第1章勾股定理 单元培优训练（含答案解析）-2022-2023学年北师大八年级数学上册

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1、第1章勾股定理一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1图中不能证明勾股定理的是（）ABCD2若的三边长a、b、c满足，那么是（）A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形3如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，则S4为（）A2B3CD4如图，P是等边三角形内的一点，且，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（）ABCD5如图，在ABC中，AB13，BC=14，SABC=84，D是BC的中点，直线l经过点D，AEl，BFl，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A15B12C10D9

2、6如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）ABCD7我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3若S1+S2+S312，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（）AS12BS23CS36DS1+S388如图，在中，点是内的一点，连接，满足，则的最小值是（）A5B6C8D139如图

3、,A、B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且CD=6,P为直线CD上的动点, 则的最大值是（）A B CD610如图，在中，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，则长为（）A2BC6D82、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11在中，AD是BC边上的高，AD上有一点E，连接CE，在BC上取一点F使，则_12在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是_米（精

4、确到0.1米）13已知在ABC中，AB= 8，BC =5，A=30，则ABC的面积是_14如图，已知RtABC中，ACB90，AC3，BC4，点P是BC边上的一个动点，点B与B是关于直线AP的对称点，当CPB是直角三角形时，BP的长_15如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 ，若，则的值是_16我国古代数学名著九章算术中有云：“今有木长二丈，围之三尺葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是_尺(注：l丈等于10尺

5、，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)17在ABC 中，若，则最长边上的高为_18如图所示，ABC中，ACB90，AB13，BC12，AD是CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC_，PC+PQ的最小值是_三、解答题（本大题共6小题，共60分）19（8分）如图，已知和中，点C在线段BE上，连接DC交AE于点O（1）DC与BE有怎样的位置关系？证明你的结论；（2）若，求DE的长20（8分）已知：如图，ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DACA于A求：BD的长21（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度

6、向北偏东60的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？22（10分）如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G（1）求证：；（2）求证：（3）若，求的面积23（10分）有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD80 cm，高AB60 cm，水深AE40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头

7、标注；(2)试求小虫爬行的最短路程24（12分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点特例感知等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；如图1，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高若，试求线段CD的长度深入探究如图2，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CACB，CD是AB边上的高试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；推广应用如图3，等腰ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E若，试求线段DE的长度参考答案1A

8、【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式，可得故选：A【点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法2B【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可解：，移项得，是直角三角形，故选：B【点拨】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再

9、根据非负数的性质求边长3B【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合 可得S1S2S3S4，从而可得答案解：以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4， ，ABCCAD90，S1S2S3S4，S13，S21，S37，317S4，S43，故选：B【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键4C【分析】根据ABC是等边三角形，得出ABC=60，根据BQCBPA，得出CBQ=ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，BPA=B

10、QC，求出PBQ=60，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据BPQ是等边三角形，PCQ是直角三角形即可判断D；求出APC=150-QPC，和PC2QC，可得QPC30，即可判断C解：ABC是等边三角形，ABC=60，BQCBPA，CBQ=ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，BPA=BQC，PBQ=PBC+CBQ=PBC+ABP=ABC=60，所以A正确，不符合题意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，PQ2+QC2=PC2，PQC=90，所以B正确，不符合题意；PB=QB=4，PBQ=60，BPQ是等边三角形，BPQ=60，APB=BQC=BQ

11、P+PQC=60+90=150，所以D正确，不符合题意；APC=360-150-60-QPC=150-QPC，PC=5，QC=PA=3,PC2QC，PQC=90，QPC30，APC120所以C不正确，符合题意故选：C【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识5A【分析】如图，连接AD，作，垂足分别为，可证，；由，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值；，可得，可知当时，最小，最大，此时有，解得的值，进而求解的值，故可知的最大值解：如图，连接AD，作，垂足分别为由题意知在和中在中

