2022年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2022年山东省济南市天桥区中考数学二模试题一、选择愿（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1. -3相反数等于（ ）A. -3B. 3C. D. 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A. B. C. D. 3. 截至2022年3月21日，我国累计报告接种新冠病毒疫苗323036.7万剂次，已完成全程接种疫苗的总人数已超过124000万人，将数字124000用科学记数法表示为（ ）A B. C. D. 4. 下列图案中，轴对称图形是（ ）A. B. C. D. 5. 将一副三角尺按如图所示位置摆放在直尺上，则1的度数为（ ）A 45B. 65C. 75D.

2、 856. 实数a，b在数轴上对应点位置如图所示，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 化简的结果是( )A. B. C. D. 8. 小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，假设他们每次出这三种手势的可能性相同，则在一次游戏中两人手势相同的概率是（）A. B. C. D. 9. 如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，RtABC中，C90，B30，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则CAD的度数是( )A. 20

3、B. 30C. 45D. 6011. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，B转动，测量知当转动到时，点C到的距离是（ ）（结果保留小数点后一位，参考数据：）A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点，已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 分解因式：= _ 14. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_15. 若一个多边形的内角

4、和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_16. 已知关于x的方程的一个根为，则它的另一个根为_17. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，则图中阴影部分的面积为_（结果保留）18. 图，在菱形中，已知，点E在的延长线上，点F在的延长线上，有下列结论：；若，则点F到的距离为则其中正确的结论的序号是_三、解答题（本大题9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：20. 解不等式组并写出它的所有整数解21. 如图，在平行四边形中，延长到点E，延长到点F，使，连接交边于点G，交边于点H求证：22. 某市教育局为了了解初一学生第一学期参加社会实践活动的天数，

5、随机抽查本市部分初一学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）_%，并写出该扇形所对圆心角的度数为_；补全条形图；（2）在这次抽样调查中，众数为_；中位数为_；（3）如果该市有初一学生20000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？23. 如图，AB为O的直径，点C在O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E（1）求证：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的长24. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买5件A奖品和2件B奖品共需88元；购买

6、3件A奖品和2件B奖品共需56元（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共30件，总费用不超过200元，那么最多能购买A种奖品多少件？25. 如图，反比例函数的图像经过线段的端点，线段与x轴正半轴的夹角为，且（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图像相交于点D，在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；苦不存在，请说明理由；（3）若P为函数的图像上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且，当时，求出n的值26. 问题提出如图（1），在ABC和D

7、EC中，ACBDCE90，BCAC，ECDC，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立问题拓展（3）如图（3），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCkAC，ECkDC（k是常数），点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系27. 如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）

8、如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线交抛物线于点E，且在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由2022年山东省济南市天桥区中考数学二模试题一、选择愿（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1. -3的相反数等于（ ）A. -3B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可求得答案【详解】解：-3的相反数等于3故选：B【点睛】本题主要考查了相反数的

9、定义：只有符号不同的两个数互为相反数，熟记相反数的定义是解题的关键2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图中的主视图定义，从前往后看，得到的平面图形即为主视图【详解】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个，故选：D【点睛】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据主视图的概念由立体图形得到相应的平面图形3. 截至2022年3月21日，我国累计报告接种新冠病毒疫苗323036.7万剂次，已完成全程接种疫苗的总人数已超过124000万人，将数字124000用

10、科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数【详解】解：故选C【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键4. 下列图案中，轴对称图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称

11、图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选D考点：轴对称图形5. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则1的度数为（ ）A. 45B. 65C. 75D. 85【答案】C【解析】【分析】由平角等于180结合三角板各角的度数，可求出2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出1的度数【详解】解：26045180，275直尺的上下两边平行，1275故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键6. 实数a，b在数轴上对应点位置如图所示，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可

12、知ab0，故a、b同号，且|a|b|根据有理数加减法乘除法法则可推断出各式的符号【详解】解：由题意可知ab0，故a、b同号，且|a|b|0，a-b=a+|b|0，ab0，a+b0；选项A、B、D错误，选项C正确，故选：C【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质和实数和数轴的基本知识点，比较简单7. 化简的结果是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分式的加减运算法则计算，再化简为最简分式即可.【详解】=m+4.故选B.【点睛】本题考查分式的加减.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.熟练掌握运算法则是解题关键.8. 小

