第1章一元二次方程 单元培优试卷（含答案）2022-2023学年苏科版九年级数学上册

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1、第1章 一元二次方程一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1方程x3+x10的实数根所在的范围是（）Ax0B0xCx1D1x2若a使得关于x的分式方程 有正整数解，且方程有解,则满足条件的所有整数a的个数为()A1B2C3D43P（xy）为第二象限上的点且x+y已知OP=1则的值为（）ABCD或4已知，是方程的两根，则代数式的值是（）ABCD5如图，直线与坐标轴交于两点，若将直线绕点逆时针旋转后交轴于点，则点到直线的距离是（）AB4CD6方程的解是（）A2或0B2或0C2D2或07如图，在ABC中，ABBE，BDBC，DEBE，设BEa，ABb，AEc，则以AD和AC的长为根的一

2、元二次方程是（）Ax22cx+b20Bx2cx+b20Cx22cx+b0Dx2cx+b08关于x的方程ax2+（a+2）x+9a0有两个不等的实数根x1，x2，且x11x2，那么a的取值范围是（）AaBaCaDa09若ab，且则的值为（）AB1C.4D310清代著名数学家梅文鼎在勾股举隅一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图）设四个全等直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，五边形的面积为，的面积为，若，则的值为A5B6C7D82、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11已知是方程的一个根，则_12已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则_，_13已

3、知实数， 满足等式，则的值是_14若关于x的一元二次方程(k-2)x2+4x=1总有两个不相等实数根，则k的取值范围是_15如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程的两个解（其中），点E在BC边上，连接AE，把沿AE折叠，点B落在点处.当为直角三角形时，则的长是_16已知，点为中点，若，则_17在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动 经过_秒P、Q两点之间的距离是5cm18如图，在平面直角坐标系中，点Q是一次函数的图象上一动点，将Q绕

4、点顺时针旋转到点P，连接，则的最小值_三、解答题（本大题共6小题，共60分）19（8分）解方程：(1)（公式法）(2)(3)20（8分）设关于x的方程x25xm2+1=0的两个实数根分别为、(1)证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)当|+|6时，试确定实数m的取值范围21（10分）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）两根，那么x1+x2，x1x2，这就是著名的韦达定理已知m，n是方程2x25x10的两根，不解方程计算：(1) ； (2) m-3n22（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=-x+3与直线CD：y=kx-2相交于点M（4，a

5、），分别交坐标轴于点A，B，C，D(1) 求a和k的值；(2) 如图，点P是直线CD上的一个动点，当PBM的面积为20时，求点P的坐标；(3) 直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BD为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标23（10分）某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元(1) 求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少；(2) 据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆B型车的月租金为每辆3000

6、元，因价格相对较低，每月均能全部租出租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？24（12分）阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，当且仅当时取等号请利用上述结论解决以下问题：(1)当时，的最小值为_(2)当时，求的最小值(3)请解答以下问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少

7、是多少米？参考答案1C【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围解：将代入方程得，x0，原方程可化为，当时，故选C【点拨】本题考查了高次方程根的估计方法两边除以x，得到降次的方程是本题的关键2D【分析】先解分式方程，求得a的值，再由方程有解得a的取值范围，则可求得a的值，可求得答案解：解分式方程可得x=4-，x2，a使得关于x的分式方程有正整数解，a的值为0、2、6，方程，当a=0时，方程有实数解，满足条件，当a0时，则有0，即16+8a0，解得a-2且a0，满足条件的a的值为-2，0、2、

8、6，共4个，故选：D【点拨】本题主要考查方程的解，求得a的整数值是解题的关键3C【分析】根据P（xy）为第二象限上的点，可知0，y0，根据OP=1，可知，则，根据x+y，可得，且xy进而可得，则，则，解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值解：P（xy）为第二象限上的点，x0，y0，OP=1，则，x+y，且xy，化简得：，则，解得：或（舍去），故选：C【点拨】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 4D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与

9、b3采用降次的方法即可求得结果的值解：a与b是方程的两根a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0a2=a+1，b2=b+1，同理：故选：D【点拨】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键5C【分析】过点C作于点D，为等腰直角三角形，,BC边用面积法推导，最后在中，利用勾股定理求解即可解：过点C作于点D，如下图：直线绕点逆时针旋转 在中， 又 在中： 设，则， 化简得： 解得:（舍），即：故选：C【点拨】本题考查勾股定理，等角对等边、一元二次方程的解法等知识点，根据相关内容列出等量关系是解题关键6B【分析】首先提公因式，再根

10、据平方差公式分解因式，即可得出结论解：，或或，故选：B【点拨】本题考查了高次方程，运用类比思想将高次方程转化为二次方程或一次方程是解题的关键7A【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程解：ABBE，BDBC，ABEDBC90，在RtABE中，a2+b2c2，DEBEa，EBDEDB，EBD+EBC90，EDB+C90，EBCC，CEBEa，ACAE+CEc+a，AD+ACca+c+a2c，ADAC（ca）（c+a）c2a2b2，以AD和AC的长

