第1章特殊平行四边形 单元培优训练（含答案解析）-2022-2023学年北师大九年级数学上册

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1、第1章 特殊平行四边形一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1在矩形ABCD中，AB4，BC3，CE2BE，EF2，连按AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90得到AP，则线段PE的最小值为()ABC4D2如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（）ABCD3如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为（）ABC2D4如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，

2、ABD=20，BDC=70，则GEF=（）度A25B30C45D355如图，在矩形纸片ABCD中，AB9cm，BC12cm，E为边CD上一点，将BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FMBE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN的长为（）A7cmB7.5cmC8cmD8.5cm6如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，DCE为Rt，CED90，若OE2，CEDE5，则正方形ABCD的面积为（）A5B6C8D12.57如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB3BE3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MNAE，则AM+NE的最小值

3、为（） A4BCD8如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF设正方形的中心为O，连接AO，如果，则AC的值为（）A13B14C15D169如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BHBH交EF于点M，连接PM下列结论：PB平分APG；PH=AP+CH；BM=BP，若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（）ABCD10如图，点，分别在菱形的边，上，点，分别在，的延长线上，且连结，若菱形和四边形的面积相等，则的值为（）ABCD12、 填空题（本大题共8小

4、题，每小题4分，共32分）11如图，已知中，将沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是_12如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”如图，已知“完美菱形”ABCD的边长为4，BD是它的较短对角线，点M、N分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AMCN4，设BMN的面积为S，则S的取值范围是_13如图，菱形ABCD，点E为垂足，点F为AE的中点，连接BF并延长交AD于点G，连接CG，则AF的长为_14如图，菱形的边长，取对角线上两点E，H，使，当时，则_15如图，在中，点P为斜边上的一个动点（点P不与

5、点AB重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是_16如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = _17如图，在矩形中，是边上一点，分别是，的中点，连接，若，矩形的面积为_18如图，中，点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为点，当时，的长为_三、解答题（本大题共6小题，共60分）19（8分）如图，已知的对角线，交于点，且求证：(1) 是菱形；(2) 为上一点，连接交于点，且，求证：20（8分）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形

6、框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性） (1)通过操作观察可知，线段由旋转得到，所以同理可得，_；(2)进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论；(3)已知，若恰好经过原矩形边的中点，求此时四边形的面积21（10分）如图，ABC中，交AC于P，ACB，ACD的平分线分别交MN于E、F(1)求证：；(2)当MN与AC的交点P在AC的什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；(3)当ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（不需要证明）22（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB6，BC9若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的

7、另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动 (1)当ODA30时，求点B的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MB，当四边形OMBA的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值23（10分）问题情境：如图，点E为正方形ABCD内一点，AEB90，将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90，得到CBE（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE(1)猜想证明：试判断四边形BEFE的形状，并说明理由；(2)如图，若DADE，请猜想线段CF与的数量关系并加以证明；(3)解决问题：如图，若AB4，当BE的长为 时，ADE为等腰三角形，请直接

8、写出结果24（12分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC(1)如图，若点P在线段AB的延长线上，求证：；(2)如图，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断ACE的形状，并说明理由；(3) 如图，若点P在边AB上，连接AC，当EP平分AEC时，设，求AEC的度数参考答案1B【分析】连接AE，过点A作AGAE，截取AG=AE，连接PG，GE，通过SAS证明AEFAGP，得PG=EF=2，再利用勾股定理求出GE的长，在GPE中，利用三边关系即可得出答案解：连接AE，过点A作AGAE，截取AG=AE，连接PG，GE，将线段A

9、F绕着点A顺时针旋转90得到AP，AF=AP，PAF=90，FAE+PAE=PAE+PAG=90，FAE=PAG，在AEF和AGP中，AEFAGP（SAS），PG=EF=2，BC=3，CE=2BE，BE=1，在RtABE中，由勾股定理得：，AG=AE，GAE=90，在GPE中，PEGE-PG，PE的最小值为GE-PG=，故选：B【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键2A【分析】先证明BFCCDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长解：四边形ABCD是矩形，BC=AD，

