2022年苏科新版九年级数学上册《第2章 对称图形-圆》单元测试卷（含答案解析）

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1、第第 2 2 章章 对称图形对称图形- -圆圆 一选择题（共一选择题（共 1010 小题，满分小题，满分 3030 分，每小题分，每小题 3 3 分）分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 面积相等的两个圆是等圆 D. 半径相等的两个半圆是等弧 2. 如图，PA、PB、CD是O 的切线，A、B、E是切点，CD分别交 PA、PB于 C、D 两点，若APB40 ，PA5，则下列结论：PAPB5； PCD的周长为 5；COD70正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 3. 如图，已知 AB 是O的直径，点 P 在

2、BA 的延长线上，PD 与O相切于点 D，过点 B 作 PD 的垂线交PD 的延长线于点 C，若O的半径为 4，6BC ，则 PA的长为（ ） A. 4 B. 2 3 C. 3 D. 2.5 4. 如图，AC是O的直径，弦 BDAO于 E，连接 BC，过点 O作 OFBC于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF的长度是（ ） A. 3cm B. 6 cm C. 2.5cm D. 5 cm 5. 如图，A、B、C、D为O 上的点，直线 BA与 DC相交于点 P，PA2，PCCD3，则 PB（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 已知等腰直角三角形外接圆半径为 5，则内切圆半

3、径为（ ） A. 52+5 B. 1225 C. 525 D. 10210 7. 如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，下列判断中错误的是（ ） A. ODDC B. ACBC C. ADBD D. 12AOCAOB 8. 下列说法错误的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆内接四边形的外角等于它的内对角 C. 任意三角形都有一个外接圆 D. 正 n 边形的中心角等于360n 9. 在网格（每个小正方形的边长均为 1）中选取 9 个格点（格线的交点称为格点） ，如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 4 个点在圆内，则 r 的取值范围为（ ） A. 2 2

4、17r B. 173 2r C. 3 25r D. 529r 10. 已知O的半径为 5，点 P 在O外，则 OP 的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二填空题（共二填空题（共 1010 小题，满分小题，满分 3030 分，每小题分，每小题 3 3 分）分） 11. 如图，点 P 为ABC的内心，延长 AP 交ABC的外接圆O于 D，过 D作 DEBC，交 AC 的延长线于 E 点则直线 DE 与O 的位置关系是_；若 AB4，AD6，CE3，则 DE_ 12. 如图，ABC 内接于O，BAC30 ，BC2，则O的直径等于_ 13. .如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半

5、径 CA=6，圆心角ACB=120 ， 则此圆锥高 OC 的长度是_ 14. 如图，BD是O的直径，CBD30，则A 的度数为_ 15. 一个棱柱有 16 个顶点，所有侧棱长的和是 64cm，则每条侧棱长是_ 16. 如图，O的半径为 5，弦 AB8，动点 M在弦 AB 上运动（可运动至 A和 B） ，设 OMx，则 x 的取值范围是_ 17. 设正 n边形的半径为 R，边心距为 r，如果我们将Rr的值称为正 n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是_（结果保留根号） 18. 如图O半径为 1cm， 弦 AB、 CD的长度分别为2,1cm cm， 则弦 AC、 BD所夹的锐角_ 19.

6、如图，O中弦 AB，CD 相交于点 P，已知 AP3，BP2，CP1，则 DP_ 20. “圆材埋壁”是我国古代数学名著 九章算术 中的一个问题:“今有圆材， 埋在壁中， 不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，1AE 寸，10CD寸.则直径AB的长为_寸. 三解答题（共三解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 6060 分，每小题分，每小题 1010 分）分） 21. 如图，点 D 在O的直径 AB 的延长线上，点 C在O 上，ACCD，D30 ， （1）请判断 CD是否O的切线？并说明理由； （2）若O

7、的半径为 6，求弧 AC 的长 （结果保留 ） 22. 如图，在 RtABC 中，90C，AD平分BAC，交 BC于点 D，点 O在 AB上，O 经过 A、D两点，交 AC于点 E，交 AB于点 F （1）求证：BC是O的切线； （2）若O半径是 2cm，E 是弧 AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留 和根号） 23. 如图，Rt ABC中，ABC为直角，以 AB 为直径作O交 AC 于点 D，点 E为 BC中点，连结 DE，DB （1）求证：DE与O相切； （2）若C30，求BOD 的度数； （3）在（2）的条件下，若O半径为 2，求阴影部分面积 24. 如图，AD是O的切线，切点为 A