11、为根的一元二次方程可为x22cx+b20故选：A【点拨】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程8D【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围又存在x11x2，即（x1-1）（x2-1）0，x1x2-（x1+x2）+10，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围解：方程有两个不相等的实数根，则a0且0，由（a+2）2-4a9a=-35a2+4a+40，解得，又x11x2，x1-10，x2-10，那么（x1-1）（x2-1）0，x1x2-（x1+x2）+10，x1

12、x2=9，即，解得，综上所述，a的取值范围为：.故选D【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根根与系数的关系为：.9B解：由得：又由可以将a，b看做是方程 的两个根a+b=4，ab=1故答案为B.【点拨】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解10A【分析】根据全等三角形的性质得到，推出，三点共线，分别表示出五边形的面积，的面积,然后利用，列出方程即可求得结论 解：四个直角三角形全等，四边形是正方形，三点共线，五边形的面积为，的面

13、积为，（不合题意，舍去），故的值为5故选：【点拨】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键11【分析】由方程根的定义可得，变形为再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可解：是方程的一个根，即将等号两边同时乘得：，即故答案为：-2021【点拨】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键12 ； ；【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，据此求解即可解：，为有理数，也为有理数，故当时候，只有，故答案是：，；【点拨】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因

14、式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键13【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解解：实数， 满足等式，m，n是方程的两实数根，故答案为：【点拨】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键14k-2且k2【分析】根据根的判别式和一元一次方程的定义得出424(k-2)(-1)0且k20，求出k的取值即可解：关于x的一元二次方程(k-2)x2+4x=1有两个不相等的实数根，424(k-2)(-1)0且k20，解得：k-2且k2，故答案为：k-2且k2【点拨】

15、本题考查了根的判别式和一元一次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键15或2【分析】先求出AB与BC的长，当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连接AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得ABE=B=90，而当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，所以点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，则EB=EB，AB=AB=3，可计算出CB=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，然后在RtCEB中运用勾股定理可计算出x当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形解：，解得：，AB=3，BC=4，当

16、CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示图1连接AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B落在点B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2；当点B落在AD边上时，如答图2所示图2此时ABEB为正方形，BE=AB=3，CE=4-3=1，RtBCE中，综上所述，BC的长为或2故答案为：或2【点拨】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理注意本题有两种

17、情况，需要分类讨论，避免漏解16【分析】延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，则易得ABM是等腰三角形，且AB=AM=2AE，根据 得EFAM=BCAC ，可得AEEF=AC，平方得，分别在RtABC和R tAEF中，由勾股定理得： ， ，设，由此三式可得关于x一元二次方程，解方程即可求得x，从而可求得EF的长解：延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，如图ACB=ACM=90，AC=AC ，ACBACM(ASA)AB=AM，BC=MC E点是AB的中点AB=2AE，EFAM=BCAC即EFAM=BCAC 即AEEF=AC在RtABC和R tAEF中，由勾股定理得： ，设，则 即 解得：x=

18、4或x=9即AE=2或AE=3当AE=2时，由AF=1及EFAF，得AEF=30，则EAF=60，BAC=30；但此时AC=2，AB=2AE=4，由ACB=90，得ABC=30，则ACB=120，这与ABC为直角三角形矛盾AE=3故答案为：【点拨】本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，三角形中线平分三角形的面积等知识，用到了等积思想，方程思想，关键和难点是构造全等三角形17或【分析】设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，如图，过P点作，垂足为M点，得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解答即可解：设经过x秒P、Q两点之间的距离是5cm，如图，过P点

19、作，垂足为M点， ，四边形ABCD为矩形， 在直角三角形PQM中， 经过或秒P、Q两点之间的距离是5cm故答案为：或【点拨】本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定难度，根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键18【分析】取D(2，-2)，连接CD、DQ，作C点与点C关于直线对称，连接QC，则由题意可得OCPDCQ，CP=CQ=CQ，所以当且仅当C、Q、D共线时PO+PC=DQ+CQ=DQ+CQ=DC为最小解：如图，取D(2，-2)，则CDx轴，即CDOC且CD=OC=2，连结DQ，依题CQ顺时针旋转90得到CP，QCP=90且CQ=CP， 在OCP和DCQ中，

20、OCPDCQ(SAS)，OP=DQ，作C点与点C关于直线对称，则有CQ=CQ，CP=CQ=CQ，故PO+PC=DQ+CQ=DQ+CQDC，当且仅当C、Q、D共线时取等，由题意可以得到A、B坐标分别为（0，4）、（8，0）设C坐标为（x，y），则由AC=AC，BC=BC可得：解之可得C为（2，0）（与C同，舍去）或，DC=的最小值为故答案为【点拨】本题考查一次函数的综合应用，方程组思想，一元二次方程的解法，构造全等三角形与轴对称把PO+PC转化成DQ+CQ是解题关键19(1)；(2)；(3)x=-1【分析】（1）先化简一元二次方程为一般形式，根据公式计算即可；（2）利用提公因式法求方程的解；（3