10、ABC=D=90，ADBC，DEC=FCB，BFC=CDE，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，BC=EC，在BFC与CDE中，BFCCDE（AAS），DE=CF=2，AD=BC=CE=，AE=AD-DE=，故选：A【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题3D【分析】如图，作出辅助线，当点G，F，B共线时，有最小值，利用题目中的条件，在中，求出，的长度，即可求出的长度，即为的最小值解：如图，过点，过点F作，DG与FG交于点G，则四边形DEFG是平行四边形，当点G，F，B共线时，有最小值连接BD，由菱形的性质可知

11、，又，当G，F，B共线时，故的最小值为，故选：D【点拨】本题主要考查了动点几何问题中的最短线段问题，正确作出辅助线，得到点G，F，B共线时，有最小值，并利用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键4A【分析】先证四边形EGFH是平行四边形，再证四边形EGFH是菱形即可，由，可求，利用平角定义可求，于是，利用菱形性质求，从而求出解：E、G分别是AD、BD 的中点，F H分别是BC、AC的中点， ，同理：，四边形EGFH是平行四边形，AB=CD，GE=GF，四边形EGFH是菱形ABD= 20，BDC= 70， ，FE平分 ，故选:： A【点拨】本题考查菱形判断与性质，求菱形内角，掌握菱形的判定与性质，

12、会利用菱形的性质求角度是解题关键5B【分析】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可解：连接AC，FC由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，FMBE，F,M，C共线，FMMC，ANFN，MNAC，四边形ABCD是矩形，ABC90，AC15（cm），MNAC7.5（cm），故选B【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，添加辅助线，构造三角形中位线解决问题是解题的关键6B【分析】过点O作OMCE于M，作ONDE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得MON90，再求出COMDON，根据正方形的性质可得OCOD，然后利用“角角边

13、”证明COM和DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OMON，MCDN，然后判断出四边形OMEN是正方形，可得NEON2，得DECE4，设DEa，CEb，可得ab4，根据CEDE5，CD2a2+b2（a+b）22ab42256，即可解决问题解：如图，过点O作OMCE于M，作ONDE交ED的延长线于N，CED90，四边形OMEN是矩形，MON90，四边形ABCD是正方形，COM+DOM90DON+DOM，OCOD，COMDON，在COM和DON中，COMDON（AAS），OMON，MCDN，四边形OMEN是正方形，在RtOEN中，OE2，2NE2OE2（2）28，NEON2，DE+CEDE+E

14、M+MCDE+EM+DNEN+EM2EN4，设DEa，CEb，a+b4，CEDE5，CD2a2+b2（a+b）22ab42256，S正方形ABCD6，故选：B【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点7C【分析】由勾股定理可求AE的长，由“ASA”可证，可得，通过证明四边形NEGM是平行四边形，可得，由，可得当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为AG，由勾股定理即可求解解：过点D作DHMN，交AB于点H，过点E作EGMN，过点M作MGNE，两直线交于点G，连接AG，如图，四边形ABCD是正方形，AB3BE3，BE1，

15、DHMN，ABCD，四边形DHNM是平行四边形，在和中，EGMN， MGNE，四边形NEGM是平行四边形，当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为AG，故选：C【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键8D【分析】记与交点为，在上截取，连结，利用全等三角形的判定和性质得出，再由勾股定理及线段间的数量关系求解即可解：如图，记与交点为，在上截取，连结，在正方形BCEF中， ，在和中，在中，由勾股定理得，故选D【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和等知识解

16、题的关键在于作辅助线9B【分析】根据折叠的性质，从而得到，根据直角三角形两锐角互余，得到，即可判定；过点B作BQPH，利用全等三角形的判定与性质，得到，即可判定；通过证明为等腰直角三角形，即可判定；根据求得对应三角形的面积，即可判定解：由题意可得：，由题意可得：，PB平分APG；正确；过点B作BQPH，如下图：在和中，四边形ABCD为正方形，又，正确；由折叠的性质可得：EF是PB的中垂线，由题意可得：，为等腰直角三角形，即，BM=BP，正确；若BE=，AP=1，则，在中，错误，故选B，【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三