13、明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，假设他们每次出这三种手势的可能性相同，则在一次游戏中两人手势相同的概率是（）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人手势相同的情况，求出概率即可【详解】解：列表如图所示石头剪刀布石头（石头，石头）（剪刀，石头）（布，石头）剪刀（石头，剪刀）（剪刀，剪刀）（布，剪刀）布（石头，布）（剪刀，布）（布，布）由列表可知所有等可能的情况有9种，其中两人手势相同的有3种结果，所以两人手势相同的概率为，故选：A【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比9. 如图，的三个顶点都在方格纸的格

14、点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在网格中绘制出CA旋转后的图形，得到点C旋转后对应点【详解】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90的图形，由图可得：点C对应点的坐标为(-2，3) 故选B【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转10. 如图，RtABC中，C90，B30，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则CAD的度数是( )A. 20B. 30C. 45D. 60【答案】B【解析】【分析】根据内角和定理求得BAC=6

15、0，由中垂线性质知DA=DB，即DAB=B=30，从而得出答案【详解】在ABC中，B=30，C=90，BAC=180-B-C=60，由作图可知MN为AB的中垂线，DA=DB，DAB=B=30，CAD=BAC-DAB=30，故选B【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键11. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，B转动，测量知当转动到时，点C到的距离是（ ）（结果保留小数点后一位，参考数据：）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，在RtABM中，求出BM，在RtBCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问

16、题【详解】如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CDBM，垂足为D，在RtABM中，BAE=60，AB=16，（cm），ABM=90-60=30，在RtBCD中，DBC=ABC-ABM=50-30=20，BCD=90-20=70，又BC=8，BD=sin7080.948=7.52（cm），CN=DM=BM-BD=8-7.526.3（cm），即点C到AE的距离约为6.3cm，故选：D【点睛】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键12. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点，已知二次函数的图象上有且只有一个雅

17、系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据雅系点的概念令，即，由题意，即，方程的根为，从而求得，所以函数，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据的取值，即可确定的取值范围【详解】解：令，即，由题意，即，又方程的根为，解得，故函数，函数图象开口向下，顶点为，与轴交点为，由对称性，该函数图象也经过点由于函数图象在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为，故选：【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类

18、讨论以及数形结合得出是解题关键二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 分解因式：= _ 【答案】【解析】【分析】根据完全平方公式因式分解即可详解】解：=故答案为：【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式因式分解是解决此题的关键14. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_【答案】【解析】【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论【详解】解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的黑色方砖在整个地板中所占的比值，小球最终停留在黑色区域的概率，故答案为：【点睛】本题

19、主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与整个区域面积的关系.15. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_【答案】8【解析】【详解】解：设边数为n，由题意得，180（n-2）=3603，解得n=8所以这个多边形的边数是8故答案为：816. 已知关于x的方程的一个根为，则它的另一个根为_【答案】0【解析】【分析】由于已知方程的二次项系数和一次项系数，所以要求方程的另一根，可利用一元二次方程的两根之和与系数的关系【详解】解：设a是方的另一个根，则a+（-3）=-3，即a=0故答案为：0【点睛】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0

20、（a0），当方程有解，即b2-4ac0时，设方程的解分别为x1，x2，则有17. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，则图中阴影部分的面积为_（结果保留）【答案】【解析】【分析】连接，由扇形面积三角形面积求解【详解】解：连接，为等边三角形，阴影部分的面积为故答案为：【点睛】本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算18. 图，在菱形中，已知，点E在的延长线上，点F在的延长线上，有下列结论：；若，则点F到的距离为则其中正确的结论的序号是_【答案】【解析】【分析】只要证明即可判断；根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可

21、判断；根据相似三角形的判定方法即可判断；求得点到的距离即可判断综上即可得答案.【详解】四边形是菱形，连AC，ABC=60，是等边三角形，ACD=ACB=60，AB=AC，ABE=ACF=120，BAE+BAF=CAF+BAF=60，在和中，故正确；，是等边三角形，故正确；，和不会相似，故不正确；过点作于点，过点作于点，在中，在中，在中，点到的距离为，故正确综上，正确结论有故答案为：，【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线三、解答题（本大题9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过

