第3章勾股定理 单元培优试卷（含答案解析）2022-2023学年苏科版八年级数学上册

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1、第3章勾股定理一选择题（每小题3分，共18分）1.已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（）A5B25CD5或2.如图，ABC中，ACB90，ABC60，BD平分ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC2，则CE的长为（）AB2CD33.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)若线段AD长为正整数，则点D的个数共有()A5个B4个C3个D2个4.如图，在ABC中，B90，AB3，AC5，AD为BAC的角平分线，则ABD的面积为（）A3BCD65.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦

2、图”如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（）A6B8C10D126.如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A2BC3D二填空题（每小题2分，共20分）7.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为_8.如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是_9.已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为_10.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

3、最大的正方形的边长为8 cm，正方形A的面积是10cm2，B的面积是11 cm2，C的面积是13 cm2，则D的面积为_cm211.如图，一个梯子长2.5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0.7米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.8米，求梯子顶端下落了_米12.如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为_cm13.在中，BC边上的高AD为2，则BC的长为_14.如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在RtABC中，ACb，BCa，ACB

4、90，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为_15.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则PABPCD_16.如图ABC中，ACB90，AC12，BC5若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按CAB的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为_时，BCP为等腰三角形三解答题（共62分）17.（6分）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的和如图所示摆放，使点，在同一条直线上，

5、中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明请写出证明过程18.（8分）如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，请在网格中仅用无刻度直尺画图，（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)在图中画出ABC中AC边上的高BD；(2)在图中过点A画直线l，使直线l平分ABC的面积；(3)在图中画出ABC的角平分线CE；(4)在图中的AC边上画出点F，连接BF，使BF=BC19.（8分）如图，在中，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点且(1)求证：(2)，求20.（10分）如图，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长米，且米

6、，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长米(1)试判定的形状，并说明理由；(2)求船体移动距离的长度(3)若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间21.（10分）如图，已知ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒(1)出发4秒后，求PQ的长；(2)从出发几秒钟后，PQB第一次能形成等腰三角形？(3)当点Q运动到CA上时，求能使BCQ是等腰三角形时点Q的运

7、动时间，请直接写出t的值22.（10分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC300km，BC400km，又AB500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响(1)求ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？23.（10分）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作周髀算经中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定

8、理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；探索研究：(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；问题解决：(3)如图2，若，此时空白部分的面积为_；(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，求该风车状图案的面积第3章勾股定理一选择题（每小题3分，共18分）1.已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（）A5B25CD5或【答案】D【解析

9、】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确故选：D2.如图，ABC中，ACB90，ABC60，BD平分ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC2，则CE的长为（）AB2CD3【答案】B【解析】解：ACB90，ABC60，BD平分ABC，CBDDBA30，设CDx，BD2CD2x，在中，得，得，解得x=2(负值舍去)，故CD=2，BD=4，E点是BD的中点，故选：B3.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(

10、)A5个B4个C3个D2个【答案】C【解析】解：过作，是线段上的动点（不含端点、3AD5，或4，线段长为正整数，的可以有三条，长为4，3，4，点的个数共有3个，故选：C4.如图，在ABC中，B90，AB3，AC5，AD为BAC的角平分线，则ABD的面积为（）A3BCD6【答案】B【解析】如图，过点D作DEAC，垂足为E，B90，AB3，AC5，AD为BAC的角平分线，BC=4，BD=DE，AD=AD，ABDAED，AD=AE=3，EC=AC-AE=5-3=2，设BD=DE=x，则DC=4-x，根据勾股定理，得，解得x=，ABD的面积为，故选B5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“

11、弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（）A6B8C10D12【答案】B【解析】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，由题意可知：，因为，即，所以，的值是故选：B6.如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A2BC3D【答案】C【解析】解：过点作于点，延长交于点，则，四边形是正方形，四边形是矩形，又，设，则，在中，由勾股定理得，当时，有最小值为，的最小值为，故选：C二填空题（每小题2分，共20分

12、）7.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为_【答案】10【解析】设一条直角边为a，则斜边为a+2，另一直角边长为6，解得a=8，a+2=8+2=10故答案为108.如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是_【答案】【解析】解：如图，在RtAOB中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：AB=，AP=AB=，OP=AP-OA=-1，则P表示的实数为1-故答案为：1-9.已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为_【答案】5或【解析】，且，解得：x=3，y=4当x=3，y=4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：；当

13、x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为：故答案为：5或10.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8 cm，正方形A的面积是10cm2，B的面积是11 cm2，C的面积是13 cm2，则D的面积为_cm2【答案】30【解析】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M.根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P、Q的面积的和是M的面积.即A、B、C、D的面积之和为M的面积.M的面积是82=64，A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，11+10+13+x=64，x=30，故答案为30.11

14、.如图，一个梯子长2.5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0.7米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.8米，求梯子顶端下落了_米【答案】0.4【解析】解：在RtABC中，AB=2.5米，BC=0.7米，故AC=（米），在RtECD中，AB=DE=2.5米，CD=0.8+0.7=1.5（米），故EC=（米），故AE=ACCE=2.42=0.4（米）答：梯子下滑了0.4米故答案为：0.4；12.如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为_cm【答案】15【

15、解析】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；底面周长为24cm，cm，cm，故答案为：1513.在中，BC边上的高AD为2，则BC的长为_【答案】1或3【解析】解：由题意，分以下两种情况：如图，当是锐角时，是等腰直角三角形，在中，则；如图，当是钝角时，同理可得：，；综上，的长为1或3，故答案为：1或314.如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在RtABC中，ACb，BCa，ACB90，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为_【答案】110【解析】解：由图可知，（ba）210，4ab601050，2ab50，（a+b）2（ba）2+4ab10+25011