21、）先去分母化为整式方程求解，再检验即可(1)解：整理得4x2-8x-1=0，a=4，b=-8，c=-1，=b2-4ac=，一元二次方程有两个不相等的实数根，；(2)3x（x-2）+2（x-2）=0（x-2）（3x+2）=0；(3)化为整式方程为（x+2）2-4=x2-4x2+4x+4-4=x2-44x=-4x=-1检验：当x=-1时，原分式方程的解为x=-1【点拨】此题考查了解一元二次方程及解分式方程，正确掌握各方程的解法是解题的关键20(1)见分析(2)m【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=（-5）2-4(m2+1)0，进而即可证出：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的

22、实数根；（2）由根与系数的关系列出不等式即可解出m的取值范围(1)证明：=（-5）2-4(m2+1)=4m2+210，无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)解：关于x的方程x25xm2+1=0的两个实数根分别为、，+=5，=1-m2，|+|6，2+2+2|36，即（+）2-2+2|3625-2（1-m2）+2|1-m2|36，当1-m20时，2536成立，-1m1当1-m20时，得25-4（1-m2）36，m由、得m【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，难度较大，关键是正确灵活运用根与系数的关系列出不等式21(1)10(2)或【分析】根据根与系数的关系即

23、可而得出m+n、mn（1）将m+n、mn代入+中即可求出结论；（2）将m+n、mn代入m-3n中变形，运用完全平方公式即可求出结论(1)解：m，n是方程2x25x10的两根，m+n，mn+10；(2)m-3nm-2n-nm-2n-(-m)2(m-n)- (m-n) 2(m+n) 2-4mn，m-n；m-n-；原式或【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，解决此类为题的关键是熟练掌握根与系数的关系，熟练运用完全平方公式22(1)a=1，k=；(2)点P（-4，-5）或P（12，7）；(3)点N的坐标为（2，-2）或（-2，-2）或（4，6）【分析】（1）将点M的坐标代人函数

24、的解析式即可求得a的值，从而确定点M是坐标，再将点M的坐标代人y=kx-2即可求得k值；（2）首先得到直线的解析式，然后得到点D的坐标，根据PBM的面积=SBDM+SBDP=BD（xM-xP）=（3+2）（4-xP）=20，求得xP=-4，代人直线CD的解析式即可求得点P（-4，-5）；（3）设点F的坐标为（m，-m+3），点N（a，b），根据点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，-2）得到BD=5，然后分当BD是边时和当BD是对角线时，则BD的中点，即为NF的中点且BF=BN，两种情况得到点N的坐标为（2，-2）或（-2，-2）或（4，6）(1)解：将点M的坐标代入y=-x+3并解得：a=1

25、，故点M（4，1），将点M的坐标代入y=kx-2，得4k-2=1，解得：k=，a=1，k=；(2)解：由（1）得直线CD的表达式为：y=x-2，则点D（0，-2），PBM的面积=SBDM+SBDP=BD|xM-xP|=（3+2）|4-xP|=20，解得：xP=-4或xP=12，故点P（-4，-5）或P（12，7）；(3)解：设点F的坐标为（m，-m+3），点N（a，b），由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，-2），则BD=5，当BD是边时，当点F在点N的上方时，则BD=BF，即52=m2+（-m）2，解得m=2，则点F的坐标为（2，-+3）或（-2，+3）；点N在点F的正下方5个

26、单位，则点N（2，-2）或（-2，-2）；当点F在点N的下方时，则BD=DF，即52=m2+（-m+3+2）2，解得m=0（舍去）或4，同理可得，点N（4，6）；综上，点N的坐标为（2，-2）或（-2，-2）或（4，6）【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，菱形的判定和性质，涉及到一次函数的性质、待定系数法等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏23(1)购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆；(2)4900【分析】（1）设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据“用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元”列出方程组

27、，即可求解；（2）设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意，列出方程，即可求解(1)解：设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据题意得：，解得：，答：该公司购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆；(2)解：设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意得：，整理得：，解得：，规定每辆车月租金不能超过5000元，m=4900，答：当每辆A型车的月租金定为4900元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系

28、，正确列出一元二次方程24(1)2(2)(3)需要用的篱笆最少是40米【分析】（1）当x0时，按照公式（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；（2）将的分子分别除以分母，展开，将含m的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设所需的篱笆长为L米，由题意得：L2x+，再根据给出的材料提示即可求出需要用的篱笆最少是多少米(1)解：当x0时，又，即的最小值为2故答案为：2；(2)解：由m0，又，即的最小值为；(3)解：设所需的篱笆长为L米，由题意得L2x+，由题意可知：2x+又2x+40需要用的篱笆最少是40米【点拨】本题考查了二次根式和乘法公式在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和一元二次方程的实际应用问题，本题难度中等略大，属于中档题，解题的关键是准确理解题意，灵活运用题干给出的知识