 【点睛】本题主要考查平均数，中位数，众数，方差，解题的关键是掌握中位数、众数及方差的定义和平均数、中位数、众数及方差的意义 21. 如图，在正方形 ABCD中，点 E 是对角线 AC上一点，过点 E作

31、EFAC，交边 AD，AB 于点 F，H，连接 CF，CH （1）求证：CFCH； （2）若正方形 ABCD的边长为 1，当AFH与CDF 的面积相等时，求 AE 的长 【答案】 （1）见详解； （2）2104 【解析】 【分析】 （1）利用正方形的性质得到FAEHAE45，再证明AEFAEH 得到 EFEH，然后根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）设 AEx，根据等腰直角三角形的性质得到 AF2x，FH2x，利用三角形面积公式得到122xx121（12x） ，然后解方程即可 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD为正方形， FAEHAE45， EFAC， AEFAEH90， 在AEF和

32、AEH中， FAEHAEAEAEAEFAEH， AEFAEH（ASA） ， EFEH， AC垂直平分 FH， CFCH； （2）解：设 AEx，则 AF2x，DF1-2x，FH2AE2x， AFH与CDF 的面积相等， 122xx121（12x） ， 整理得 2x22x 10，解得12104x，22104x（舍去） ， AE2104 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角也考查了全等三角形的判定与性质 22. 反比例函数kyx（k0） 和一次函数 yax2 （a0） 的图象交于第一象限内两点 A （x1， y1） ， B （x2，y2）

33、 ，且 0 x1x2记 sx1y2，tx2y1 （1）若 k2， 计算 st的值 当 1s2 时，求 t的取值范围 （2）当 st14 时，求 y1和 y2的值 【答案】 （1）4；2t4； （2）y143，y223 【解析】 【分析】（1） 由反比例函数kyx（k0） 中， kxy得到 x1y1x2y2k， 即可得到 stx1y2x2y1x1y1x2y2224； 由 x11ky，y22kx，sx1y2， ，得到 1x1y22，即可得出 12kt2，由 k2，解不等式组即可求得 2t4； （2）由 s：t1：4，得出 y124y22，即可得出 y12y2，从而得出 A（12x2，2y2） ，把

34、 A（12x2，2y2） ，B（x2，y2）代入 yax2得到关于 x2，y2的方程组，进而即可求解 【详解】解： （1）反比例函数kyx（k0）和一次函数 yax2（a0）的图象交于第一象限内两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， x1y1x2y2k， k2， stx1y2x2y1x1y1x2y2224； 1s2， 1x1y22， 11ky2kx2， 12kt2， k2， 2t4； （2）s：t1：4， 122114x yx y， 412xx12yy， x11ky，x22ky， y124y22， y12y2， A（12x2，2y2） ， 一次函数 yax2（a0）的图象经过点 A、B

35、， 222212222yaxyax ，解得 y223， y12y243 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，把反比例函数解析式进行变形是解本题的关键 23. 如图 1，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD交于点 O （1）若 F 是 CD的中点，连接 OE，EF，求证：OC平分 EF 下面是小滨同学的证明过程： 证明：连接 OF O 是菱形 ABCD对角线的交点， O 是 BD中点 又F是 CD中点， OF是DBC 的中位线， ， 又E是 BC中点 ， OFEC OFEC且 OFEC 四边形 OECF是平行四边形 （ ） OC平分

36、 EF （ ） 补全小滨同学的证明过程，并填写括号中的理由 （2）如图 2，点 G是 OD的中点，连接 OE，EG， 求证：OC 平分 EG 连接 AG，若 AGEG， 求证：ABCAGE180 【答案】 （1）OFBC，OF12BC，EC12BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2）见详解；见详解 【解析】 【分析】 （1）根据中位线定理，中点定义，平行四边形判定、性质即可解答； （2）取 OC的中点 F，连接 GF、EF、OE，由 GF 是OCD的中位线，得 GFCD，GF12CD，由OE 是BCD的中位线， 得 OECD， OE12CD， 从而 G

37、FOE， GFOE， 四边形 OEFG 是平行四边形，即可得证；连接 CG，由菱形的对称性，可得 AGCG，BAGBCG，又已知 AGEG，故 CGEG，有GECBCG，BAGGEC，而GECBEG180，即得BAGBEG180，ABCAGE180 【详解】解： （1）证明：连接 OF O 是菱形 ABCD对角线的交点， O 是 BD中点 又FCD中点， OF是DBC 的中位线， OFBC，OF12BC 又E是 BC中点 EC12BC， OFEC OFEC且 OFEC 四边形 OECF是平行四边形 （ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） OC平分 EF （ 平行四边形的对角线互相平分 故

38、答案为：OFBC，OF12BC，EC12BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2）取 OC的中点 F，连接 GF、EF、OE，如图： G 是 OD中点，F 是 OC中点， GF是OCD 的中位线， GFCD，GF12CD， O 是 BD中点，E 是 BC中点， OE是BCD的中位线， OECD，OE12CD， GFOE，GFOE， 四边形 OEFG是平行四边形， OF平分 EG，即 OC 平分 EG； 连接 CG，如图： 四边形 ABCD是菱形， 直线 BD是菱形 ABCD的对称轴， AGCG，BAGBCG， AGEG， CGEG， GECBCG， BAGGEC， GECBEG180， BAGBEG180， ABCAGE180 【点睛】本题考查菱形性质及应用，涉及三角形中位线、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造平行四边形、等腰三角形