江苏省南京市六校2020-2021学年高一下期末联考数学试卷(含答案解析)
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1、江苏省南京市六校2020-2021学年高一下期末联考数学试题一单项选择题:共8小题,每小题5分1 若复数满足,则( )A. 1B. C. D. 2. 在中,若,则( )A. B. C. D. 3. 某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名,为了了解学生的视力情况,现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本,则应从高二年级抽取的学生人数为( )A 18B. 20C. 22D. 244. 在中,内角、所对的边分别为、,满足,则=( )A. B. C. D. 5. 如图,在正方体中,为的中点,则异面直线与所成的角为( )A. 30B. 45C. 60D. 906. 已知
2、的内角,所对的边分别为,若向量与平行,则( )A. B. C. D. 7. 我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式:设内角,所对的边分别为,面积若,则面积的最大值为( )A. B. C. D. 8. 如图,在任意四边形中,其中,分别是,的中点,分别是,的中点,求=( )A. B. C. D. 二多选题:本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分9. 已知复数的实部与虚部之和为,则的取值可能为( )A. B. C. D. 10. 在中,若,则的值可以等于( )A. B. C. 2D. 311. 已
3、知正三棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为2,则下列说法正确的是( )A. 棱台的侧面积为B. 棱台的高为C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为12. 共和国勋章,是中华人民共和国最高荣誉勋章,授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日,国家主席习近平签署主席令,授予钟南山“共和国勋章”某市为表彰在抗疫中表现突出的个人,制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图,为图中两个同心圆的圆心,三角形ABC中,大圆半径,小圆半径,记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和,其中,当取到最大值时,则下列说法
4、正确的是( )A. 最大值是B. 的最大值是C. D. 三填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13 计算:_14. 在中,若,则=_15. 如图,在三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,PCA=90,ABC是边长为4的正三角形,PC=3,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为_16. 今年年初新冠肺炎肆虐全球,抗击新冠肺炎有效措施之一是早发现、早隔离现某地发现疫情,卫生部门欲将一块如图所示的圆O的内接四边形区域,沿着四边形边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区其中,(单位:米),则=_;四边形的面积为_(平方米)四解答题:共6小题,共70分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17
5、. 在,z为纯虚数,且对应的点在第一象限内,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题已知复数(i为虚数单位),为z的共轭复数,若_,求实数m的值或取值范围(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个条件给分)18. 已知的最小正周期为(1)求的值,并求的单调递增区间;(2)求在区间上的值域19. 如图,在平行四边形中,(1)求;(2)求20. 百年恰是风华正茂,迈向新征程的中国共产党,举世瞩目.100年来,中国社会沧桑巨变今年是我国建党一百周年,某班(共50名同学)举行了一次主题为“学好百年党史,凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动,根据全班同学的竞赛成绩(均在80100之间)绘制成频率
6、分布直方图如图(1)求的值,并求在的学生总人数;(2)若从成绩在的同学中随机选出两人,求至少有一人成绩在的概率21. 如图,是以为直径的半圆上一点,垂直于圆所在的平面(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值22. 如图所示,某市有一块正三角形状空地,其中测得千米.当地政府计划将这块空地改造成旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中点在边上,点在边上,点在边上,剩余部分需做绿化,设.(1)若,求的长;(2)当变化时,的面积是否有最小值?若有则求出最小值,若无请说明理由.江苏省南京市六校2020-2021学年高一下期末联考数学试题一单项选择题:共8小题,每小题5分1. 若复数满足,则( )A. 1
7、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合复数的除法运算求出复数,进而根据模长公式即可求出结果.【详解】因为,所以,故选:D.2. 在中,若,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件直接利用正弦定理求解即可【详解】解:在中,因为,所以由正弦定理得,即,所以,故选:C3. 某校高一、高二、高三年级分别有学生1100名、1000名、900名,为了了解学生的视力情况,现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为60的样本,则应从高二年级抽取的学生人数为( )A. 18B. 20C. 22D. 24【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样,可计算出抽取容量为60的样本时各层所抽
8、取的人数【详解】根据分层抽样,抽取容量为60的样本时,应从高二年级抽取的学生人数为(人故选:4. 在中,内角、所对的边分别为、,满足,则=( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理将已知等式角化边,再利用余弦定理即可求解【详解】在中,由正弦定理可化成,由余弦定理可得:,故选:5. 如图,在正方体中,为的中点,则异面直线与所成的角为( )A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D【解析】【分析】连接,由已知条件可证得平面,从而可得,由此可得答案【详解】连接,则,因为平面,在平面内,所以,因为,所以平面,因为在平面内,所以,所以异面直线与所成的角为,故选:D【点睛
9、】此题考查求异面直线所成的角,属于基础题6. 已知的内角,所对的边分别为,若向量与平行,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量平行的坐标运算得到,结合余弦定理化简整理即可求出结果.【详解】因为向量与平行,所以,结合正弦定理得,因为,所以,故,显然,所以,即,因为,所以,故选:A.7. 我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式:设内角,所对的边分别为,面积若,则面积的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边角关系得,则,由题设得,结合二次函数的性质即可求面积的最大值.【详解】,由正弦定理得且,即且,时,面积取
10、最大值故选:C8. 如图,在任意四边形中,其中,分别是,的中点,分别是,的中点,求=( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接,可得四边形为平行四边形根据向量的线性运算可得即可【详解】如图,连接,因为,分别是,的中点,分别是,的中点,所以,且,,且,所以,且,可得四边形为平行四边形,且,则故选:二多选题:本大题共4小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分9. 已知复数的实部与虚部之和为,则的取值可能为( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据复数实部与虚部的定义,可得,由二倍角余弦公式
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