2021年江苏省苏州市高二下期末数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021学年江苏省苏州市高二下期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1（5分）若函数，则ABCD2（5分）已知随机变量的分布列为，2，3，4，则实数ABCD3（5分）在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标如表为一次降雨过程中记录的降雨量数据时间0102030405060降雨量061418202324则下列四个时段降雨强度最小的是A到B到C到D到4（5分）当前新冠病毒肆虐，已经成为全球性威胁为了检测某种新冠病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计注射104050

2、未注射203050总计3070100则下列说法一定正确的是附：（其中临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828A有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”B有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”C在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”D在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”5（5分）计算：A180B186C188D1926（5分）若函数在上单调，则实数的取值范围是A，B，C，D，7（5分）已知正实数，满足

3、，若恒成立，则正整数的最大值是A1B2C3D48（5分）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是AB，CD，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（5分）若，则ABCD10（5分）一个口袋内装有大小相同的3个红球和个白球，从口袋中一次摸出2个球，若“摸到1个红球和1个白球”的概率不小于，则的值可能是A1B2C3D411（5分）若，则ABCD为，中最大的数12（5分）设函数，其中，现有甲、乙、丙、丁四个结论：甲：是函数的零点；乙：是函数的零点；丙：函数的零点之积为0；丁：函数有两个

4、零点若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则下列说法中正确的有A甲和乙不能同时成立B乙和丁可以同时成立C若甲和丙是正确的，则乙是错误的，丁是正确的D若丙和丁是正确的，则甲一定是正确的，乙一定是错误的三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数在上可导，且写出满足上述条件的一个函数：14（5分）小明登录网上银行的时候，忘记了登录密码的后两位，只记得其中某一位是，中的一个字母，另一位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够登录成功的概率是 15（5分）已知曲线在点，处的切线为，与轴的交点为，当时，的最大值为 16（5分）假期里有5名同学分别被分配到甲、乙、丙三个社

5、区做防疫志愿者，共有 种不同的分配方法；若要求每个社区至少分配一名同学，且同学必须被分配到社区甲，则共有 种不同的分配方法四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知的展开式中含项的系数为6（1）求的值；（2）若，展开式中首末两项的积为1，求中间两项和的最小值18（12分）给出下列三个条件：周期为1的函数；奇函数；偶函数请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解已知函数是_（1）求的值；（2）求不等式的解集19（12分）甲、乙两名选手进行围棋比赛，总奖金为元，比赛规则为先胜3局者赢得比赛已知每局甲获胜的概率为

6、，乙获胜的概率为，且每局比赛相互独立（1）求比赛刚好在第4局结束的概率；（2）若前两局双方各胜一局后，比赛因故终止，主办方决定，总奖金元按照后续比赛正常进行时甲乙双方赢得比赛的概率之比进行分配，求甲、乙各自获得的奖金数额20（12分）在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如表：数学成绩9099101104111112113117123130物理成绩65665267727372776987（1）根据表中数据分析：是否有的把握认为变量与具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程精确到；（2）已知参加该次考试的10000名考生

7、的物理成绩服从正态分布，用样本平均值作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数的数学期望参考数据：11007007771412227049730参考公式：对于一组数据，样本相关系数，当时，其回归直线的斜率为对于一组数据：，其方差若随机变量，则，21（12分）对于函数，若在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点，为函数的级“平移点”（1）试判断函数是否存在“平移点”？若存在，请求出平移点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）若函数在，上存在1级“平移点”，求实数的取值范围22（12分）已知函数的导函数与函数有且仅有一个相同零点（1）求实数的值；（2）

8、若函数有两个不同的零点，求证：2020-2021学年江苏省苏州市高二下期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1（5分）若函数，则ABCD【分析】根据题意，由函数的解析式可得，计算可得答案【解答】解：根据题意，函数，则，故选：【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题2（5分）已知随机变量的分布列为，2，3，4，则实数ABCD【分析】由随机变量的分布列的性质得：，由此能求出实数【解答】解：随机变量的分布列为，2，3，4，解得实数故选：【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（