8、，AB是O的弦，过点 B 作 BCAD，交O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CDAB， 交 AD于点 D， 连接 AO 并延长交 BC于点 M， 交过点 C的直线于点 P， 且BCPACD （1）判断直线 PC 与O的位置关系，并说明理由 （2）若 AB56，BC10，求O的半径及 PC 的长 25. 已知 ABC中，AB=AC，以 AB为直径O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E (1)当BAC为锐角时，如图，求证：CBE=12BAC； (2)当BAC为钝角时，如图，CA延长线与O相交于点 E，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由 26. 如图，在ABC中，ACB=90 ，O 是

9、边 AC 上一点，以 O为圆心，以 OA为半径的圆分别交 AB、AC于点 E、D，在 BC 的延长线上取点 F，使得 BF=EF （1）判断直线 EF与O位置关系，并说明理由； （2）若A=30 ，求证：DG=12DA； （3）若A=30 ，且图中阴影部分的面积等于 2233p-，求O的半径的长 第第 2 2 章章 对称图形对称图形- -圆圆 一选择题（共一选择题（共 1010 小题，满分小题，满分 3030 分，每小题分，每小题 3 3 分）分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 面积相等的两个圆是等圆 D. 半径相等的两个半圆是等弧

10、 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：A、直径是圆中最长的弦，所以 A 选项的说法正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以 B 选项的说法错误； C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以 C选项的说法正确； D、半径相等的两个半圆是等弧，所以 D选项的说法正确 故选 B 2. 如图，PA、PB、CD是O 的切线，A、B、E是切点，CD分别交 PA、PB于 C、D 两点，若APB40 ，PA5，则下列结论：PAPB5； PCD的周长为 5；COD70正确的个数为（ ） A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据切线长

11、定理， 可判断正确； 将PCD的周长转化为 PA+PB， 可判断错误； 连接 OA、OB、OE，求出AOB，再由COD=COE+EOD=12(AOE+BOE)=1 2AOB，可判断正确； 【详解】解：PA、PB是O 的切线， PA=PB，故正确； PA、PB、CD 是O 的切线， CA=CE，DE=DB， PCD 的周长=PC+CE+DE+PD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PA=10，故错误； 连接 OA、OB、OE， AOB=180-APB=140 ， COD=COE+EOD=12(AOE+BOE)=1 2AOB=70，故正确 综上可得正确，共 2个 故选 B 【点睛】本题考查了切

12、线的性质定理，正确应用切线长定理是解题关键 3. 如图，已知 AB 是O的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与O相切于点 D，过点 B 作 PD 的垂线交PD 的延长线于点 C，若O的半径为 4，6BC ，则 PA的长为（ ） A. 4 B. 2 3 C. 3 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】连接 OD，由已知易得PODPBC，根据相似三角形对应边成比例可求得 PO的长，由PA=PO-AO 即可得. 【详解】连接 OD， PD与O相切于点 D，ODPD， PDO=90 ， BCP=90 ， PDO=PCB， P=P， PODPBC， PO：PB=OD：BC， 即

13、PO：（PO+4）=4：6， PO=8， PA=PO-OA=8-4=4， 故选 A. 【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，连接 OD构造相似三角形是解题的关键. 4. 如图，AC是O的直径，弦 BDAO于 E，连接 BC，过点 O作 OFBC于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF的长度是（ ） A. 3cm B. 6 cm C. 2.5cm D. 5 cm 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据垂径定理得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可 详解：连接 OB， AC是O的直径，弦 BDAO于 E，BD=8cm，AE

14、=2cm 在 RtOEB中，OE2+BE2=OB2，即 OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3， OB=3+2=5， EC=5+3=8 在 RtEBC 中，BC=2222484 5BEEC OFBC， OFC=CEB=90 C=C， OFCBEC， OFOCBEBC，即544 5OF， 解得：OF=5 故选 D 点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出 OE 的长 5. 如图，A、B、C、D为O 上的点，直线 BA与 DC相交于点 P，PA2，PCCD3，则 PB（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：PB，PD 是O割线，PAPB