22、程或演算步骤）19. 计算：【答案】【解析】【分析】先根据零指数幂，特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，再合并，即可求解【详解】解：原式【点睛】本题主要考查了零指数幂，特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键20. 解不等式组并写出它的所有整数解【答案】不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为2，3【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【详解】解：解得，解得，不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为2，3【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确

23、求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键21. 如图，在平行四边形中，延长到点E，延长到点F，使，连接交边于点G，交边于点H求证：【答案】见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得出，利用ASA即可证明，再根据全等三角形的性质即可求解【详解】证明：四边形是平行四边形又，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对边平行的性质及全等三角形的判定与性质22. 某市教育局为了了解初一学生第一学期参加社会实践活动的天数，随机抽查本市部分初一学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了如下两幅不

24、完整的统计图请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）_%，并写出该扇形所对圆心角的度数为_；补全条形图；（2）在这次抽样调查中，众数为_；中位数为_；（3）如果该市有初一学生20000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？【答案】（1）25%，图形见解析 （2）5天，5天 （3）15000人【解析】【分析】（1）根据扇形统计图用1减去其他百分比即可求得的值，根据360度乘以，即可求解，根据社会实践活动为三天的人数求得总人数，即可求得社会实践活动为7天的人数，进而补全条形统计图，（2）根据条形图直接求得众数，根据中位数的定义求得第100、101个数的平均数，即可求解；（3）用20

25、000乘以社会实践活动时间不少于5天的百分比即可求解【小问1详解】解：，该扇形所对圆心角的度数为，抽查的总数是（人），社会实践活动时间为6天的人数：（人）补全统计图如下： 故答案为：25%，【小问2详解】5出现了60次，出现的次数最多，众数是5天：把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第100、101个数的平均数，所以这组数据的中位数是（天）；【小问3详解】根据题意得：（人），答：该市初一学生第一学期社会实践活动时间不少于5天的人数约是15000人【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，求众数，中位数，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形

26、统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小23. 如图，AB为O的直径，点C在O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E（1）求证：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD/OC,可得OCBE,即可推出ABEE,AE=AB(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由EDCECA得出相似比,求出CD即可【详解】（1）证明：连接OCCD与O相切于C点OCCD又CDAEOC/AEOCBEOC=OBABEOCBABEEAE=AB（2）连接ACA

27、B为O的直径ACB90AB=AE，ACBEEC=BC=6DECCEA, EDCECAEDCECA【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解24. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买5件A奖品和2件B奖品共需88元；购买3件A奖品和2件B奖品共需56元（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共30件，总费用不超过200元，那么最多能购买A种奖品多少件？【答案】（1）A种奖品每件16元，B种奖品每件4元 （2）A种奖品最多购买6件【解析】【分析】（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，根据“购买5件

28、A奖品和2件B奖品共需要88元，购买3件A奖品和2件B奖品共需要56元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品（30-a）件，利用总价=单价数量，结合总价不超过200元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论【小问1详解】设4种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：解得：答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元【小问2详解】设A种奖品购买a件，则B种奖品购买件，根据题意得解得：所以，A种奖品最多购买6件答：A种奖品最多购买6件【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的

29、应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式25. 如图，反比例函数的图像经过线段的端点，线段与x轴正半轴的夹角为，且（1）求反比例函数和直线的解析式；（2）把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图像相交于点D，在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；苦不存在，请说明理由；（3）若P为函数的图像上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且，当时，求出n的值【答案】（1）， （2），理由见解析 （3）n的值为或【解析】【分析】（1）作轴，

30、由得，从而求得，于是可求的直线关系式和反比例函数表达式；（2）作轴，先求得，设代入中，从而求出得直线解析式为： ，即可求得答案；（3）分两种情况讨论求解即可，如图1，当点N在上，即时，先求得直线的解折式为，则点，由，即可求解；如图2，当点N在上，时，由题意得直线的解析式为，根据，即可求解【小问1详解】解：如下图，作轴，直线关系式为代入中；反比例函数表达式小问2详解】解：如下图，作轴，设代入中，得（舍去）设，得直线解析式为：，令，【小问3详解】解：在平行四边形中，点P在反比例函数的图像上，点P的横坐标为n，如图1，当点N在上，即时，直线的解折式为，则点，由，得：（舍去）；如图2，当点N在上，时，

