2022-2023学年人教版九年级上数学压轴题：与圆有关的最值问题（含答案解析）

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1、与圆有关的最值问题隐圆模型汇总 固定线段AB所对同侧动角P=C，则A、B、C、P四点共圆 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 固定线段AB所对动角C恒为90，则A、B、C三点共圆，AB为直径例1如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（）A2BC3D例2如图，中，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（）AB2CD【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BECP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（）A2B3CD【变式训练2

2、】如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EFBP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是_【变式训练3】如图，ABC中，ABC45，BCA75，BC62，点P是BC上一动点，PDAC于D，PEAB于E，在点P的运动过程中，线段DE的最小值为（）A33BC46D2【变式训练4】如图，ABC为等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，点D为ABC所在平面内一点，BDC90，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为（）ABCD课后训练1如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为B

3、C上一动点，则PA+PG的最小值为（）A6B8C4D102如图，在矩形ABCD中，AB2，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（）ABCD13如图，在中，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（）A3B4C5D64如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（）ABCD25如图，D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是D上的任意一点，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关

4、于原点O对称，则AB的最大值为（）A14BCD6如图，的半径是6，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，垂足为点，连接，则的最小值是（）ABCD与圆有关的最值问题隐圆模型汇总 固定线段AB所对同侧动角P=C，则A、B、C、P四点共圆 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 固定线段AB所对动角C恒为90，则A、B、C三点共圆，AB为直径例1如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（）A2BC3D【答案】D【详解】解：如图所示，PEAC，是直角三角形，D为AP的中点，DE=AP

5、，当AP最小时，DE最小是等边三角形，1+PBC=60，1=2，2+PBC=60，BPC=180-(2+PBC)=120，点P在的外接圆的上，找出的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是，当时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，此时PFC=90，PBC=PCB=30，FC=BC=3，PF=FCtanPFC=3=，AF=3，AP的最小值=AF-PF=3-=2，DE的最小值=AP=2=故选：D例2如图，中，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（）AB2CD【答案】D【详解】，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， ，点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，当点O

6、、点P、点C三点共线时，PC最小在中，最小值为故选：D【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，BC=2，点P，Q均为AB边上的动点，BECP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（）A2B3CD【答案】D【详解】解：如图，BECP，点E在以BC为直径的圆上，作点E关于AB的对称点F，QE=QF，QD+QE= QD+QF，连接DF，当Q为DF与AB交点时，QD+QE最小作半圆与以BC为直径的半圆关于AB对称，连接DH，交半圆与，此时DFQD+QE,且为最小值，此时CD=2，BH=1，HC=3，在中，故选：D【变式训练2】如图，正方形ABCD的边长为8，P是边CD上的一动点，EFBP交BP于G，且EF

7、平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是_【答案】【详解】解：正方形ABCD中，BC=CD=8，连接BD，交EF于点O，如图所示：则，在中，由勾股定理，得：，EF平分正方形ABCD的面积，EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，,EFBP交BP于G，以OB为直径作，如上图，则点G在上，,连接CM，如上图，则点G在CM与的交点处时，CG的值最小，此时，,过点M 作MNBC于点N，如上图，则，在中，,在中，由勾股定理，得：，即的最小值是故答案为：【变式训练3】如图，ABC中，ABC45，BCA75，BC62，点P是BC上一动点，PDAC于D，PEAB于E，在点P的运动过程中，线段DE

8、的最小值为（）A33BC46D2【答案】B【详解】解：如下图所示，以AP为直径作，连接OD，过D作DMAP于MPDAC于D，PEAB于E，ADP90，AEP90ADP+AEP180A、D、P、E四点共圆，且直径为APABC45，BCA75，BAC60DE是中60圆周角所对的弦当直径最小时，DE取得最小值当APBC时，DE取得最小值ABC45，BAP=45APE=45，ABC=BAPBAP=APE，AP=BPAE=PEADE和APE都是所对的圆周角，ADEAPE45ADEABC45EADCAB，AEDACB设AE2x，则PE2xOAODx，BAC=60，BAP=45，DAPBACBAP15DOP

9、和DAP分别是所对的圆心角和圆周角，DOP2DAP30DMODAMOA+OMAD，DE线段DE的最小值为故选：B【变式训练4】如图，ABC为等腰直角三角形，BAC90，ABAC2，点D为ABC所在平面内一点，BDC90，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为（）ABCD【答案】A【详解】解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE， 四边形ACDE是平行四边形，AECD，ACED，EACCDE，BAC90，ABAC2，BDC90，EDABAC2，BAF+CAE90，CDE+EDF90，AFBCDBDFE90，BCAB2，BAFEDF，在AFB和DFE中，AFBDFE（AAS），BF

10、EF，BEF45，AEB135，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E，则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：CE即为CE的最小值，如图， AMB90，AMBM，AB2，MBA45，BMAB，MBC90，在RtMBC中，MC，CECMME即CE的最小值为故选：A课后训练1如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（）A6B8C4D10【答案】B【详解】解：EF=4，点G为EF的中点，DG=2，G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆

11、弧（一部分），作A关于BC的对称点，连接，交BC于P，当G点刚好在直线上时，此时PA+PG的值最小，最小值为的长；AB=4，AD=6，在Rt利用勾股定理有，PA+PG的最小值为8， 故选：B2如图，在矩形ABCD中，AB2，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（）ABCD1【答案】A【详解】解：点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动当F与D点重合时，如图，则G点运动的路径为AB2，点E为AB中点，矩形ABCD，将沿EF折叠，

12、故选：A3如图，在中，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（）A3B4C5D6【答案】C【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3，ACB=90，即在中，E是斜边AB上的中点，M是BD的中点，E是AB的中点，在中，即；当C、M、E三点共线时有或者；即，CM最小值为5，故选：C4如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（）ABCD2【答案】A【详解】解：如图，点C为坐标平面内一点，BC=2，C在B上，且半径为2，取OD=OA=3，连接CD，AM=CM，OD=OA

13、，OM是ACD的中位线，OM=CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，OB=3，OD=3，BOD=90，BD=，CD=，OM=CD=，即OM的最大值为；故选A5如图，D的半径为2，圆心D的坐标为（3，5），点C是D上的任意一点，且CA、CB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）A14BCD【答案】D【详解】解：如图：连接OC ，是直角三角形点A、点B关于原点O对称，AO=BOOC是RtABC的斜边上的中线， ， 故若要使AB最大，则OC需取最大值，连接OD并延长，交D于点C1，C2当点C位于点C2时，OC最长过点D作轴于点E点D(3，5)，DE=5，OE=3，在RtODE中，根据勾股定理得： ， 故AB的最大值为 ，故选：D6如图，的半径是6，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，垂足为点，连接，则的最小值是（）ABCD【答案】D【详解】解：设交于，连接、，过作于，连接，是等边三角形，由勾股定理得：，在中，的最小值是，故选D