17、角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解10D【分析】根据题意先证四边形EFGH是平行四边形，由平行四边形的性质求出EHAC，进而由面积关系进行分析即可求解解：连接HC、AF、HF、AC，HF交AC于O，连接EG四边形ABCD是菱形，D=B，AB=CD=AD=BC，AE=AH=CG=CF，DH=BF，BE=DG，在DHG和BFE中，DHGBFE，HG=EF，DHG=BFE，BCAD，BFE=DKF，DHG=DKG，HGEF，四边形EFGH是平行四边形AH=CF，AHCF，四边形AHCF是平行四边形，AC与HF互相平分，四边形E

18、FGH是平行四边形，HF与EG互相平分，HF、AC、EG互相平分，相交于点O，AE=AH，DA=DC，BEDC，EAH=D，AEH=AHE=DAC=DCA，EHAC，SAEH=SEHO=SAHO=SAHC=S四边形EFGH=S四边形ABCD，SAHC=S四边形ABCD=SADC，AD=AH，=1.故选：D【点拨】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，证明EHAC是解题的关键11或5或8【分析】ADE是等腰三角形，所以可以分3种情况讨论：当ADAE时，ADE是等腰三角形作AMBC，

19、垂足为M，利用勾股定理列方程可得结论；当ADDE时，四边形ABED是菱形，可得m5；当AEDE时，此时C与E重合，m8解：分3种情况讨论：当ADAE时，如图1，过A作AMBC于M，ABAC5，BMBC4，AM3，由平移性质可得ADBEm，AEm，EM4m， 在RtAEM中，由勾股定理得：AE2AM2EM2，m232（4m）2，m，当DEAD时，如图2，由平移的性质得，四边形ABED是菱形，ADBEEDAB5，即m5；当ACDE时，如图3，此时C与E重合，m8；综上所述：当m或5或8时，ADE是等腰三角形故答案为：或5或8【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三

20、种情况求出BE的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键12S【分析】过点B作BHCD于H，过点B作BGNM于G，由ABCD是完美菱形可得BCD是等边三角形，由CNBDMB可得BNM是等边三角形，设BN=a，则BNM面积=；等边BCD中，BHCD，则BHBNBC，便可解答；解：如图，过点B作BHCD于H，过点B作BGNM于G，ABCD是完美菱形，BC=CD=DB=4，BCD是等边三角形，BCD=BDC=CBD=60，BCAD，BCD+CDA=180，BDA=60，AM+DM=4，AM+CN=4，CN=DM，C

21、NB和DMB中：CN=DM，NCB=MDB，CB=DB，CNBDMB（SAS），NB=MB，CBN=DBM，CBN+NBD=60，DBM+NBD=60，BNM是等边三角形，设BN=a，则NG=，BG= =，BNM面积=NMBG=，等边BCD中，BHCD，则BHBNBC，BC=4，CH=2，则BH=，BN4，BNM面积，故答案为：S；【点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握等边三角形的判定和性质是解题关键13【分析】过点G往BC所在直线作垂线，垂足记为H，连接EG，证明，得到AG=BE，所以四边形ABEG为平行四边形，设AG=BE=x，则AD=

22、GE=2+x，在和中用勾股定理列方程进行求解解：如图所示，过点G往BC所在直线作垂线，垂足记为H，连接EG， F是AE中点，AF=EF，四边形ABCD是菱形，则，且AEBC，GAF=BEF=90，在中， ，AG=BE，又，四边形ABEG为平行四边形，则GE=AB，设AG=BE=x，则AD=GE=2+x，CH=EH-CE=AG-CE=x-2，在和中， ,即，解得x=6，则AE= ，AF=0.5AE=，故答案为【点拨】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等，设线段长为x，寻找等量关系列出方程是解题的关键142【分析】如图，作FMBD于M，ENAB于N，先证NA=NE，设NA=NE=x，

