江苏省扬州市邗江区2021年九年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省扬州市邗江区2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1. 一元二次方程x2+2x0的根是()A. x10，x22B. x11，x22C. x11，x22D. x10，x222. 若x=2是关于x一元二次方程x2-mx+8=0的一个解则m的值是( )A 6B. 5C. 2D. -63. 已知O的半径为5cm，点O到同一平面内直线l的距离为6cm，则直线l与O的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断4. 如图，A、B、C在O上，A50，则OBC的度数是（ ）A. 50B. 40C. 100D. 805. “杂交水稻之父”袁

2、隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（）A. B. C. D. 6. 若，则关于x的一元二次方程必有一根为（）A. B. C. D. 或7. 如图，为O的直径，弦于点E，直线l切O于点C，延长交l于点F，若，则的长度为（）A. 2B. C. D. 48. 如图，是O的直径，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：至少存在一点，使得；若，则；不是直角；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本

3、大题共10小题，每小题3分，共30分）9. 若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_10. 写一个一元二次方程并且两根分别是2和3，则这个一元二次方程的一般形式是_11. 在中，直径，弦于，则弦长为_12. 如图、是圆的切线，切点分别为、，若，则的长是_13. 某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为_14. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P若，的半径为，则图中的长为_（结果保留）15. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程

4、的两个根，则的值为_16. 若一元二次方程ax2b=0（ab0）的两个根分别是m+1与2m4，则=_17. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与A相切于点B若APB30，则点P的坐标为 _18. 如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为O上一动点，CFAE于F，当点E在O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为_三、解答题（本大题共10小题，共96分）19. 解下列方程： （1）x（x+4）=3（x+4）； （2）（2x+1）（x3）=620. 如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求

5、证：CDCE21. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根22. 在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（3，1），C（3，1），D（2，2），E（0，3）（1）画出ABC的外接圆P，写出点P的坐标并指出点D、点E与P的位置关系；（2）若在x轴上有一点F，且AFB=ACB，则点F的坐标为 23. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？24. 如图，是的内切圆，切点分别为D、E、F，（1）

6、求度数（2）求的度数25. 如图，C是的直径BA延长线上一点，点D在上，求证：直线CD与相切若，求图中阴影部分的面积26. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，今年“双11”活动期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由27. 我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都

7、有a20成立，所以，当a=0时，a2有最小值0【应用】：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=_；（2）代数式m2+3的最小值是_；【探究】：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9=n2+4n+4+5=（n+2）2+5当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值【拓展】：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围28. 如图1，在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s

8、的速度从点C向点B运动点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0t2），M是PQB的外接圆（1）当t1时，M半径是 cm，M与直线CD的位置关系是 ；（2）在点P从点A向点B运动过程中圆心M的运动路径长是 cm；当M与直线AD相切时，求t的值（3）连接PD，交M于点N，如图2，当APDNBQ时，求t的值江苏省扬州市邗江区2021-2022学年九年级上期中数学试题一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1. 一元二次方程x2+2x0的根是()A. x10，x22B. x11，x22C. x11，x22D. x10，x22【答案】A【解析】【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可【详解】方程整

9、理得：x(x+2)=0，解得：x1=0,x2=2.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解的概念进行解答.2. 若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解则m的值是( )A. 6B. 5C. 2D. -6【答案】A【解析】【详解】解：将x=2代入x2-mx+8=0可得：4-2m+8=0，解得：m=6，故选A3. 已知O的半径为5cm，点O到同一平面内直线l的距离为6cm，则直线l与O的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法判断【答案】C【解析】【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若dr，则直线与圆相离，从而得出答

10、案【详解】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，d=6，r=5，dr，直线l与圆相离故选C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系的判断方法.4. 如图，A、B、C在O上，A50，则OBC的度数是（ ）A. 50B. 40C. 100D. 80【答案】B【解析】【分析】根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半求出BOC的度数，再根据圆的半径相等得到等腰三角形的两底角相等即可求解.【详解】A和BOC是 分别所对的圆周角和圆心角，A=BOC，A=50，BOC=100，OB=OC，OBC=OCB= ，故选B【点睛】本题主要考查圆周角定理，明确一条弧所对的圆周角和圆

11、心角的数量关系是解答此题的关键.5. “杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意及一元二次方程增长率问题可直接进行排除选项【详解】解：由题意得：；故选D【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程方程的应用是解题的关键6. 若，则关于x的一元二次方程必有一根为（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】根据ax2+bx+c=0，若a-b+c=0，可判断