9、5分）在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标如表为一次降雨过程中记录的降雨量数据时间0102030405060降雨量061418202324则下列四个时段降雨强度最小的是A到B到C到D到【分析】结合题意计算各个时间段的降雨强度，再比较大小即可【解答】解：到的降雨强度为；到的降雨强度为；到的降雨强度为；到的降雨强度为因为，所以四个时段中到的降雨强度最小故选：【点评】本题考查了平均变化率，考查的核心素养为数学建模，属于基础题4（5分）当前新冠病毒肆虐，已经成为全球性威胁为了检测某种新冠病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到

10、如下列联表：感染未感染总计注射104050未注射203050总计3070100则下列说法一定正确的是附：（其中临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828A有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”B有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”C在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”D在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”【分析】由列联表中数据计算的观测值，对照临界值得出结论【解答】解：由列联表中数据，计算，且，

11、所以有的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”故选：【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与应用问题，是基础题5（5分）计算：A180B186C188D192【分析】由公式化简，从而求得【解答】解：，故选：【点评】本题考查了组合数公式的应用，属于基础题6（5分）若函数在上单调，则实数的取值范围是A，B，C，D，【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得的范围【解答】解：函数在上单调，函数在上单调，且大于零，由于二次函数的图象开口向上，对称轴为，或，求得，或，故选：【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题

12、7（5分）已知正实数，满足，若恒成立，则正整数的最大值是A1B2C3D4【分析】依题意可得，由基本不等式可得，根据恒成立，可得，进而得到，由此得解【解答】解：正实数，满足，则，即，又恒成立，又，解得，取正整数，正整数的最大值为2故选：【点评】本题考查不等式的恒成立问题，涉及了基本不等式的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题8（5分）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是AB，CD，【分析】根据题意可得问题等价于，设，先求出的单调性时的取值范围，再得到不单调时的范围即可【解答】解：，显然，时，恒成立，所以单调递增，不妨设，则，又，所以等价于，即，设，则只需求出不单调时，的取值范围

13、即可先研究单调时，的取值范围，当函数在，上为减函数，所以在，上恒成立，设，则，所以函数在，上为减函数，则，所以，当函数在，上为增函数，所以在，上恒成立，设，则，所以函数在，上为减函数，则，所以，所以当单调时，的取值范围为或，所以当不单调时，的取值范围为，所以实数的取值范围为故选：【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9（5分）若，则ABCD【分析】对于选项，分别设出指数函数和幂函数，即可求解，对于选项，结合换底公式，即可

14、求解，对于选项，两式做差，即可比较【解答】解：令，在上单调递增，又，故选项正确，由换底公式可得，又，故选项正确，令，在上单调递增，故选项错误，故选项错误故选：【点评】本题考查了指数函数，幂函数的性质，以及换底公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题10（5分）一个口袋内装有大小相同的3个红球和个白球，从口袋中一次摸出2个球，若“摸到1个红球和1个白球”的概率不小于，则的值可能是A1B2C3D4【分析】先求出基本事件总数和摸到1个红球和1个白球的基本事件数，再利用古典概型的概率公式即可求解【解答】解：基本事件总数为，摸到1个红球和1个白球的基本事件数，摸到1个红球和1个白球的概率为，或故选：【点

15、评】本题考查概率的求法，考查古典概型，排列组合等基础知识，是基础题11（5分）若，则ABCD为，中最大的数【分析】令，可判断；令，可判断；原式求导，构造出选项式子，令可判断；选项通过不等式组的解判断【解答】解：令，得，所以选项正确；令，得，令，得，两式相减得，所以选项正确；原式两边求导，得，令，得，所以选项错误根据二项式展开式得，由，解得，所以取，即为系数的最大项，所以选项正确故选：【点评】本题考查了二项式定理在二项展开式中系数和及系数的最大项的应用，属于中档题12（5分）设函数，其中，现有甲、乙、丙、丁四个结论：甲：是函数的零点；乙：是函数的零点；丙：函数的零点之积为0；丁：函数有两个零点若