15、=PCPD，PA=2，PC=CD=3， 2PB=36，解得：PB=9故选 D 考点：切割线定理 6. 已知等腰直角三角形外接圆半径为 5，则内切圆半径为（ ） A. 52+5 B. 1225 C. 525 D. 10210 【答案】C 【解析】 【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长 【详解】解：等腰直角三角形外接圆半径为 5， 此直角三角形的斜边长为 10，两条直角边分别为 52， 它的内切圆半径为：R=12(52+5210)=525； 故选 C. 【点睛】 要注意直角三角

16、形内切圆半径与外接圆半径的区别： 直角三角形的内切圆半径： r=12 (a+b-c)；(a、b为直角边，c为斜边).直角三角形的外接圆半径：R=12c. 7. 如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D，下列判断中错误的是（ ） A. ODDC B. ACBC C. ADBD D. 12AOCAOB 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可 【详解】解：AB是O的弦，半径 OCAB， 弧 AC=弧 BC，AD=BD，AOC=BOC=12AOB，B、C、D 正确，A不符合题意. 故选 A 【点睛】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆

17、心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键 8. 下列说法错误的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 圆内接四边形的外角等于它的内对角 C. 任意三角形都有一个外接圆 D. 正 n边形的中心角等于360n 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理、圆内接四边形的性质、三角形的外接圆和外心的概念和正多边形和圆的知识判断即可 【详解】解：平分弦的直径不一定垂直于弦，例如：两条不垂直的直径，故 A错误； 圆内接四边形的外角等于它的内对角，故 B 正确； 任意三角形都有一个外接圆，故 C 正确； 正 n边形的中心角等于360n，故 D 正确. 故选 A. 【点睛】本题考查的是垂径

18、定理、圆内接四边形的性质、三角形的外接圆和外心的概念和正多边形和圆，掌握各个定理、概念是解题的关键 9. 在网格（每个小正方形的边长均为 1）中选取 9 个格点（格线的交点称为格点） ，如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 4 个点在圆内，则 r 的取值范围为（ ） A. 2 217r B. 173 2r C. 3 25r D. 529r 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出各格点到点 A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】给各个点标上字母，如图所示 由勾股定理得： AB=2 2，17ACAD，3 2AE ，29AF ，5AGAMAN

19、3 25r时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 4 个点在圆内 故选 C 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及点与圆的位置关系，熟练掌握各个知识点是解题关键. 10. 已知O的半径为 5，点 P 在O外，则 OP 的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离 d，已知点 P 在圆外，则 dr. 解：当点 P 是O 外一点时，OP5cm，A、B、C 均不符. 故选 D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 二填空题（共二填空题（共 1010

20、小题，满分小题，满分 3030 分，每小题分，每小题 3 3 分）分） 11. 如图，点 P 为ABC的内心，延长 AP 交ABC的外接圆O于 D，过 D作 DEBC，交 AC 的延长线于 E 点则直线 DE 与O 的位置关系是_；若 AB4，AD6，CE3，则 DE_ 【答案】 . 相切 . 3 3 【解析】 【分析】连接 OD，根据内心的性质得到BAD=DAE，再根据圆周角的推论得到DBDC，利用垂径定理得到 ODBC，而 DEBC，即可得到 ODDE； 连接 BD，DC，由 BCDE，得到E=ACB，BCD=CDE，根据同弧所对的圆周角相等得到ACB=ADB，BCD=BAD，因此E=AD

21、B，CDE=BAD，得到CDEBAD，则EDCECDADBDAB，而 AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，先计算出 CD，再计算出 DE 【详解】解：连 OD，如图， 点 P 为ABC的内心， BAD=DAE， DBDC， ODBC， 而 DEBC， ODDE， DE是O的切线； 连 BD，DC，如图， 则 BD=CD， BCDE， E=ACB，BCD=CDE， 而ACB=ADB，BCD=BAD， E=ADB，CDE=BAD， CDEBAD， EDCECDADBDAB 而 AB=4，AD=6，CE=3，BD=CD， ED364CDCD， CD=23，则 DE=33 故答案为相切；33 【

22、点睛】本题考查了圆的切线的判定方法：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线也考查了平行线的性质和圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质 12. 如图，ABC 内接于O，BAC30 ，BC2，则O的直径等于_ 【答案】4 【解析】 【分析】首先作O的直径 CD，连接 BD，可得CBD=90，然后由直角三角形的性质，即可求得答案 【详解】解：作O的直径 CD，连接 BD， CBD=90 ， D=BAC=30 ，BC=2， CD=2BC=4， 即O的直径为 4 故答案为 4. 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 13.

