江苏省南京市鼓楼区2021年高二下期末数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年高二下期末数学试题一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 已知集合是函数的定义域，是函数的定义城，则（ ）A. B. C. D. 2. 壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，可以组成不同的币值一共有（ ）A. 4种B. 7种C. 15种D. 18种3. 函数的导函数为（ ）A. B. C. D. 4. 2021年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演现从歌唱祖国英雄赞歌唱支山歌给党听毛主席派人来4首独唱歌曲和没有共产党就没有新中国我和我祖国2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必

2、须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）A. 14B. 120C. 48D. 725. 如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（ ）A. 在上是增函数B. 在区间上是增函数C. 的最大值是D. 当时，取极小值6. 一批产品共50件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）A. B. C. D. 7. 已知随机变量，那么（ ）A. B. C. 1D. 38. 已知集合，那么“”是“，”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

3、要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置9. 对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2式子有（ ）A B. C. D. 10. 在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是，0，则第四个顶点对应的复数可以是（ ）A. B. C. D. 11. 已知，则（ ）A. 的最小值为25B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为12. 已知定义域为的函数满足：，；当时，则（ ）A. B. ，C. 函数的值域为D. ，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置上13.

4、已知变量y与x线性相关，若，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是_14. 已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则_15. 某班5名同学去参加4个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有_种（用数字填写答案）16. 已知随机变量，若，则_四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内解答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 为了了解某中心城市人们观看电视剧觉醒时代的情况，一家研究机构随机抽取出200人进行调查统计，得到下方的列联表年轻人非年轻人总计已观看觉醒时代12525150未观看觉醒时代351550总计1

5、6040200（1）根据该列联表，是否有95%的把握认为“已观看觉醒时代”与“是年轻人”有关系？（2）依据你对（1）的回答或者依据该列联表中的数据，谈谈你的看法参考公式：独立性检验统计量，其中下面的临界值表供参考：0.150.010.050.0250.0100.0050.0012.07220763.8415.0246.6357.8791082818. 我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式（1）某医院有内科

6、医生8名，外科医生（）名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求的值；（2）化简：19. 如图，在直三棱柱中，点，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）已知二面角的大小为，求三棱锥的体积20. 已知一位篮球投手投中两分球的概率为，投中三分球的概率为，每次投中两分球、三分球分别得2分、3分，未投中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该投手进行3次投篮：包括两分球投篮1次、三分球投篮2次（1）求“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”的概率；（2）求该投手的总得分的分布列和数学期望21. 已知函数，kR（1）判断的奇偶性并说明理由；（2）如果当x0,2时，的最大值是6

7、，求k的值23. 已知函数，其中，是自然对数的底数，（1）当，时，求证：；（2）若函数有两个零点，求的取值范围江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年高二下期末数学试题一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 已知集合是函数的定义域，是函数的定义城，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义域求出集合，由此能求出【详解】解：集合是函数的定义域，则，是函数的定义域，则，故选：D2. 壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，可以组成不同的币值一共有（ ）A. 4种B. 7种C. 15种D. 18种【2题答案】【答案】C【解析】【分析】依据

8、题意可将人民币分成选取1张，选取2张，选取3张，选取4张进行分类计算【详解】解：选取1张人民币共有种不同的情况，选取2张人民币共有种不同的情况，选取3张人民币共有种不同的情况，选取4张人民币共有种不同的情况，故共有种不同的币值故选：3. 函数的导函数为（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的求导公式求导即可【详解】解：，故选：B4. 2021年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演现从歌唱祖国英雄赞歌唱支山歌给党听毛主席派人来4首独唱歌曲和没有共产党就没有新中国我和我的祖国2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演

9、出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）A. 14B. 120C. 48D. 72【4题答案】【答案】B【解析】【分析】先在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，再从其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，由分步计数原理计算即可得到答案.【详解】根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有种安排方法，则有种不同的安排方法，故选：B5. 如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是（ ）A. 在上是增函数B. 在区间上是增函数C. 的最大值是D. 当时，取极小值【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据导函数图象

10、，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果【详解】解：根据导函数图象可知，在上，在上是减函数，故错误；在上，单调递增，故B正确, C错误；在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故D错误，故选：B6. 一批产品共50件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】A【解析】【分析】由题意利用恰好发生k次的概率计算公式可求得结果.【详解】一批产品共50件，其中有3件不合格品，有47件合格产品，从中任取5件，所有的取法有种，恰有1件不合格品的取法有，所以从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是，故选：A.7. 已知随