23、则BE=2x，BN=x，根据AB=2+2列出方程求出x，再证明DF=DH，在RtFMD中求出FM、DM，最后在RtHFM中，利用勾股定理即可解决问题解：如图，作FMBD于M，ENAB于N四边形ABCD是菱形，ABC=60，ABD=ADB=30，AED=75=ABE+BAE，BAE=45，ENA=90，NAE=NEA=45，NA=NE，设NA=NE=x，则BE=2x，BN=x，AB=2+2，x+x=2+2，x=2，BE=4，AE=2，HFD=180-FHD-FDH=75，FHD=75，DFH=DHF，DF=DH=BE=2，在RtFMD中，FMD=90，FDM=30，DF=4，FM=2，DM=2，

24、HM=4-2，FH=22，AE+FH=22+22故答案为：2【点拨】此题考查了菱形的性质、30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用特殊三角形边角之间的关系解决问题153或【分析】根据题意，由为直角三角形，可进行分类讨论：当；当两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案解：根据题意，在中，当为直角三角形时，可分情况进行讨论当时，如图：则，；在直角ACP中，由勾股定理，则；当时，如图，四边形CDPE是矩形，CQ=PQ，AQCP，ACP是等腰三角形，即AP=AC=综合上述，的长是3或；故答案为：3或；【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和

25、性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题16【分析】根据轴对称、矩形、直角三角形斜边中线的性质，得，根据轴对称的性质，得、；再根据矩形和勾股定理的性质计算，即可得到答案解：如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ， 点F是线段AQ的中点 设 将C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处， 设，如图，过点F作，交CD于点G，过点F作，交AD于点K，延长KF，交BC于点H四边形、为矩形， 在直角中， 在直角中， 故答案为：【点拨】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾

26、股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解1748【分析】根据三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出相关线段长，利用勾股定理逆定理判定，再结合即可得出结论解：在矩形中，在矩形中，分别是，的中点，是的中位线，即，在中，是的中点，是斜边上的中线，即， ，在中，是的中点，是斜边上的中线，即，在中，即，是直角三角形，且，过作于，如图所示：，故答案为：【点拨】本题考查矩形面积，涉及到中位线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理逆定理、三角形等面积法等知识，熟练掌握相关性质，准确作出辅助线表示是解决问题的关键18【分析】根据翻折的性质和已知条件可得点和点

27、重合，过点作，垂足分别为，得四边形是正方形，设，得，求出的值，进而可以解决问题解：如图， 由折叠可知：，当时，在中，点和点重合，如图，过点作，垂足分别为， 由折叠可知：，四边形是正方形，设，解得，故答案为：【点拨】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型19(1)证明见分析(2)证明见分析【分析】（1）利用平行线的性质以及等角对等边即可证得AB=BC，则依据菱形的定义即可判断； （2）首先证明BCM是等腰三角形，然后依据平行四边形的对角线互相平分结合菱形的性质即可证得结论(1)证明：在ABCD中， ， 2=ACB， 又1=

28、2， 1=ACB， AB=BC， ABCD是菱形；(2)证明：在ABCD中， ， ANM=MBC， AM=AN， ANM=AMN=BMC， MBC=BMC， BC=CM， AC=AM+CM=AN+BC=2OA， OA=（AN+BC）， 由（1）得：四边形ABCD为菱形，AB=BC， OA=（AN+AB）【点拨】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，以及等腰三角形的性质及判定方法，证明BCM是等腰三角形是关键20(1)(2)见分析(3)1920【分析】（1）推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；（3）过点作，垂足为，由

29、勾股定理可求BH的长，进而等面积法求得,即可得到答案解：(1) 把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，ABBE，EFAD，CFCD，故答案为： AD；(2)证明：四边形是矩形， 四边形是平行四边形，；(3)过点作，垂足为点是的中点，中，由勾股定理得，由（2）中结论可得，四边形为平行四边形， 【点拨】本题考查了平行四边的性质与判定，四边形的不稳定性，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键21(1)见分析(2)当点P是AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由见分析(3)当ABC是直角三角形，四边形

30、AECF是正方形【分析】（1）根据CE平分ACB，可知ACE=BCE，PEC=BCE，PE=PC，同理：PF=PC，故PE=PF；（2）根据矩形的性质可知当P是AC中点时四边形AECF是矩形；（3）当ACB=90时四边形AECF是正方形(1)证明：，CE，CF分别平分ACB，ACD，即；(2)当点P是AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：点P是AC的中点，四边形AFCF是平行四边形，PCE+PCF=90，即：ECF=90，四边形AFCF是矩形；(3)当ABC是直角三角形，四边形AECF是正方形理由如下：ACB=90，又CE平分ACB，BCE45，PECBCE，PEC45，同理可得：PF