12、当x=-1时满足条件，于是判断出方程的根【详解】ax2+bx+c=0，若ab+c=0，当x=1时，ab+c=0，此方程必有一个根为1，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念.7. 如图，为O的直径，弦于点E，直线l切O于点C，延长交l于点F，若，则的长度为（）A. 2B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到COD=2ABC=45，则OED是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到BCCF，得到OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=【详解】解：BC为O的直径，弦ADBC于点E， AE=DE

13、=2， COD=2ABC=45， OED是等腰直角三角形， OE=ED=2， ， 直线l切O于点C， BCCF， OCF是等腰直角三角形， CF=OC， ， ， 故选：B【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键8. 如图，是O的直径，点是上一个动点（点不与点，重合），在点运动的过程中，有如下四个结论：至少存在一点，使得；若，则；不是直角；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90，弧，弦，圆心角的关系，以及圆

14、的半径相等，即可得出【详解】因为直径是圆中最长的弦,故错误，若 则 PB2PA ，故错误， 因为直径所对的圆周角是90，APB=90，所以PAB不可能是90，故正确， 连接PA，PO，如图POB=PAO+APO又PAO=APOPOB=2OPA 故正确，故选：B【点睛】本题考查了与圆有关的性质，圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，解题的关键是掌握圆的有关的性质，直径，半径，圆周角，圆心角，弧，等知识是解题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）9. 若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等的实数根，则m的取值

15、范围为_【答案】m0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0时，一元二次方程没有实数根.10. 写一个一元二次方程并且两根分别是2和3，则这个一元二次方程的一般形式是_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可得出结论【详解】解：一元二次方程的两个根是2和3，x1+x2=5x1x2=6这个方程为：x25x+6=0故答案为:【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键11. 在中，直径，弦于，则弦的长为_【答案】2【解析】【分析】连接，利用勾股定理求出CP，根据垂径定理即可求出

16、答案【详解】解：连接，在中，直径，弦于，故答案为：2【点睛】此题考查圆的半径相等的性质，垂径定理，勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键12. 如图、是圆的切线，切点分别为、，若，则的长是_【答案】3【解析】【分析】根据切线长定理得到ACAP，BPBD2，然后求出AP即可【详解】解：AB、AC、BD是圆O的切线，ACAP，BPBD2，APABBP523，AC3故答案为3【点睛】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理，得出线段的等量关系13. 某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为_【答案】10【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式：

17、侧即可求得【详解】侧故答案为10【点睛】根本考查了圆锥的侧面积公式：侧，理解和牢记公式是解题的关键14. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P若，的半径为，则图中的长为_（结果保留）【答案】【解析】【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案【详解】连接OC、OD，分别与相切于点C，D， ，的长=（cm），故答案为：【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键15. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方

18、程的两个根，则的值为_【答案】8或9【解析】【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，因此有，解得，则方程为，解得另一个根为，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，因此，根的判别式，解得，则方程为，解得方程的根为，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；综上，的值为8或9，故答案为：8或9【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判

19、别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理16. 若一元二次方程ax2b=0（ab0）的两个根分别是m+1与2m4，则=_【答案】4【解析】【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，则有，然后两边平方即可得出答案【详解】解：，即，一元二次方程的两个根分别是与，解得：，方程的根是：，故答案为：4【点睛】题目主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题关键17. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与A相

20、切于点B若APB30，则点P的坐标为 _【答案】【解析】【分析】连接AB，作ADx轴，ACy轴，根据题意和30直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标【详解】如下图所示，连接AB，作ADx轴，ACy轴，PB与A相切于点BABPB，APB30，ABPB，PA=2AB=四边形ACOD是矩形，点A的坐标为（8，5），所以AC=OD=8，CO=AD=5，在中，如图，当点P在C点上方时，点P的坐标为【点睛】此题考查了勾股定理，30角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线18. 如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x

21、轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为O上一动点，CFAE于F，当点E在O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为_【答案】【解析】【分析】作于，连接因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题【详解】解：作于，连接，在中，点在以为直径的上，当点在的延长线上时，的长最小，最小值故答案为【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题三、解答题（本大题共10小题，共96分）19. 解下列方程： （1）x（x+4）=3（x+4）； （2）（2x+1）（x3）=6【答案】（