16、0故答案为：11015.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则PABPCD_【答案】45【解析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得BAEPCD由题意可得AP2PE212+225，AE212+3210AE2AP2+PE2APE是等腰直角三角形PAE45PABPCDPABBAEPAE4516.如图ABC中，ACB90，AC12，BC5若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按CAB的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为_时，BCP为等腰三角形【答案】 或20或 或【解析】解：ACB90，ABC是直角三角形，在RtABC中

17、，由勾股定理得：AB13，当点P在AC上时，CPCB5，t5；当点P在AB上时，分三种情况：当BPBC5，如图1所示：则AP1358，t12+820；当CPCB5时，过点C作CMAB于M，如图2所示：则，CM，在RtBCM中，由勾股定理得：BM，BP2BMAP13，t12；当PCPB时，如图3所示：则BBCP，B+A90，BCP+ACP90，AACP，APPC，APPBAB，t12；综上所述，当t5或20或或时，BCP为等腰三角形三解答题（共62分）17.（6分）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我

18、们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的和如图所示摆放，使点，在同一条直线上，中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明请写出证明过程【答案】详见解析【解析】证明：由已知可知，又，是直角三角形，即，18.（8分）如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，请在网格中仅用无刻度直尺画图，（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)在图中画出ABC中AC边上的高BD；(2)在图中过点A画直线l，使直线l平分ABC的面积；(3)在图中画出ABC的角平分线CE；(4)在图中的AC边上画出点F，连接BF，使BF=BC【答案】(1)见解析；(2)见解析

19、；(3)见解析；(4)见解析【解析】(1)解：如图1中，线段BD即为所求；(2)解：如图1中，直线l即为所求；(3)解：如图2中，线段CE即为所求；(4)解：如图2中，点F即为所求19.（8分）如图，在中，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点且(1)求证：(2)，求【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)证明：连接AD，AB=AC，A=90，D为BC中点，AD=BC=BD=CD，且AD平分BAC，BAD=CAD=45，在BDE和ADF中，BD=AD ，B=DAF=45，BE=AF，BDEADF，DE=DF；(2)由（1）得BDEADF，BDE=ADF，BDE+ADE=90，ADF+A

20、DE=90，即：EDF=90，EDF为等腰直角三角形.ED=2，EF=20.（10分）如图，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长米，且米，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长米(1)试判定的形状，并说明理由；(2)求船体移动距离的长度(3)若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析(2)船体移动距离的长度为5米(3)把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒【解析】(1)解：是等腰直角三角形理由如下：由题意可得：米，米，可得（米， AC=AD，又CAD=90，故是等腰直角三

21、角形；(2)解：米，米， （米答：船体移动距离的长度为5米(3)解：船在BD段所用时间为：=5（秒），船在AD段所用时间为：=7.5（秒），5+7.5=12.5(秒)答：把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒21.（10分）如图，已知ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒(1)出发4秒后，求PQ的长；(2)从出发几秒钟后，PQB第一次能形成等腰三角形？(3)当点Q运动到CA上时，求能使BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间

22、，请直接写出t的值【答案】(1)PQ=cm；(2)11秒；(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ为等腰三角形【解析】(1)如图所示：BQ=42=8cm，BP=AB-AP=16- 14=12cm，B= 90，PQ=cm；(2)当PQB第一次形成等腰三角形时，BQ =BP，BQ = 2t，BP= 16-t，2t= 16-t，解得：t=；(3)B = 90，AB =16cm，BC = 12cm，ACcm，当CQ= BQ时，如图 则C=CBQ，ABC= 90，CBQ +ABQ = 90，A+C= 90，A=ABQ，BQ= AQ，CQ=AQ=10cm，BC+ CQ = 22cm，t=22 2=

23、 11秒；当CQ= BC时，如图2， 则BC+CQ=24cm，t=242= 12秒；当BC = BQ时，如图3， 过B点作BEAC于点E，则BE=cm，CE=cm，CQ= 2CE =14.4cm，BC+ CQ = 26.4cm，t=26.42= 13.2秒；综上可知，当t为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ为等腰三角形22.（10分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC300km，BC400km，又AB500km，经测量，距离台

24、风中心260km及以内的地区会受到影响(1)求ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)ACB90；(2)海港C受台风影响，理由见解析（3)台风影响该海港持续的时间为小时【解析】(1)解：AC300km，BC400km，AB500km，AC2+BC2AB2， ABC是直角三角形，ACB90；(2)解：海港C受台风影响，理由：过点C作CDAB， ABC是直角三角形，ACBCCDAB，300400500CD，CD240（km），距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，海港C受台风影响；(3)解：设

25、台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则ECFC260km， 由（2）得：CDAB，CD=240km，EF=2ED，ED100（km），EF200km，台风的速度为28千米/小时，20028（小时）答：台风影响该海港持续的时间为小时 23.（10分）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作周髀算经中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；探索研究：(2

26、)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；问题解决：(3)如图2，若，此时空白部分的面积为_；(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，求该风车状图案的面积【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24【解析】(1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为，空白小正方形的面积为，整个围成的大正方形的面积为，即，故；(2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE可知 ，其中，代入可得，即；(3)由图2可知，则=100，故空白部分的面积为52；(4)由题意可知，风车的周长为 ，其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，且，即，将c=9-b代入得，解得b=4，则