23、 .如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角ACB=120 ， 则此圆锥高 OC 的长度是_ 【答案】42 【解析】 【分析】 先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA， 最后用勾股定理即可得出结论 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r， AC=6，ACB=120 ， 1206180l=2r， r=2，即：OA=2， 在 RtAOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC=22ACOA=42， 故答案为 42 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA的长是解本题的关键 14. 如图，BD是O的直径，CBD30，则A

24、 的度数为_ 【答案】60 【解析】 【详解】解：BD是O的直径， BCD=90 （直径所对的圆周角是直角） ， CBD=30 ， D=60 （直角三角形的两个锐角互余） ， A=D=60 （同弧所对的圆周角相等） ； 故答案是：60 15. 一个棱柱有 16 个顶点，所有侧棱长的和是 64cm，则每条侧棱长是_ 【答案】8cm 【解析】 【分析】根据顶点个数可知该棱柱的名称，然后可求得侧棱的条数，从而可求得每条侧棱的长度 【详解】解：一个棱柱有 16 个顶点， 该棱柱是八棱柱， 它的每条侧棱长=64 8=8cm 故答案为 8cm 【点睛】本题考查了八棱柱的特征熟记八棱柱的特征是解决此类问题的

25、关键 16. 如图，O的半径为 5，弦 AB8，动点 M在弦 AB 上运动（可运动至 A和 B） ，设 OMx，则 x 的取值范围是_ 【答案】35x 【解析】 【分析】当 M与 A 或 B重合时，OM 最长，当 OM垂直于 AB时，OM最短，即可求出 x 的范围 【详解】解：当 M与 A（B）重合时，OM=x=5； 当 OM 垂直于 AB时，可得出 M为 AB的中点，连接 OA， 8AB ， 4AM ， 在 RtAOM中， OA=5， 4AM ， 根据勾股定理得：223OMAOAM=-= ， 则 x的范围为35x 故答案为35x 【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理以及

26、动点问题是解题的关键 17. 设正 n边形的半径为 R，边心距为 r，如果我们将Rr的值称为正 n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是_（结果保留根号） 【答案】2 33 【解析】 【分析】求出正六边形的边心距(用 R表示)，根据“接近度”的定义即可解决问题 【详解】解：正六边形的半径为 R， 边心距 r=32R， 正六边形的“接近度”=Rr=R3R2=2 33. 故答案为：2 33. 【点睛】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高 h=32a(a 是等边三角形的边长)，理解题意是解题的关键，属于中考常考题型 18. 如图O的半径为1cm， 弦AB、 CD的

27、长度分别为2,1cm cm， 则弦AC、 BD所夹的锐角_ 【答案】75 【解析】 【详解】根据勾股定理的逆定理可证 AOB 是等腰直角三角形，故可求OAB=OBA=45，又由已知可证 COD 是等边三角形，所以ODC=OCD=60，根据圆周角的性质可证CDB=CAB，而ODB=OBD，所以CAB+OBD=CDB+ODB=ODC=60，再根据三角形的内角和定理可求 解：连接 OA、OB、OC、OD， OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1， OA2+OB2=AB2， AOB 是等腰直角三角形， COD 是等边三角形， OAB=OBA=45，ODC=OCD=60， CDB=CAB，ODB=

28、OBD， =180-CAB-OBA-OBD=180-OBA-（CDB+ODB）=180-45-60=75 19. 如图，O中弦 AB，CD 相交于点 P，已知 AP3，BP2，CP1，则 DP_ 【答案】6 【解析】 【分析】连接 BC、AD，利用同弧所对的圆周角相等，得出BCPDAP，利用相似三角形对应边成比例，求出 DP. 详解】解：连接 BC、AD， B=D，C=A， BCPDAP， BPCPDPAP， AP=3，BP=2，CP=1， 213DP， DP=6. 故答案为 6 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等和相似三角形的判定与性质，属于基础题 20. “圆材埋壁”是我国古代数学