22、1）x1=4，x2=3;(2) x1=，x2=1.【解析】【详解】试题分析：（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可试题解析：解：（1）x（x+4）=3（x+4），x（x+4）+3（x+4）=0，（x+4）（x+3）=0，x+4=0，x+3=0，x1=4，x2=3；（2）（2x+1）（x3）=6，整理得：2x25x+3=0，（2x3）（x1）=0，2x3=0，x1=0，x1=，x2=120. 如图：，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CDCE【答案】详见解析【解析】【分析】利用圆的性质：同弧所对的圆

23、心角相等可得AOCBOC，进而证得CODCOE，即可证得CD=CE【详解】证明：连接OC在O中，AOCBOC，OAOB，D、E分别是半径OA和OB的中点，ODOE，OCOC（公共边），CODCOE（SAS），CDCE（全等三角形的对应边相等）【点睛】本题考查了圆的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握圆的性质是解答的关键21. 已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，当m为取值范围内的最小整数时，求此方程的根【答案】（1）见解析；（2）x1=x2=1【解析】【分析】（1）根据方程的判别式解答即可；（2）根据题意得到x=1和x=m+2是原方程的

24、根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值，然后再求出此方程的根【详解】（1）证明：依题意，得=-（m+3）2-4（m+2）=m2+6m+9-4m-8=（m+1）2（m+1）20，0方程总有两个实数根（2）解：解方程，得=1，=m+2，方程的两个实数根都是正整数，m+21m-1m的最小值为-1，当m=-1时，=m+2=-1+2=1，方程的根为：x1=x2=1【点睛】本题考查了根判别式及求解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键22. 在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（3，1），C（3，1），D（2，2），E（0，3）（1）画出ABC的外接圆P，写出点P的坐标

25、并指出点D、点E与P的位置关系；（2）若在x轴上有一点F，且AFB=ACB，则点F的坐标为 【答案】（1）图见解析，P（-1，0），点D在圆上，点E在圆外；（2）或【解析】【分析】（1）在直角坐标系内描出各点，可通过勾股定理两点距离公式计算AB，BC，AC得出三角形ABC为直角三角形，以AB中点P（-1，0）为圆心，PA为半径画出ABC的外接圆，根据勾股定理可判断点D在P上，点E在P外即可；（2）根据ACB=90，AB为P的直径，可得P与x轴的交点为点F，设出点F（m，0），求出AF与BF，利用勾股定理建立一元二次方程，解方程即可【详解】解：（1）A（1，1），B（3，1），C（3，1），AB

26、=，AC=4，BC=2，AC2+BC2=16+4=20=AB2，ABC为直角三角形，以AB中点P（-1,0）为圆心，以AP=为半径画圆，如图所示：D（2，2），E（0，3），DP=，点D在P上；EP=，点E在P外，（2）ACB=90，AB为直径，P与x轴的交点为F，设点F（m，0）FB2+FA2=AB2，AF=，BF=，整理得，解得，点F坐标为或故答案为或【点睛】本题考查是点与圆的位置关系，勾股定理，画三角形外接圆，利用直径所对圆周角为直角，结合勾股定理建立一元二次方程是解题关键23. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，

27、求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】【详解】解：设AB长度为x米，则BC的长度为（1004x）米 根据题意得 （1004x）x=400，解得 x1=20，x2=5 则1004x=20或1004x=80 8025， x2=5舍去 即AB=20，BC=20故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米24. 如图，是的内切圆，切点分别为D、E、F，（1）求的度数（2）求的度数【答案】（1）115；（2）65【解析】【分析】（1）由题意可知BO，CO分别是ABC和ACB的角平分线，则OBC和OCB的度数可求出，进而可求出BOC的度数；（2）连接OE

28、，OF由三角形内角和定理可求得A=50，由切线的性质可知：OFA=90，OEA=90，从而得到A+EOF=180，故可求得EOF=130，即可解决问题【详解】解：（1）O是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，BO，CO分别是ABC和ACB的角平分线，OBC=ABC=30，OCB=ACB=35，BOC=180-30-35=115；（2）如图所示；连接OE，OFABC=60，ACB=70，BAC=180-60-70=50AB是圆O的切线，OFA=90同理OEA=90BAC+EOF=180EOF=130，EDF=EOF=65【点睛】本题考查了切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得EO

