2022-2023学年人教版九年级上数学压轴题：二次函数中的面积问题（含答案解析）

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1、二次函数中的面积问题类型一、面积最值问题例1已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过C（4，m）(1)求点A，B，C，D的坐标；(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值，连接BD，当PCBCBD时，求点P的坐标例2如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作于点，当的

2、周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点；(1)求出此抛物线的解析式；(2)如图1，在直线AC上方的抛物线上有一点M，求的最大值；(3)如图2，将线段OA绕x轴上的动点顺时针旋转90得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围；【变式训练2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E(1)求二次函数的解析式；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标类型二、面积定值问题例1.已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，

3、P是线段BC上一点，过点P作轴交x轴于点N，交抛物线于点M(1)求该抛物线的表达式；(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且和的面积相等，求点Q的坐标【变式训练1】如图，等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，直角边，分别在轴和轴上，点的坐标为，且平行于轴(1)求直线的解析式；(2)求过，两点的抛物线的解析式；(3)抛物线与轴的另一个交点为，试判定与的大小关系；(4)若点是抛物线上的动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标【变式训练2】如图，已知抛物线经过点，(1)求抛物线和直线的解析式；(2)点是直线上方抛物线上一动点当的面积最大时，直接写出点的坐标_；过点作轴交于点，是否存

4、在一点，使的面积最大？若存在，求出最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由二次函数中的面积问题类型一、面积最值问题例1已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过C（4，m）(1)求点A，B，C，D的坐标；(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值，连接BD，当PCBCBD时，求点P的坐标【答案】(1)A（-5，0），B（-1，0）；C（-4，-3）；D（-3，-4）(2)；（0，5）或（，）【解析】(1)解：抛

5、物线解析式为，抛物线顶点D的坐标为（-3，-4）；令y=0，则，解得或，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），点A的坐标为（-5，0），点B的坐标为（-1，0）；令，则，点C的坐标为（-4，-3）；(2)解：设直线BC的解析式为，直线BC的解析式为，过点P作PEx轴于E交BC于F，点P的横坐标为t，点P的坐标为（t，），点F的坐标为（t，t+1）， ，当时，PBC的面积最大，最大为；如图1所示，当点P在直线BC上方时，PCB=CBD，设直线BD的解析式为，直线BD的解析式为，可设直线PC的解析式为，直线PC的解析式为，联立得，解得或（舍去），点P的坐标为（0，5）；例2如图，直线与抛物线

6、相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积【答案】(1)；(2)存在或；(3)；【解析】(1)解：将代入中将、代入中解得：(2)设，则、令y=0代入中得，x=-2与x轴的交点坐标为：，如图：当时，则，解得：（舍去），当时，解得：（舍去），综上，或(3)由（2）知的周长当时，最大，如图2所示，当点P在直线BC下方时，设BD与PC交于

7、点M，点C坐标为（-4，-3），点B坐标为（-1，0），点D坐标为（-3，-4），,，BCD=90，BCM+DCM=90，CBD+CDB=90，CBD=PCB，MC=MB，MCD=MDC，MC=MD，MD=MB，M为BD的中点，点M的坐标为（-2，-2），设直线CP的解析式为，直线CP的解析式为，联立得，解得或（舍去），点P的坐标为（，）；综上所述，当PCBCBD时，点P的坐标为（0，5）或（，）；【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点；(1)求出此抛物线的解析式；(2)如图1，在直线AC上方的抛物线上有一点M，求的最大值；(3)如图2，将线段OA绕x轴上的动点顺时针旋转9

8、0得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围；【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)由题意，设抛物线的解析式为，把代入解析式解得：，所以，抛物线的解析式为；(2)如图1，过点作轴，交于点，设直线的解析式为，把，代入可得： ，解得：，直线的解析式为，设点坐标为，则点坐标为，又点在直线上方，当时，有最大值为2；(3)如图2，线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，由旋转性质可得：，当在抛物线上时，解得：，当点在抛物线上时，解得：或2， 或时，线段与抛物线只有一个公共点；【变式训练2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对

9、称轴与x轴交于点E(1)求二次函数的解析式；(2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标【答案】(1)；(2)S的最大值是，点P的坐标是【解析】(1)解：二次函数过，两点，设二次函数解析式为，二次函数过C点，解得a1，即二次函数解析式为；(2)解：设直线解析式为：ykxb，解得，直线的解析式为yx3，过点P作x轴的垂线交于点G，设点P的坐标为，则，点P在第三象限，当时，此时，点.即S的最大值是，此时点P的坐标是.类型二、面积定值问题例1.已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，P是线段BC上一点，过点P作轴交x轴于点N，交抛物线于点M(1)求该抛物线的表达

10、式；(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且和的面积相等，求点Q的坐标【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)（1+，1）【解析】(1)解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得：，解得：抛物线的表达式为y=-x2+2x+3(2)依照题意画出图形，如图所示设直线BC的表达式为y=kx+b（k0），将点C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b， 得：，解得：，直线BC的表达式为y=-x+3，P（2，1），M（2，3），SPCM=CMPM=2设QCM的边CM上的高为h，则SQCM=2h=2，h=2，Q点的纵坐标为1，-x2+2x+3=1，解得：x1=

11、1+，x2=1-（舍去），点Q的坐标为（1+，1）【变式训练1】如图，等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，直角边，分别在轴和轴上，点的坐标为，且平行于轴(1)求直线的解析式；(2)求过，两点的抛物线的解析式；(3)抛物线与轴的另一个交点为，试判定与的大小关系；(4)若点是抛物线上的动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(，)或(，)或(，)【解析】(1)解：点的坐标为，且平行于轴，点的坐标为且，是等腰直角三角形，点的坐标为，设直线的解析式为，由题意得 ，解得 ，直线的解析式为；(2)解：抛物线过，两点， ，解得 ，抛物线的解析式为；(3)解：抛物线的解析

12、式为，抛物线的对称轴直线为，点的坐标为，点与点D关于对称轴对称，点D的坐标为，点的坐标为， ，(4)解：点的坐标为，且平行于轴， ，当点M在直线AB的上方时，如图所示，过点M作轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(，)，则N的坐标为(，)， ，的面积与的面积相等，解得或（舍，该点为点C），此时M的坐标为(，)或(，)；当点M在直线AB的下方时，如图所示，过点M作轴，交直线AB于点N，设M的坐标为(，)，则N的坐标为(，)， ，的面积与的面积相等，解得此时M的坐标为(，)或(，)；综上可得，M的坐标为(，)或(，)或(，)【变式训练2】如图，已知抛物线经过点，(1)求抛物线和直线的解析式；(2)点

13、是直线上方抛物线上一动点当的面积最大时，直接写出点的坐标_；过点作轴交于点，是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)，；(2)；，(3)存在，或【解析】(1)解：点，在抛物线上解得：抛物线的解析式为：设直线AB的解析式为：，在直线AB上，解得：，直线的解析式为：(2)，时，最大为8，解：设P点的横坐标为m，点P在抛物线上，轴且N在直线AB上，时，取得最大为(3)或满足点Q到AB的距离等于点O到AB的距离过点O作，交抛物线于点和且直线AB的解析式为：，直线l经过点O的解析式为：解得：或即，