12、，由勾股定理得在中，由勾股定理得当时，最小，最大此时解得的最大值为15故选A【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识解题的关键在于将线段和与面积联系求解6B【分析】根据题意，得圆柱形容器的侧面展开图为矩形，根据矩形的性质，得、，延长AM于点，且，连接，交MQ于点S，连接，根据全等三角形的性质，通过证明，得；根据两点之间直线段最短的性质，得蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为，根据勾股定理的性质计算得，即可得到答案解：根据题意，圆柱形容器的侧面展开图为矩形，过点B作，交NP于点H，过点B作，交MN于点K； 根据题意，得：， ，四边形为矩形， 如下图，延长AM于点，且，连接，交MQ于点S

13、，连接在和中 根据题意，蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为 ，即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是故选：B【点拨】本题考查了全等三角形、勾股定理、两点之间直线段最短、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、两点之间直线段最短的性质，从而完成求解7D【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，故选：D【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键8C【分析】

14、如图，取中点，连接则点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，当、在同一直线上时，最短，此时为最短所以，即为的最小值解：如图，取中点，连接，点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，且，当、在同一直线上时，最短，此时为最短在中，则，即的最小值是8故选：【点拨】本题主要考查了两点之间最短距离的问题，解题的关键是正确构造圆和运用勾股定理9C解：作点关于直线的对称点,连接并延长,与直线的交点即为使得取最大值时对应的点此时过点作于点如图,四边形为矩形，的最大值为：故答案为10D【分析】设ADDBa，AFCFb，BECEc，由勾股定理可求a2+b2c2，由 ，可求b4，即可求解解：设ADDBa，AFCFb，BE

15、CEc，ABa，ACb，BCc，BAC90，AB2+AC2BC2，2a2+2b22c2，a2+b2c2，将等腰RtADB和等腰RtAFC按如图方式叠放到等腰RtBEC，BGGHa，（a+c）（ca）16，c2a232，b232，b4，ACb8，故选：D【点拨】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键1112【分析】延长至，是的，连接，设，则，证明，可得，进而导角可得，可得，在中，勾股定理列出方程解方程即可求解解：如图，延长至，使，连接，AD是BC边上的高，是等腰直角三角形，设，则，在与中， ，是等腰直角三角形，在中，即，解得故答案为：12【点拨】本题考查了全等三角形的性

16、质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等角对等边，证明是解题的关键122.6【分析】将木块展开，根据两点之间线段最短及勾股定理即可求出答案解：如图，将木块展开，可知蚂蚁从A点到达C点时，在横向上移动的距离为：（米），在纵向上移动的距离为：（米），由两点之间线段最短可知，从点A处到达C处需要走的最短路程为：（米）故答案为：2.6【点拨】本题考查两点间最短距离，需要想象着将木块展开再进行计算，对空间想象能力要求较高，有一定难度13#或【分析】过点B作于点D，分高在三角形内部或者外部两种情形，然后根据勾股定理计算即可解：过点B作于点D当高BD在外部时，在中，AB= 8，A=30由勾股定理得在中，

17、BC =5由勾股定理得当高BD在内部时，在中，AB= 8，A=30由勾股定理得在中， =5由勾股定理得综上，ABC的面积是故答案为：【点拨】本题考查的是勾股定理，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想思考问题141或【分析】根据题意分三种情形：PCB90，CPB90，进而利用勾股定理构建方程求解即可，反证法证明的情形不成立解：如图1中，当PCB90时，设PBPBxAC3，CB4，ACB90，AB5，由翻折的性质可知，ABAB5，在RtPCB中，PC2+CB2PB2，（4x）2+22x2，x，PB如图2中，当CPB90，设PBy过点A作ATBP交BP的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，PTAC3

18、，ATCP4y，在RtATB中，AB2AT2+BT2，52（4y）2+（y+3）2，解得y1或0（0舍弃），PB1，若，如图点C与C是关于直线AP的对称点，连接由题意可得若，根据对称性可得,根据平行线之间的距离相等，若，则到的距离等于4而不平行假设不成立综上所述，PB的值为：1或【点拨】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题1548【分析】用a和b表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出的面积解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的，则，故答案是：48【点拨

19、】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用1629【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长73=21（尺），因此葛藤长=29（尺）答：葛藤长29尺故答案为：29【点拨】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解17【分析】解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.解：，将两个方程相加得：，a0，a=4代