31、直线的解析式为由，解得：n的值为或【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质及待定系数法求反比例函数，图形变换平移，待定系数法求一次函数以及直角三角函数，掌握分类讨论思想是解题的关键26. 问题提出如图（1），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCAC，ECDC，点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？问题探究（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立问题拓展（3）如图（3），在ABC和DEC中，ACBDCE90

32、，BCkAC，ECkDC（k是常数），点E在ABC内部，直线AD与BE交于点F直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系【答案】（1）BFAFCF；（2）见解析；（3）BFkAFFC【解析】【分析】（1）证明ACDBCE（SAS），则CDE为等腰直角三角形，故DEEFCF，进而求解；（2）由（1）知，ACDBCE（SAS），再证明BCGACF（ASA），得到GCF为等腰直角三角形，则GFCF，即可求解；（3）证明BCECAD和BGCAFC，得到，则BGkAF，GCkFC，进而求解【详解】解：（1）如图（2）ACD+ACE90，ACE+BCE90，BCEACD，BCAC，ECDC，

33、ACDBCE（SAS），BEAD，EBCCAD，而点D、F重合，故BEADAF，而CDE等腰直角三角形，故DEEFCF，则BFBDBE+EDAFCF；即BFAFCF；（2）如图（1），由（1）知，ACDBCE（SAS），CAFCBE，BEAD，过点C作CGCF交BF于点G，ACF+ACG90，ACG+GCB90，ACFBCG，CAFCBE，BCAC，BCGACF（ASA），GCFC，BGAF，故GCF为等腰直角三角形，则GFCF，则BFBG+GFAFCF，即BFAFCF；（3）由（2）知，BCEACD，而BCkAC，ECkDC，即 ，BCEACD，CADCBE，过点C作CGCF交BF于点G，由

34、（2）知，BCGACF，BGCAFC， ，则BGkAF，GCkFC，在RtCGF中，GF FC，则BFBG+GFkAFFC，即BFkAFFC【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了三角形全等和相似、勾股定理的运用等，解题的关键是综合运用三角形全等和相似及勾股定理解决问题27. 如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线交抛物线于点E，且在y轴上

35、是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见解析 （3）在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.【解析】【分析】（1）把点和代入抛物线，即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求得a、b的值，继而确定抛物线的解析式；（2）设点P的坐标为，则，则，然后根据二次函数的性质即可求得答案；（3）由，则HQA =HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，继而可求，然后分BF=EF，BF=BE，EF=BE三种情况，分别求解即可.【小问1详解】解：把点和代入抛物线，得：，解得：，抛物线的解析式为；【小

36、问2详解】解：四边形OCPQ是平行四边形.理由如下：抛物线，当x=0时，y=4，设直线BC的解析式为，把、代入，得：，解得：直线BC的解析式为；设，则，-10，PQ有最大值，当x=2时，PQ的最大值为4，此时，PQ=CO=4，又PQ/CO，四边形OCPQ是平行四边形；【小问3详解】解：在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.理由如下：D是OC的中点，点D(0，2)，点D(0，2)、Q(2，-2)，直线DQ的表达式为，如图，过点Q作轴于点H，则QH/CO，AQH =ODA，HQA =HQE，直线AQ和直线QE关于直线QH对称，设直线QE的表达式为，把Q(2，-2)代入，得：-2

37、=4+r，解得：r=-6，直线QE的表达式为，联立，解得：或（舍去），设，当BF=EF，即BF2=EF2时，为等腰三角形，则：，解得：，；当BF=BE，即BF2=BE2时，为等腰三角形，则：，解得：，或；当EF=BE，即EF2=BE2时，为等腰三角形，则：，化简得：，方程无解，即在y轴上不存在点F，使EF=BE，综上所述，在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的判定和等腰三角形的性质等.解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.