第2章有理数及其运算 单元培优训练（含答案解析）-2022-2023学年北师大七年级数学上册

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1、第2章有理数及其运算一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负如果水位每天上升3cm，今天的水位为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（）A（+3）（+2） B（+3）（2）C（3）（+2）D（3）（2）2若，则以下四个结论中，正确的是（）A一定是正数B可能是负数C一定是正数D一定是正数3在数轴上，点M、N分别表示数m，n 则点M，N 之间的距离为|m-n|已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d且|a-c|=|b-c|=|d-a|=1 (ab)，则线段BD的长度

2、为（）A3.5B0.5C3.5或0.5D4.5或0.54已知整数、满足下列条件：，（为正整数）依此类推，则的值为（）A1009B2019C1010D20205如果 a+b+c0，且|a|b|c|则下列式子中可能成立的是（）Ac0，a0Bc0，b0Cb0，c0Db=06若a0，b0，则下列各式正确的是（）Aab0Bab0Cab=0D（a）+（b）07如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是4，则第2020次输出的结果是（）A1B3C6D88计算的结果是（）ABCD92019减去它的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，一直减到余下的，

3、则最后剩下的数是（）A0B1CD10若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（）（1）总是正数；（2）总是正数；（3）的最大值为5；（4）的最大值是3A1B2C3D42、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11已知数轴上的点A，B表示的数分别为，4，P为数轴上任意一点，表示的数为x，若点P到点A，B的距离之和为7，则x的值为 _12当x=_时，10+|x1|有最小值，最小值为_13如图，在单位长度是1的数轴上，点和点所表示的两个数互为相反数，则点表示的数是_.14已知x表示不超过x的最大整数如：3.23，0.71现定义：xxx，如1.51.51.50.5，则3.9+_15用表示，例1

4、995！=，那么的个位数字是_16计算：的结果是_17已知两个变量之间的关系为，其中表示当时对应的变量的值，如，则_18将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_段三、解答题（本大题共6小题，共60分）19（8分）把下列各数填入相应的数集中：+1、-5、200、-3、6.8、0、0.12003407、1、-43.555、77、-3（1） 非负数集合：_（2）负有理数集合：_（3）正整数集合：_（4）负分数集合：_20（8分）计算：(1)(2)21（10分）学习了有理数乘法运算后，吴老师给同学们讲了一道题的解

5、法:计算:39 (-12)解:39 (-12)= (40-)(-12)40(-12)-(-12)=-480+=-479请你灵活运用吴老师的解题方法计算:49 (-)22（10分）对于有理数，定义一种新运算“”，规定计算的值；当在数轴上的位置如图所示时，化简；当时，是否一定有或者?若是，则说明理由；若不是，则举例说明23（10分）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）星期一二三四五六日增减产量（1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具_个，本周实际生

6、产玩具_个（2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由24（12分）已知，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的友好点例如，如图，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的友好点；又如，表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的友好点，但点是的友

7、好点知识运用：(1)如图，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4在点和点中间，数_所对应的点是的有好点；在数轴上，数_和数_所对应的点都是的友好点(2)如图，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为40现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达点停止，当点的运动时间为何值时，点，和中恰有一个点为其余两点的友好点？参考答案1B分析: 2天前的水位=每天的水位变化量变化天数，.由题意知，每天的水位变化为上升3cm,记为+3cm，2天前记为-2，即可得到2天前的水位变化的正确表示算式.解：上升为正，几天前为负， 所以上升3cm记作+3cm，2天前记作-2， 2天前的

8、水位变化是(+3)(-2). 故答案选B.【点拨】本题考查对相反意义量的认识：在一对具有相反意义的量中，先规定一个为正数，则另一个就要用负数表示，再结合有理数乘法的意义，进行列式，即可得到2天前的水位变化的正确表示算式.2C【分析】本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数；对于B，d+c0，-a-b0，所以d+c-a-b一定大于0；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，不是正数.解：A.根据已知条件，可设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数，故错误；B. 根据已知条件可知d+c0，

9、-a-b0，所以d+c-a-b0，故错误；C. 根据已知条件可知d-c0，-a-b0，所以一定是正数，故正确；D，根据已知条件可设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，是负数，故错误；故选C【点拨】本题考查正数和负数，难度大，熟练掌握相关知识点是解题关键.3D【分析】运用两点之间的距离公式，画出数轴解答即可解：|ac|=|bc|=1，点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1，|da|=1，|da|=2.5，点D与点A之间的距离为2.5，如图：线段BD的长度为DA+AC+CB=2.5+1+1=4.5如图：线段BD的长度为DA -AB=2.5-