31、C45，PECPFC，ECFC，由（2）可得：四边形AECF是矩形，四边形AECF是正方形【点拨】解答此题的关键是熟知角平分线、矩形、正方形的判定与性质定理。22(1)；(2)；(3)12【分析】（1）根据30直角三角形的性质，即可求得OD的长度，过点C作CEy轴于点E，分别求得CE、ED即可求解；（2）根据为的中点，求得MCD的面积，从而求得OMD的面积，设设OAx、ODy，列方程求解即可；（3）根据三角形边的关系可得，当O、M、C三点在同一直线时OC有最大值，求解即可(1)解：四边形ABCD是矩形，BC=9，AD=BC=9在Rt AOD中，ODA=30，AD=9，则过点B作BEx轴于点E，

32、在矩形ABCD中，ABAD，BAE+DAO90，又ODA+DAO90，BAEODA30，在RtBAE中，于是点B的坐标是；(2)解：M为AD的中点，AM，又，设OAx、ODy，则可得可得解得；(3)解：OC的最大值为12M为AD的中点，DM=OM，根据三角形三边关系可得：OCOM+CM12，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值12【点拨】此题考查了矩形和直角三角形的有关性质，涉及了勾股定理、完全平方公式、三角形三边关系等内容，熟练掌握矩形和直角三角形的有关性质是解题的关键23(1)正方形，理由见分析(2)CF，理由见分析(3)或【分析】（1）由旋转的性质可得AEBCEB90，BEBE，E

33、BE90，由正方形的判定可证四边形BEFE是正方形；（2）过点D作DHAE于H，由等腰三角形的性质可得AHAE，DHAE，由“AAS”（3）分类讨论，当AD=AE、AD=DE、DE=AE时，ADE为等腰三角形(1)解：四边形BEFE是正方形，理由如下：将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90，AEBBEF=CEB90，EBE90，四边形是矩形，又BE，四边形是正方形；(2)CFEF；理由如下：如图，过点D作DHAE于H，DADE，DHAE，AHAE，ADH+DAH90，四边形ABCD是正方形，ADAB，DAB90，DAH+EAB90，ADHEAB，又ADAB，AHDAEB90，ADHBAE（AA

34、S），AHBEAE，将RtABE绕点B按顺时针方向旋转90，AE，四边形BEFE是正方形，BEEF，EF，CF；(3)当AE=AD=4时，不符合题意；当AD=DE=4时，由（2）可知，设，则在RtABE中，即：解得，（舍去）当AE=DE=4时，点E在AD的中垂线上AEB=90E在AC、BD的交点此时BE=AE在RtABE中， （舍去）综上所述，当或时，ADE是等腰三角形故答案为：或【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，勾股定理，分类讨论思想，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键24(1)见分析(2)ACE是直角三角形，

35、理由见分析(3)45【分析】（1）根据正方形的性质证明APECFE，可得结论；（2）分别证明PAE=45和BAC=45，则CAE=90，即ACE是直角三角形；（3）设CE交AB于G，作GHAC于H，先证GHGB，推出HCGBCG，再利用平行线的性质得出PEGBCG， 即可求解(1)证明：四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，ABBC，BPBF，APCF，在APE和CFE中，APECFE（SAS），EAEC；(2)解：ACE是直角三角形，理由是：P为AB的中点，PAPB，PBPE，PAPE，四边形BPEF是正方形，APE90，PAE45，又四边形ABCD是正方形，BAC45，CAE90，即ACE是直角三角形；(3)解：如图3，设CE交AB于G，EP平分AEC，EPAG，EP平分ACE作GHAC于H，CAB45，在中，又，GHGB，GHAC，GBBC，HCGBCG，PECF，PEGBCG，AECACB45【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理解直角三角形等，最后一问有一定难度，正确作辅助线，证明HCGBCG是解题的关键