29、名著 九章算术 中的一个问题:“今有圆材， 埋在壁中， 不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，1AE 寸，10CD寸.则直径AB的长为_寸. 【答案】26 【解析】 【分析】连接 OC设圆的半径是 x尺，在直角OCE中，OC=x，OE=x-1，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径 AB的长 【详解】解：连接 OC，如下图所示： 设圆的半径是 x 寸，在直角OCE中，OC=x，OE=OA-AE=x-1， OC2=OE2+CE2， 则 x2=(x-1)2+25， 解得：x=13 则 AB=2 13=26(

30、寸) 故答案为：26. 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解决此类题的关键 三解答题（共三解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 6060 分，每小题分，每小题 1010 分）分） 21. 如图，点 D 在O的直径 AB 的延长线上，点 C在O 上，ACCD，D30 ， （1）请判断 CD是否O的切线？并说明理由； （2）若O 的半径为 6，求弧 AC 的长 （结果保留 ） 【答案】（1）CD是O的切线； （2）4 【解析】 【分析】(1)CD 是O的切线，连接 OC，证明 OCDC 即可； (2)根据已知条件求出COA的度数，再用弧长公式即可求出弧 AC的长 【详解】(

31、1)证明：连接 OC， ACCD， DA30 ， OCOA， AOCA30 ， COD60 ， DCO90 ， OCDC， CD 是O的切线； (2)解：COD60 ， COA180 60 120 ， 弧 AC的长为：12064180180n r 故答案为(1)CD 是O的切线；(2)4 【点睛】本题考查了切线判定、弧长的计算，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是弧长公式 l=180n r. 22. 如图，在 RtABC 中，90C，AD平分BAC，交 BC于点 D，点 O在 AB上，O 经过 A、D两点，交 AC于点 E，交 AB于点 F （1）求证：BC是O切线； （2）若O半径是 2cm，

32、E 是弧 AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留 和根号） 【答案】 （1）证明见解析 （2）233 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，只要证明 ODAC即可解决问题； （2）连接 OE，OE交 AD于 K只要证明AOE 是等边三角形即可解决问题 【详解】 （1）连接 OD OA=OD，OAD=ODA OAD=DAC，ODA=DAC，ODAC，ODB=C=90，ODBC，BC是O的切线 （2）连接 OE，OE交 AD于 K AEDE，OEAD OAK=EAK，AK=AK，AKO=AKE=90，AKOAKE，AO=AE=OE，AOE 是等边三角形，AOE=60，S阴=S扇形OAESAOE2

33、6023360422233 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 23. 如图，Rt ABC中，ABC为直角，以 AB 为直径作O交 AC 于点 D，点 E为 BC中点，连结 DE，DB （1）求证：DE与O相切； （2）若C30，求BOD 的度数； （3）在（2）的条件下，若O半径为 2，求阴影部分面积 【答案】 （1）证明见解析； （2）BOD120； （3）S阴影部分44 33 【解析】 【详解】试题分析：(1)、连接 OD，根据直径得

34、出BDC=90，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BDE=DBE，根据 OD=OB 得出ODB=OBD，从而得出ODE 为直角，得出切线；(2)、根据直角三角形的性质得出DEB=60，根据四边形 OBED 的内角和得出BOD 的度数；(3)、根据阴影部分的面积等于四边形OBED 的面积减去扇形 OBD 的面积得出答案. 试题解析： （1）连结OD，AB为O为直径 ADB90则BDC90， 又E是斜边BC的中点 DEBECE， BDEDBE ODOB，ODBOBD ODEODBBDEOBDDBEABC90 即DE与O相切 （2）若C30而DECE DEB60 在四边形OBED中， 则BOD36

35、0909060120 （3）连结OE，则OEDOEB30 ODOB2 DEBE2 S阴影部分S四边形OBEDS扇形OBDSOBESODES扇形OBD 224 24. 如图，AD是O的切线，切点为 A，AB是O的弦，过点 B 作 BCAD，交O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CDAB， 交 AD于点 D， 连接 AO 并延长交 BC于点 M， 交过点 C的直线于点 P， 且BCPACD （1）判断直线 PC 与O的位置关系，并说明理由 （2）若 AB56，BC10，求O的半径及 PC 的长 【答案】(1)PC与O 相切；(2)r35；PC152. 【解析】 【分析】 (1)过 C点作直径