10、1-1=0.5故答案为D【点拨】本题考查了数轴和线段的和差，根据题意画出数轴并结合数轴进行解答是解决本题的关键4C【分析】依次计算、，得到规律性答案，即可得到的值.解：，=-1，=-2，=-2，由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-（n为偶数），的值为1010，故选：C.【点拨】此题考查代数式规律探究，计算此类题的关键是依次计算得出答案的规律并总结出答案与序数间的关系式，由此来解答问题.5A【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为0，可得a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又|a|b|c|，那么|a|=|b|+|c|，进而得出可能存在的情况解：a+b+c=0，a、b、c中至少

11、有一个为正数，至少有一个为负数，|a|b|c|，|a|=|b|+|c|，可能c、b为正数，a为负数；也可能c、b为负数，a为正数故选：A【点拨】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键6B【分析】根据题意，利用有理数的加减法法则进行判断即可.解：因为a0，b0所以-a0，-b0所以a-b=a+（-b）0故A不正确，B正确，C不正确；由于a、b的绝对值的大小不确定，故无法判断，故D不正确.故选：B.【点拨】此题主要考查了有理数的加减法的应用，关键是根据有理数的加减法的法则进行判断，有点难度，注意符号的变化.7A【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结

12、果，再归纳类推出一般规律，由此即可得解：第1次运算输出的结果为，第2次运算输出的结果为，第3次运算输出的结果为，第4次运算输出的结果为，第5次运算输出的结果为，第6次运算输出的结果为，第7次运算输出的结果为，第8次运算输出的结果为，归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以循环往复的，因为，所以第2020次运算输出的结果与第4次输出的结果相同，即为，故选：A【点拨】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键8D【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可解：，=，=，=，故选：D【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行

13、简便运算，准确进行计算9B【分析】根据题意列出式子，先计算括号内的，再计算乘法即可解答解：由题意得：=1故选：B【点拨】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，并发现算式的特征10B【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可.解：，0，即总是正数，(1)正确；， ，当即a=0时，故是正数；当时，则，即，故是正数；故（2）正确；的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）错误故选：B.【点拨】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点.11或4.5【分析】根据数轴上两点间的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到x的值解：根据题意得：|x+2|+

14、|x-4|=7，当x-2时，化简得：-x-2-x+4=7，解得：x=-2.5；当-2x4时，化简得：x+2-x+4=7，无解；当x4时，化简得：x+2+x-4=7，解得：x=4.5，综上，x的值为-2.5或4.5故答案为：-2.5或4.5【点拨】此题考查了数轴，弄清数轴上两点间的距离公式是解本题的关键12 1 -10【分析】（1）要使10|x1|最小，则|x1|最小，即|x1|0，解出答案，（2）根据（1）中，求出最小值.解：|x1|0，解得：x1，最小值10，故答案为（1）1，（2）10.【点拨】本题主要考查了绝对值的基本性质，绝对值最小值为0.132【分析】根据图示，点和点之间的距离是6，

15、据此求出点C表示的数，即可求得点B表示的数.解：点和点所表示的两个数互为相反数，点和点之间的距离是6点C表示的数是3，点B与点C之间的距离是1，且点B在点C右侧，点B表示的数是2故答案为2【点拨】本题为考查数轴和相反数的综合题，稍有难度，根据题意认真分析，熟练掌握数轴和相反数的相关知识点是解答本题的关键.14-1.4【分析】根据题目中的定义，将式子转化为有理数的运算，再进行计算即可求解解：3.9+=（3-3.9）+-2-（-1.5）=-0.9+(-0.5)=-1.4故答案为：-1.4【点拨】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加减运算等知识，读懂题意，理解题目中的定义是解题关键153【分析】先

16、分别求出，的值，再归纳类推出规律，由此即可得解：，由此可知，的个位数字都是0（其中，且为整数），则的个位数字与的个位数字相同，因为，其个位数字是3，所以的个位数字是3，故答案为：3【点拨】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键16【分析】应用加法交换律、加法结合律以及减法的性质，求出算式的值是多少即可解：，故答案为：【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意运算顺序，注意加法运算定律和减法的性质的应用174186【分析】根据，把分别代入，计算即可得到答案.解：=4186.故答案为：4186.【点拨】此题考查新定义计算，有理数的混合运算，正确掌握有理数的加法运算法