16、上述四个结论中有且只有一个结论错误，则下列说法中正确的有A甲和乙不能同时成立B乙和丁可以同时成立C若甲和丙是正确的，则乙是错误的，丁是正确的D若丙和丁是正确的，则甲一定是正确的，乙一定是错误的【分析】由已知函数的单调性判断甲，乙中有一个错误，假设乙正确，结合丙正确，解得，的值，得到函数解析式，再说明丁正确，则可得出答案【解答】解：当，时，为增函数，当，时，所以在，上单调递减，所以和只有一个是函数的零点，因为四个结论中有且只有一个结论错误，所以甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙丁均正确，丙正确，函数的零点之积为0，则必有一个零点为0，所以，解得，若乙正确，那么（e），解得，所以，当时，（e

17、），所以只有一个根，此时丁错误，与上面矛盾，所以甲正确所以甲丙丁正确，故选：【点评】本题考查分段函数，解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）函数在上可导，且写出满足上述条件的一个函数：，（答案不唯一）【分析】根据题意，由导数的计算公式分析，可得答案【解答】解：根据题意，函数在上可导，且可以考查指数函数，如，其导数，满足故答案为：，（答案不唯一）【点评】本题考查导数的计算，注意常见函数的导数，属于基础题14（5分）小明登录网上银行的时候，忘记了登录密码的后两位，只记得其中某一位是，中的一个字母，另一位是1，2，3，4，5中的一个数字，则

18、小明输入一次密码能够登录成功的概率是 【分析】先求出基本事件总数，由此能求出小明输入一次密码能够成功登录的概率【解答】解：忘记了登录密码的后两位，只记得其中某一位是，中的一个字母，另一位是1，2，3，4，5中的一个数字，则基本事件总数，小明输入一次密码能够成功登录的概率是故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用15（5分）已知曲线在点，处的切线为，与轴的交点为，当时，的最大值为 【分析】求得曲线在点，处的切线的方程，令，可得，即，构造函数，利用导数可取得答案【解答】解：，曲线在点，处的切线的方程为，令，得，即，令，则，当时，单调递增

19、，当时，单调递减，故答案为：【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，得到是关键，考查整体思想与运算求解能力，属于中档题16（5分）假期里有5名同学分别被分配到甲、乙、丙三个社区做防疫志愿者，共有 243种不同的分配方法；若要求每个社区至少分配一名同学，且同学必须被分配到社区甲，则共有 种不同的分配方法【分析】对于第一空：每位同学可以安排到三个社区，有3种选择，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：分2步进行分析：先将5人分为3组，再将同学所在的组必须被分配到社区甲，剩下2个组安排到乙、丙社区，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，对于第一空：每位同学可以安排到三个社区，有

20、3种选择，则5位同学有种分配方法，对于第二空：分2步进行分析：先将5人分为3组，有种分组方法，再将同学所在的组必须被分配到社区甲，剩下2个组安排到乙、丙社区，有2种安排方法，则有种安排方法；故答案为：243，50【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知的展开式中含项的系数为6（1）求的值；（2）若，展开式中首末两项的积为1，求中间两项和的最小值【分析】（1）由题意利用二项式展开式的通项公式，求得的值（2）由题意利用二项式展开式的通项公式，基本不等式，求得中间两项和的最小值

21、【解答】解：（1）由于知的展开式的通项公式为，令，可得，展开式中含项的系数为，（2），的展开式中首末两项的积为，即，而中间两项和为，当且仅当时，取等号，故中间两项和的最小值为【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，基本不等式的应用，属于中档题18（12分）给出下列三个条件：周期为1的函数；奇函数；偶函数请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解已知函数是_（1）求的值；（2）求不等式的解集【分析】（1）若选：利用周期性，可得（1）（2）（3），求解即可；若选：利用奇函数的性质，可得（1），求解即可；若选：利用偶函数的

