2022-2023学年人教版九年级上数学压轴题：圆的综合问题（含答案解析）

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1、圆的综合问题类型一、切线问题例如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，点F为OC与的交点(1)求证：CB是的切线；(2)连接DB与OC交于点G，求阴影部分面积【变式训练1】如图，AB是O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，BCPBAC，ACB的平分线交O于点D，交AB于点E，(1)求证：PC是O的切线；(2)若ACBC2时，求CD的长【变式训练2】如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，AD为的弦，连接BD，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M(1)求证：直线BD是的切线；(2)求线段BM的长【变式训练3】如图，在平行四边形中，是对角线，以点为圆心，以的长

2、为半径作，交边于点，交于点，连接(1)求证：与相切；(2)若，求的长【变式训练4】如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D(1)试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；(2)若，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积类型二、圆的面积问题例已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，（点，可以与，两点重合），弦(1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；(2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积；(3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB的距离的最小值是_；

3、直接写出点M的运动路径长_【变式训练1】如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D(1)求证：AD平分(2)若，求CE和DE的长【变式训练2】小颖复习尺规作图时，进行如下操作（如图）：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点O；作射线CO交AB于点D，且，以点O为圆心，OD为半径作，交AC于点E，交BC于点F，构成如图所示的阴影部分(1)

4、求证：是等腰直角三角形；(2)若，求图中阴影部分的面积【变式训练3】如图，是的直径，点C在上，点D是的中点，连结，交于点E，连结(1) 求的度数(2)求证：(3)若，求的面积圆的综合问题类型一、切线问题例如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，点F为OC与的交点(1)求证：CB是的切线；(2)连接DB与OC交于点G，求阴影部分面积【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)连接OD，则OD=OA，DAO=ADO，在COD和COB中，CBO=CDO，CD是切线，ODCD，CBO=CDO=90，CB是的切线；(2)CD、CB都是圆O的切线，CD=CB，OC垂直平分DB，设

5、圆O的半径为r，则OD=r，OG=OF-FG=r-2，OD2=OG2+DG2，解得r=4，OG=2，ODG=30，COD=60，DOB=2COD=120，S四边形CDOB，S扇形DOB，S阴影= S四边形CDOB- S扇形DOB=【变式训练1】如图，AB是O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，BCPBAC，ACB的平分线交O于点D，交AB于点E，(1)求证：PC是O的切线；(2)若ACBC2时，求CD的长【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)连接OC，AB为直径，ACB=90，ACO+OCB=90，OA=OC，BAC=ACO，BCPBAC，BCP=ACOBCP +OCB=90，即OCP

6、=90，PC是O的切线；(2)连接BD，作，垂足为M，N，CD平分，四边形为矩形，矩形为正方形，【变式训练2】如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，AD为的弦，连接BD，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M(1)求证：直线BD是的切线；(2)求线段BM的长【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)证明：BOD=2BAD，又， ，即，又为的半径，直线BD是的切线；(2)解：如图，连接DM，RtBOD中，又，的直径，在RtBDE中，在RtBDM中，【变式训练3】如图，在平行四边形中，是对角线，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接(1)求证：与相切；(2)若，求的长【答案】

7、(1)见解析；(2)【解析】(1)解：连接AE，平行四边形，在和中，AE是的半径，与相切；(2)连接EF，作EGAC，由（1）可知，又，是等边三角形，EGAC，在中，【变式训练4】如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D(1)试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；(2)若，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积【答案】(1)与相切，理由见解析(2)【解析】(1)解：直线BC与O相切理由是：如图，过点O作OEBC，垂足为点EO与边AB相切于点D，ODABODA=OEC=90，四边形ABCO是菱形，A=C，OA=OC，OADOCE（AAS），OD=OE

8、，OE是O的半径直线BC与O相切(2)解：如图：标出四边形与圆的交点，由已知可得，在RtOAD中，OA=AB=2，AD=，由勾股定理可得OD=，AD=，AOD=30，A=60，AOC=120，阴影部分的面积=类型二、圆的面积问题例已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，（点，可以与，两点重合），弦(1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；(2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积；(3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB的距离的最小值是_；直接写出点M的运动路径长_【答案】(1)；(2)；(

9、3)，【解析】(1)证明：，CAD=DBC，DAB=CBA，AC=BD，CAD+DAB=DBC+CBA，即CAB=DBA，在CAB和DBA中，CABDBA（SAS）；DAB=CBA，DAB=DCB，CBA=CDA，CDA=DCB，在CAD和DBC中，CADDBC（AAS）；(2)解：过作于，如图：半圆O中，直径，；答：阴影部分面积是；(3)，解：连接OC、OD、OM，过M作MEAB于E，如图：直径AB=6，弦CD=3，OC=OD=CD=3，COD是等边三角形，M是CD的中点，CM =，OMCD，OM=，ME=， 当OE最大时，ME最小，而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图：COD是

10、等边三角形，M是CD的中点，MOC=30，ME= ，即点M到AB的距离的最小值是，故答案为：；如图，由知：OM，M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧，当C与A重合时，AOM=30，同理，当D与B重合时，BOM =30，MOM =120，点M的运动路径长为，故答案为：【变式训练1】如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D(1)求证：AD平分(2)若，求CE和DE的长【答案】(1)见解析；(2)，【解析】(1)证明：如图，连接ODED与相切于点D，即AD平分(2)如图，连接BC交OD于点GAB为的直径，又，G为BC的中点，点O点G分别为AB、BC的中点，四边形CEDG是矩

11、形，【变式训练2】小颖复习尺规作图时，进行如下操作（如图）：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点O；作射线CO交AB于点D，且，以点O为圆心，OD为半径作，交AC于点E，交BC于点F，构成如图所示的阴影部分(1)求证：是等腰直角三角形；(2)若，求图中阴影部分的面积【答案】(1)证明过程见解析；(2)【解析】(1)证明：由题意尺规作图知，、分别是和的角平分线，点

12、是的内心，平分，在和中，是等腰三角形，又，是等腰直角三角形(2)连接，如图所示，由（1）得点是的内心，且，是的半径，为的内切圆，均与相切，且，四边形是正方形，设得半径为，由（1）知是等腰直角三角形，解得，又，图中阴影部分的面积为【变式训练3】如图，是的直径，点C在上，点D是的中点，连结，交于点E，连结(1)求的度数(2)求证：(3)若，求的面积【答案】(1)22.5；(2)证明见解析；(3)【解析】(1)解：如下图所示，连接OD，OCABBOC=90点D是的中点，OA=OB，OC垂直平分ABAE=BEEBA=EAB=22.5(2)证明：AB是的直径，ADB=90EAB=22.5，DBA=180-ADB-EAB=67.5EBA=22.5，DBE=DBA-EBA=45DEB=180-ADB-DBE=45DBE=DEBBD=DE(3)解：DE=1，BD=DE=1