11、机变量，那么（ ）A. B. C. 1D. 3【7题答案】【答案】B【解析】【分析】根据公式计算即可.【详解】随机变量，则,那么.故选：B8. 已知集合，那么“”是“，”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【8题答案】【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，求得命题存在，使得成立的充要条件，再根据充分必要条件的定义进行判断即可详解】解：，设，则，是，的充分不必要条件，故选：二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分，请把答案填涂在答

12、题卡相应位置9. 对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】AD【解析】【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可【详解】解：因为，故选项A正确；因为，故选项B错误；因为，故选项C错误；因为，故选项D正确故选：AD10. 在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是，0，则第四个顶点对应的复数可以是（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】BCD【解析】【分析】利用平行四边形的对角线互相平分求解【详解】第四个点对应复数，则或或，所以或或故选：BCD11. 已知，则（ ）A. 的最小

13、值为25B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为【11题答案】【答案】AD【解析】【分析】将各选项中求最值问题转化为二次函数或者基本不等式求最值问题即可，要注意各选项中等号成立时范围是否满足题意.【详解】对于A，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，当时（此时）取得最小值，故B错误；对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为，故C错误；对于D，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D正确.故选:AD12. 已知定义域为的函数满足：，；当时，则（ ）A. B. ，C. 函数的值域为D. ，【12题答案】【答案】AC【解析】【分析】根据题中条件，结合抽象函数的知识，对

14、各选项逐一分析即可.对于A直接带入计算即可；对于B举出反例即可；对于CD需要充分理解题意后进行转化的方法求解.【详解】对于A，因为定义域为的函数满足，所以，所以，故A正确；对于B，不妨取，则，故B错误；对于C，由题意得，都存在，使得，所以，又因为当当时，所以，故C正确；对于D，若，则，则有，若，则有，此时不是整数，故D错误；故选:AC【点睛】对于抽象函数的问题，要善于利用转化法求解，善于研究题中所给抽象函数的特征，再对设问进行判断.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置上13. 已知变量y与x线性相关，若，且与的线性回归直线的斜率为6

15、.5，则线性回归方程是_【13题答案】【答案】【解析】【分析】设线性回归方程为，把已知数据代入求得，则线性回归方程可求【详解】解：设线性回归方程为，与的线性回归直线的斜率为6.5，关于的线性回归方程为故答案为：14. 已知，为实数，是关于方程的一个根，其中是虚数单位，则_【14题答案】【答案】0【解析】【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，则，即，.故答案为：015. 某班5名同学去参加4个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有_种（用数字填写答案）【15题答案】【答案】24

16、0【解析】【分析】先选出2个人一组，与余下的3人再分到4个社团可得答案.【详解】某班5名同学去参加4个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足要求的不同方案共有种.故答案为：240.16. 已知随机变量，若，则_【16题答案】【答案】0.8【解析】【分析】正态曲线关于直线 ，即 对称，根据其对称性，即可求出答案.【详解】因为，若，所以，根据正态曲线的对称性，可知.故答案为：0.8四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内解答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 为了了解某中心城市人们观看电视剧觉醒时代的情况，一家研究机构随机抽取出200人进行调查统计，得

17、到下方的列联表年轻人非年轻人总计已观看觉醒时代12525150未观看觉醒时代351550总计16040200（1）根据该列联表，是否有95%的把握认为“已观看觉醒时代”与“是年轻人”有关系？（2）依据你对（1）的回答或者依据该列联表中的数据，谈谈你的看法参考公式：独立性检验统计量，其中下面的临界值表供参考：0.150.010.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828【17题答案】【答案】（1）有的把握；（2）越来越多的年轻人关注国家发展的历史【解析】【分析】（1）利用公式求得，然后对照临界值表即可得出结论；（2）依据（

18、1）的回答或者依据该列联表中的数据，回答只要符合题意即可.【详解】解：（1），所以有的把握认为“已观看觉醒时代”与“是年轻人”有关系（2）越来越多的年轻人关注国家发展的历史18. 我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式（1）某医院有内科医生8名，外科医生（）名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求的值；（2）化简：【18题答案】【答案】(1)5;(2) 【解析】【分析】（1