20、入得：，b0，b=3，a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，ABC是直角三角形，如下图，ACB=90，CDAB， ，即：，解得：CD=，故答案为：.【点拨】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.18 5 【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；（2）过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，由AD是BAC的平分线得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用SABC=ABCM=ACBC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值解：在RtABC中，ACB9

21、0，AB13，BC12，；如图，过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，AD是BAC的平分线PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，AC=5，BC=12，ACB=90， ,故答案为：5；【点拨】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题关键19（1），见分析；（2）【分析】（1）易证，再根据全等性质即可求得；（2）由BC和CE可得BE，再由全等的，再根据勾股定理即可求得；解：（1）证明：在和中，（2），【点拨】本题考查三角形全等和勾股定理，掌握三角形全等条件是解题的关键20 【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设B

22、D=x，则DE=8x，DC=16x在RtADE和RtADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2AC2，继而代入求出x的值即可解：如图,过点A作AEBC于点E，AB=AC=10，BC=16，BE=CE=8，在RtACE中，利用勾股定理可知：AE=6，设BD=x，则DE=8x，DC=16x，又DACA，在RtADE和RtADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2AC2，代入为：62+（8x）2=（16x）2102，解得：x=即BD=【点拨】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在RtADE和RtADC中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2

23、AC221（1）A城受到台风的影响；（2）4.【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM500则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则ADG是等腰三角形，由于AMBC，则M是DG的中点，在RtADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间解：（1）A城受到这次台风的影响，理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，在RtABM中，ABM=30，AB=600km，则AM=300km，因为300500，所以A城要受台风影响；（2）设BC上点D，DA=500千

24、米，则还有一点G，有AG=500千米因为DA=AG，所以ADG是等腰三角形，因为AMBC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM，在RtADM中，DA=500千米，AM=300千米，由勾股定理得，MD=400（千米），则DG=2DM=800千米，遭受台风影响的时间是：t=800200=4（小时），答：A城遭受这次台风影响时间为4小时【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度时间等，构造出直角三角形是解题关键22（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）根据SAS即可证明BCEACD；（2）由ACDBCE可得CBG=CAF，从而利用ASA可证明ACFBCG；（3）求出CG

25、=CF=4，过G作GMBD于M，过点F作FNBD于N，求出GM，FN，根据SACD=SACF+SCDF=SBCG+SCDF可求出答案解：（1）证明：ABC，CDE是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+ACE=DCE+ACE，即BCE=DCA，ACDBCE（SAS）（2）由（1）得ACDBCE，CBG=CAF，又ACF=BCG=60，BC=AC，在ACF和BCG中，ACFBCG（ASA）；（3）ACFBCG，SACF=SBCG，CG=CF，而CF+CG=8，CG=CF=4，过G作GMBD于M，过点F作FNBD于N，又ACB=DCE=60，GM=CG=，FN=CF=，

26、SACD=SACF+SCDF=SBCG+SCDF=BCGM+CDFN=（BC+CD）=BD=【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键23(1)如图所示见分析，AQQG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.(2)根据AE40cm,AA120cm,可得:AE1204080(cm),再根据EG60cm,可得:AG2AE2EG280260210000,AG100cm,进而可得:AQQGAQQGAG100cm.解：(1)如图所示,AQQG

27、为最短路线,(2)因为AE40cm,AA120cm,所以AE1204080(cm),因为EG60cm,所以AG2AE2EG280260210000,所以AG100cm,所以AQQGAQQGAG100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.【点拨】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.24特例感知:是；深入探究：，理由见分析；推广应用：2a【分析】特例感知根据勾股高三角形的定义进行判断即可；设根据勾股定理可得：，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可；深入探究：根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系；推广应用：运用探究的结果进行运算即可解：特例感知等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案为：是；设根据勾股定理可得：，于是，；深入探究：由可得：，而，即；推广应用过点A向ED引垂线，垂足为G，“勾股高三角形”ABC为等腰三角形，且，只能是，由上问可知又EDBC，而，AGDCDB（AAS），ADE与ABC均为等腰三角形，根据三线合一原理可知又，