29、F的度数是解题的关键25. 如图，C是的直径BA延长线上一点，点D在上，求证：直线CD与相切若，求图中阴影部分的面积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）CD所在的直线与圆O相切，理由为：连接OD，设，再由OB=OD，得到，再由，得到，得到即CD垂直于半径OD，可得出CD所在的直线为圆O的切线；（2）由CD为圆O的切线，得到三角形CDO为直角三角形，根据AC及OA的长，利用勾股定理求出CD的长，进而由直角边CD与DO乘积的一半求出直角三角形CDO的面积，再由DO为CO的一半求出C=30，进而得出COD=60，利用扇形的面积公式求出扇形AOD的面积，由直角三角形CDO的面积-扇形AO

30、D的面积，即可求出阴影部分的面积【详解】（1）连接，设，在中，即与相切（2）由（）证得，得CDO=90，在中，则，易得，.【点睛】考查切线的判定, 扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.26. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，今年“双11”活动期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗

31、？请说明理由【答案】（1）（20+2x），（40-x）；（2）20元或10元；（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可；（2）根据：总利润=每件利润销售数量，列方程求解可得；（3）根据总利润=每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式0可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利2000元【详解】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40-x元，故答案为：（20+2x），（40-x）；（2）根据题意，得：（20+2x）（40-x）=1200解得：x1=20，x2=10

32、答：每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不能，理由如下：（20+2x）（40-x）=2000，整理得：x2-30x+600=0=（-30）2-41600=-15000，该方程无解，不可能每天盈利2000元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键27. 我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数a，都有a20成立，所以，当a=0时，a2有最小值0【应用】：（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=_；（2）代数式m2+3的最小值是_；【探究】：求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的：n2+4n+9=n2+4n

33、+4+5=（n+2）2+5当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5请你参照小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值【拓展】：（3）代数式m2+n2-8m+2n+17=0，求m+n的值（4）若y=-4t2+12t+6，直接写出y的取值范围【答案】（1）1；（2）3；（3）3；（4）y15.【解析】【分析】（1）由（x-1）20可得x=1时，取得最小值0；（2）由m20知m2+33可得答案；（3）将方程变形为（m-4）2+（n+1）2=0，由非负数性质求得m、n的值即可得；（4）由y=-4t2+12t+6=-4（t-）2+15知-4（t-）2+1515，从而得出答案

34、【详解】（1）代数式（x-1）2有最小值时，x=1，故答案为1；（2）代数式m2+3的最小值是在m=0时，最小值为3，故答案为3（3）m2+n2-8m+2n+17=0，（m-4）2+（n+1）2=0，则m=4、n=-1，m+n=3；（4）y=-4t2+12t+6=-4（t2-3t）+6=-4（t2-3t+-）+6=-4（t-）2+15，（t-）20，-4（t-）20，则-4（t-）2+1515，即y15【点睛】此题考查配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答28. 如图1，在矩形ABCD中，AB6cm，BC8cm，点P以3cm/s的速度从点A

35、向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0t2），M是PQB的外接圆（1）当t1时，M的半径是 cm，M与直线CD的位置关系是 ；（2）在点P从点A向点B运动过程中圆心M的运动路径长是 cm；当M与直线AD相切时，求t的值（3）连接PD，交M于点N，如图2，当APDNBQ时，求t的值【答案】（1），相离；（2）5；t；（3）t【解析】【分析】（1）首先作出辅助线，利用矩形性质得到PQ为的直径，再通过勾股定理即可求出的半径；然后利用中位线定理求出圆心到直线的距离，即可判断与与直线的关系.（2）首先得到圆心M的运动路径为,再根据勾股定理和矩形的性质即可求

36、出的长，利用直线与圆相切的性质将和用含有t的式子表示出来，再通过即可求解出t的值；（3）先作出辅助线，利用直角三角形的全等的判定定理HL证明，再根据勾股定理得到，即可求解出t的值【详解】解：（1）如图1，过M作于，交于，四边形ABCD是矩形，的直径是PQ，当t1时，AP3，AQ4，AB6，BC8，PB633，BQ844，PQ5，的半径为，M是PQ的中点，PNBN，MN是的中位线，M与直线CD的位置关系是相离；故答案为：，相离；（2）如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，圆心M在对角线BD上，由图可知：P和Q两点在t2时在点B重合，当t0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，故M运动路径为，由勾股定理得：，则圆心M的运动路径长是5cm；故答案为：5；如图3，当M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则，则BQ84t，PB63t，PQ105t，中，解得：；（3）如图4，过D作DGPQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，PDPD，（HL），解得：（舍），【点睛】本题主要考查三角形、矩形、圆的性质的综合应用，需要对于图形的几何关系熟练的掌握和应用，属于较难的综合类题型.