22、定义，可得在定义域上恒成立，求解即可（2）利用（1）中的结论，得到不等式，然后分两种情况求解即可【解答】解：（1）函数，的定义域为，若选：是周期为1的函数，则（1）（2）（3），即，无解，不合题意；若选：为奇函数，则（1），即，方程无解，不合题意；若选：为偶函数，则在定义域上恒成立，即，整理可得，解得，此时为偶函数；（2）由，可得，即，解得；，即，此时无解综上所述，不等式的解集为【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的奇偶性、周期性的应用，不等式的求解问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题19（12分）甲、乙两名选手进行围棋比赛，总奖金为元，比赛规则为先胜3局者赢得比赛已

23、知每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛相互独立（1）求比赛刚好在第4局结束的概率；（2）若前两局双方各胜一局后，比赛因故终止，主办方决定，总奖金元按照后续比赛正常进行时甲乙双方赢得比赛的概率之比进行分配，求甲、乙各自获得的奖金数额【分析】（1）分析比赛刚好在第4局结束包含两种情况：前3局甲2胜1负，第4局甲胜；前3局乙2胜1负，第4局乙胜，利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）分别计算出若当前两局双方比分为比赛正常进行下去，甲赢得比赛和乙赢得比赛的概率，由此可得答案【解答】解：（1）比赛规则为先胜3局者赢得比赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛相互独立则比赛刚好

24、在第4局结束的情况是前3局甲2胜1负，第4局甲胜，或前3局乙2胜1负，第4局乙胜，则比赛刚好在第4局结束的概率为：；（2）记事件为：“若当前两局双方比分为比赛正常进行下去时甲赢得比赛”，则再进行两局甲赢得比赛的概率为，所以（B），则“若当前两局双方比分为比赛正常进行下去时乙赢得比赛”的概率为，所以甲应该获得奖金为元，乙应该获得奖金为元【点评】本题考查了相互独立事件概率的求解，对立事件概率公式的应用，解题的关键是掌握相互独立事件的概率乘法公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题20（12分）在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如表：

25、数学成绩9099101104111112113117123130物理成绩65665267727372776987（1）根据表中数据分析：是否有的把握认为变量与具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程精确到；（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布，用样本平均值作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数的数学期望参考数据：11007007771412227049730参考公式：对于一组数据，样本相关系数，当时，其回归直线的斜率为对于一组数据：，其方差若随机变量，则，【分析】（1）利用相关系数的计算公式求出的值，然后对照

26、临界表中的数据，判断即可，求出线性回归系数，即可求出线性回归方程；（2）先求出和的值，利用物理成绩服从正态分布，利用正态分布的概率求出，由物理成立不等于61.5分的人数，利用公式求解期望即可【解答】解：（1）由题意，所以有的把握认为变量与具有线性相关关系，则，所以关于的回归直线方程为；（2）由（1）可知，所以10000名考生的物理成绩服从正态分布，故，所以物理成立不等于61.5分的人数，故人【点评】本题考查了相关系数的求解与应用，线性回归方程的求解与应用，正态分布的应用，二项分布的数学期望的公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题21（12分）对于函数，若在定义域内存在实数，使

27、得成立，其中为大于0的常数，则称点，为函数的级“平移点”（1）试判断函数是否存在“平移点”？若存在，请求出平移点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）若函数在，上存在1级“平移点”，求实数的取值范围【分析】（1）设平移点为，则由“平移点”的定义可得，化简得，解得，（2）若函数在，上存在1级“平移点”，则（1），进而可得，在上有解，令，分析单调性，最值，即可得出答案【解答】解：（1）设平移点为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，或，所以存在平移点，等（2）若函数在，上存在1级“平移点”，则（1），所以，所以，当时，由于，无解，所以，所以，在上有解，令，所以在上单调递增，所以（1），所以，所以，解得所以的取值范围为，【点评】本题考查函数的新定义，“平移点”，解题中需要理清思路，属于中档题22（12分）已知函数的导函数与函数有且仅有一个相同零点（1）求实数的值；（2）若函数有两个不同的零点，求证：【分析】（1）设与的相同零点为，依题意，可建立关于，的方程组，解出即可；（2）设，利用导数及零点存在性定理可知，进而可得，的取值范围，由此得证【解答】解：（1）设与的相同零点为，将代入，得，解得，；（2）证明：设，令，解得，易知当时，单调递增，当时，单调递减，又，存在，使得，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题