19、）将原事件转化为从剩下7名内科医生，外科医生名，派2名医生参加赈灾医疗队，即可求解.（2）结合二项式定理，将原式看作展开式中的系数减，即可求解.【详解】（1）内科医生8名，外科医生名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，某内科医生必须参加，该事件等同于从剩下7名内科医生，外科医生名，派2名医生参加赈灾医疗队，即即解得.（2）,的系数原式可以看作展开式中的系数减，即19. 如图，在直三棱柱中，点，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）已知二面角的大小为，求三棱锥的体积【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可证，四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；（

20、2）由题意可证，由于是三棱锥的高，于是通过几何法可证得为二面角的平面角，进而可以求的长度，从而三棱锥的体积可求.【详解】（1）证明：E、F分别是、的中点，四边形是平行四边形，则，平面，平面， 平面.（2），则，又是直三棱柱，平面，平面，平面，又平面，则为二面角的平面角，可得，三棱锥的体积.20. 已知一位篮球投手投中两分球概率为，投中三分球的概率为，每次投中两分球、三分球分别得2分、3分，未投中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该投手进行3次投篮：包括两分球投篮1次、三分球投篮2次（1）求“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”的概率；（2）求该投手的总得分的分布列和数学期望【20题答案】【答

21、案】（1）；（2）分布列见解析；期望为；【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可【详解】解：（1）记“该投手投中两分球1次“为事件，则，记“该投手第一次投中三分球“为事件，则，记“该投手第二次投中三分球“为事件，则，记“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”为事件，因为每次投篮的结果相互独立，所以，所以；（2）的可能取值为0，2，3，5，6，8，则，故的分布列为：023568所以21. 已知函数，kR（1）判断的奇偶性并说明理由；（2）如果当x0,2时，最大值是6，求k的值【21

22、题答案】【答案】（1）当时，是奇函数；当时，是非奇非偶函数；理由见解析； （2）1或3.【解析】【分析】（1）当k0时，由奇函数定义可得为奇函数，当k0时，举反例可得是非奇非偶函数；（2）写出分段函数解析式，然后对k分类分析在0,2上的单调性，求出最大值，得关于k的方程求解k值【小问1详解】当k0时，则，即为奇函数，当k0时，则不是奇函数，则不是偶函数，当k0时是奇函数，当k0时，是非奇非偶函数；【小问2详解】由题设，1、当11k，即k2时，在上是增函数，12，在0,2上是增函数；2、当k11，即k2时，在(1，+)上是增函数，10，在0,2上是增函数；或，在x0,2上的最大值是，解得k1（舍

23、去）或k3；3、当，即2k2时，在0,2上为增函数，令2|2k|+46，解得k1或k3（舍去）综上，k的值是1或323. 已知函数，其中，是自然对数的底数，（1）当，时，求证：；（2）若函数有两个零点，求的取值范围【23题答案】【答案】（1）见解析；（2），【解析】【分析】（1）利用导数判断出的单调性，由此得到的取值范围，即可证明；（2）构造函数，利用导数研究函数的性质，结合函数零点的存在性定理进行分析求解，即可得到答案【详解】（1）证明：当时，则，令，解得，当时，则在上单调递增，因为，所以（3），故；（2）解：因为，所以0是函数的一个零点，令，可得，当时，则在上单调递增，此时函数仅有一个零点

24、，不符合题意；当时，由，可得，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以当时，取得极小值，即最小值为，设（a），则（a），所以当时，（a），则（a）单调递增，当时，（a），则（a）单调递减，（）当时，（a）取最大值，此时（a），函数只有一个零点；（）因为，且函数（a）在区间，上单调递增，所以当，时，（a），即，此时，如图所示，当时，则单调递增，且，所以当时，只有一个零点，当时，则单调递减，取，则，因为，而，在，上单调递减且连续，所以在，上有唯一的零点，又因为在区间上没有零点，所以当时，有两个零点；（）当时，因为（a）在上单调递减，所以（a），即，此时，如图所示，因为当时，所以函数单调递减，且，所

25、以当时，有一个零点，设，则，令，则，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以，则单调递增，所以当时，即当时，故，设，则，当时，单调递减，当时，则单调递增，所以（1），即，当且仅当时取等号，所以，而，在，上递增且连续，所以在，上有唯一的零点，又因为在，上没有零点，所以当时，有两个零点综上所述，的取值范围为，【点睛】本题考查了导数的综合应用，在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）属于难题