36、CE， 连接 EB， 由 CE 为直径得E+BCE=90， 由 ABDC 得ACD=BAC，而BAC=E，BCP=ACD，所以E=BCP，于是BCP+BCE=90，然后根据切线的判断得到结论； (2)根据切线的性质得到 OAAD，而 BCAD，则 AMBC，根据垂径定理有 BM=CM=12BC=5，根据等腰三角形性质有 AC=AB=56，在 Rt AMC中根据勾股定理计算出 AM的长度，设O的半径为 r，则OC=r，OM=AM-r=55-r，在 Rt OCM 中，根据勾股定理计算出 r=35，由 CE=2r，利用中位线性质得BE 的长度，然后判断 Rt PCMRt CEB，根据相似比可计算出

37、PC 【详解】解：(1)PC与O相切，理由为： 过 C 点作直径 CE，连接 EB，如图， CE为直径， EBC90，即E+BCE90 ， ABDC， ACDBAC， BACE，BCPACD EBCP， BCP+BCE90，即PCE90 ， CEPC， PC 与O相切； (2)AD 是O的切线，切点为 A， OAAD， BCAD， AMBC， BMCM12BC5， ACAB56， 在 Rt AMC中，AM22ACCM55，设O的半径为 r，则 OCr，OMAMr55r， 在 Rt OCM 中，OM2+CM2OC2，即(55r)2+52r2， 解得：r35； CE2r65，OM55r25， BE

38、2OM45， EMCP， Rt PCMRt CEB， PCCECMEB， 即PC6 554 5， PC152 故答案为(1)PC与O 相切；(2)r35；PC152. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质 25. 已知 ABC中，AB=AC，以 AB为直径的O交 BC于点 D，交 AC于点 E (1)当BAC为锐角时，如图，求证：CBE=12BAC； (2)当BAC为钝角时， 如图，CA 的延长线与O相交于点 E，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由 【答案】 （1）

39、详见解析； （2）成立，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）连接 AD，根据直径所对的圆周角是直角，得 ADBC，又由 AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，得 AD平分BAC，结合圆周角定理，即可得BAC=2CBE； （2）连接 AD根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明BAC=2CBE 【详解】（1）证明：如图连结 AD AB是O的直径 ADBC AB=AC CAD= 12BAC, 又BEAC, CAD=CBE, CBE=12BAC; （2）解：成立，理由如下：如图连结 AD， AB是O的直径, ADBC, AB=AC, CAD=12BAC, CAD+EAD=180 ，

40、CBE+EAD=180 , CAD=CBE, CBE=12BAC. 【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用 26. 如图，在ABC中，ACB=90 ，O 是边 AC 上一点，以 O为圆心，以 OA为半径的圆分别交 AB、AC于点 E、D，在 BC 的延长线上取点 F，使得 BF=EF （1）判断直线 EF与O的位置关系，并说明理由； （2）若A=30 ，求证：DG=12DA； （3）若A=30 ，且图中阴影部分的面积等于 2233p-，求O的半径的长 【答案】（1）EF是O的切线，理由详见解析；（2）详

41、见解析；（3）O的半径的长为 2 【解析】 【分析】（1）连接 OE，根据等腰三角形的性质得到A=AEO，B=BEF，于是得到 OEG=90 ，即可得到结论； （2）根据含 30 的直角三角形的性质证明即可； （3）由 AD 是O的直径，得到AED=90 ，根据三角形的内角和得到EOD=60 ，求得 EGO=30 ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论 【详解】解： （1）连接 OE， OA=OE， A=AEO， BF=EF， B=BEF， ACB=90 ， A+B=90 ， AEO+BEF=90 ， OEG=90 ， EF是O的切线； （2）AED=90 ，A=30 ， ED=12AD， A+B=90 ， B=BEF=60 ， BEF+DEG=90 ， DEG=30 ， ADE+A=90 ， ADE=60 ， ADE=EGD+DEG， DGE=30 ， DEG=DGE， DG=DE， DG=12DA； （3）AD 是O的直径， AED=90 ， A=30 ， EOD=60 ， EGO=30 ， 阴影部分的面积2160 232 3.23603rrr 解得：r2=4，即 r=2， 即O的半径的长为 2 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键