17、则，乘法运算法则是解题的关键.182n+1【分析】根据分析可得：将一根绳子对折1次从中间一刀，绳子变成3段；有21+13将一根绳子对折2次，从中间一刀，绳子变成5段；有22+15依此类推，将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成（2n+1）段解：对折1次从中间剪一刀，有21+13对折2次，从中间剪一刀，有22+15对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（2n+1）段故答案为：（2n+1）【点拨】本题主要考查通过观察、归纳、抽象得出规律，正确得出对折次数与绳子段数的规律是解题的关键19（1）+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77；（2）-5、-3、-43.555、-3；（

18、3）200、1；（4）-5、-43.555、-3.【分析】根据有理数的分类，可得答案解：（1）非负数集合：+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77；（2）负有理数集合：-5、-3、-43.555、-3；（3）正整数集合：200、1；（4）负分数集合：-5、-43.555、-3.【点拨】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键20(1)7(2)(1)(2)【点拨】本题考查了有理数的混合运算，掌握混合运算顺序并运用简便方法是解答本题的关键21.【分析】首先把49分成，把除法化为乘法，然后应用乘法分配律，求出算式的值即可解：49 (-)=-400+ = 故答案是：.【点拨】此题主

19、要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，明确有理数混合运算顺序，注意乘法分配律的应用22（1）10；（2）；不一定，反例见分析【分析】（1）先根据新运算的定义列出运算式子，再计算有理数的加减法、化简绝对值即可得；（2）先根据数轴的定义判断出，再化简绝对值即可得；根据绝对值运算、有理数的加减法，列出反例即可解：（1）由题意得：，；（2）从在数轴上的位置得：，则，；当，即时，不一定有或者，例如：取，则，即此时等式成立，但且【点拨】本题考查了有理数的加减法、化简绝对值、数轴，读懂题意，掌握新运算的定义是解题关键23（1）；（2）元；（3）每日计件工资更多，理由见分析【分析】（1）用表中周三数据加上计划

20、平均每天生产量，即得周三玩具生产量；表中每天增减产量相加的和，再加上周规定生产量即得周实际生产量（）把表中每天增减产量正的之和乘以3，负的之和乘以2，把它们相加的和再加上周实际生产量乘以5，即得小明妈妈这一周的工资总额（3）先计算出实行每周计件工资制情况下小明妈妈的周工资与（2）中计算的实行每日计件工资制下小明妈妈的周工资相比较可得每日计件工资更多解：（1）小明妈妈星期三生产玩具个，（个），故本周实际生产玩具个，故答案为：，（2）（元）答：小明妈妈这一周的工资总额是元（3）元，每周计件一周得元，因为，所以每日计件工资更多【点拨】本题考查有理数加减混合运算的实际应用其关键是审清题意，弄准确其中正

21、负数及0的含义，才能列出正确算式24(1)2；-8，0(2)t=10，15，20时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点【分析】（1）设数x所对应的点是的有好点，根据好点定义可列方程，x-（-2）=2（4-x），从而得出结论；设点E是是的友好点，E表示的数为a，表示出EN、EM的值，再根据好点的定义列方程即可；（2）由题意可得，由好点定义可列方程，即可求解；（3）由好点定义列出方程，先求出t的值，即可求PB的长以及点P表示的数解：(1)设数x所对应的点是的有好点，根据好点定义可列方程，x-（-2）=2（4-x），解得：x=2即在点和点中间，数2所对应的点是的有好点设点E是是的友好点，E表示的

22、数为a， E是是的友好点，或解得或即在数轴上，数-8和数0所对应的点都是的友好点(2)点所表示的数为，点所表示的数为40现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，点，和中恰有一个点为其余两点的友好点AB、AP、BP中有一个是另一个的两倍当时，点A是【B，P】的好点、60=2（60-2t）解得：t=15当时，点B是【A，P】的好点、60=22t解得：t=15当时，点P是【A，B】的好点、60-2t=22t解得：t=10当时，点P是【B，A】的好点、2t=2（60-2t）解得：t=20综上所述：t=10，15，20时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点【点拨】本题考查了一元一次方程，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间速度，认真理解新定义，由定义列出方程是本题的关键