第一章空间向量与立体几何 单元提升试卷（含答案解析）2022-2023学年人教A版（2019）选择性必修第一册

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1、第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1已知空间中四点，则点D到平面ABC的距离为（）ABCD02在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）ABCD3若向量，则向量与的夹角为（）A0BCD4若空间两直线与的方向向量分别为和，则两直线与垂直的充要条件为（）A，（）B存在实数k，使得CD5若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（）ABCD6已知且，则x的值为（）ABC3D-37如图，四面体中，分别为和的中点，且向量与向量的夹角为，则线段长为（）ABC或D3或8四面体中，则（）ABCD二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共

2、20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9以下说法正确的有（）A对，且，就一定有A，B，C，D四点共面；B设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底；C若，则；D正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上10给出下列命题，其中正确的是（）A任意向量，满足B在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D若为正四面体，G为的重心，则11设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）ABCD12如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60，

3、M为与的交点，若，则下列正确的是（）ABC的长为D第卷(非选择题 共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若空间两个单位向量、与的夹角都等于，则_14已知，则_.15正方形的边长是分别是和的中点，将正方形沿折成直二面角 (如图所示).为矩形内一点，如果和平面所成角的正切值为，那么点到直线的距离为_.16已知空间向量（1，1，0），（1，0，2），则在方向上的投影向量为_四、解答题（本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，在直三棱柱中，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系(1)分别写出向量的坐标；(2)求平面的法向量；(3)求平面与平面夹

4、角的余弦值18如图，在直三棱柱中，点分别在棱和棱上，且(1)设为中点，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值19如图，三棱锥，平面，且垂足在棱上，；（1）证明为直角三角形；（2）求点到平面的距离；20如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD底面ABCD，PD=AD=2，点E，F，G分别为PA，AB，BC的中点，平面EFGM棱PC=M(1)试确定的值，并证明你的结论；(2)求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值21如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDP，且(1)求证：平面平面ABCD；(2)若，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值22在如图所示的五面体中，面是边长为

5、2的正方形，面，且，为的中点，N为CD中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离参考答案1C【解析】【分析】根据题意，求得平面的一个法向量，结合距离公式，即可求解.【详解】由题意，空间中四点，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，所以点D到平面ABC的距离为.故选：C.2B【解析】【分析】结合已知条件，利用对称的概念即可求解.【详解】不妨设点关于轴对称的点的坐标为，则线段垂直于轴且的中点在轴，从而点关于轴对称的点的坐标为.故选：B.3D【解析】【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.【详解】设向量与的夹角为，且，所以，所以，故选：D4C【解析】【分析】由空

6、间直线垂直时方向向量，即可确定充要条件.【详解】由空间直线垂直的判定知：.当时，即，两直线与垂直.而A、B、D说明与平行.故选：C5A【解析】【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.【详解】选项A：令，则，A正确；选项B：因为，所以不能构成基底；选项C：因为，所以不能构成基底；选项D：因为，所以不能构成基底故选：A.6B【解析】【分析】转化，由空间向量数量积的坐标表示即得解【详解】由题意，又故解得：故选：B7A【解析】【分析】取AC的中点E，可得，然后利用模长公式即得.【详解】取AC的中点E，连接ME、EN，又，分别为和的中点，MEBC，且，AD，且，向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，

7、又，即线段长为.故选：A.8C【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】解：因为，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以；故选：C9ACD【解析】【分析】根据向量的基本定理即可判断.【详解】对于A，若 与 不共线，则可以将 与看作一组基底，由向量的基本定理可知 与 ，共面，即A，B，C，D在一个平面内；若 与 共线，则 ， ，即A，D，B在同一直线上，故A，B，C，D也在一个平面内；故A正确；对于B， ，即 与 共面，故B错误；对于C，如下图： ， ，故C正确；对于D，由图可知， ， ， ， ，显然， ， 与 共面，即E在平面 上，故D正确；故选：ACD.10CD【

8、解析】【分析】根据相等向量的概念即可判断选项A；根据空间向量的坐标系中，点关于坐标平面对称点的特征即可判断选项B；根据空间向量的基底的概念即可判断选项C；根据空间向量的线性运算和重心的定义即可判断选项D.【详解】A：因为与是一个标量，设，若要，则需要向量方向相同，但不一定相同，所以不一定成立，故A错误；B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误；C：因为是空间的一个基底，所以不共面，假设共面，则存在实数使得，即，所以，方程组无解，所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确；D：，则，又为的重心，所以，故，故D正确.故选：CD11AD【解析】【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；【

9、详解】解：对于A：，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD12BD【解析】【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，A错误，对于B选项，B正确：对于C选项，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.13.【解析】【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为是单位向量，所以有，因为与的夹角都等于，所以，所以有，故答案为：14【解析】【分析】利用向量的坐标运算直接求解即可.

10、【详解】，故答案为：15#【解析】【分析】利用空间向量运算处理，根据直线夹角结合可得，再根据线面夹角运算求解【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系则，设则，则，即平面的一个法向量，则和平面所成角的正切值为，则，则点到直线的距离为故答案为：16【解析】【分析】根据投影向量的定义直接求解.【详解】空间向量（1，1，0），（1，0，2），则, ,所以在上的投影向量为,其坐标为.故答案为：.17(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）分别求出对应点的坐标，利用向量的坐标公式计算即可；（2）利用计算即可得出结果.（3）由（2）计算平面与平面法向量的夹角余弦值即可求得结果.(1)，(2)设平面的法向

11、量为，取，则为平面的一个法向量,平面的法向量可写为；(3)由已知可得面，所以面的一个法向量为，平面与平面夹角的余弦值为.18(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取中点，连接、，即可得到且，从而得到，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；(1)证明：取中点，连接、，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面(2)解：因为直三棱柱中，所以、两两垂直分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面法向量为，则，即，令，得到平面的一个法向量设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为19（1）

12、证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值【详解】（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系，如图：则，于是，即为直角三角形.（2）由（1）可得，故，设平面PBC的法向量为，则，即，取，则，平面PBC的一个法向量为，设点到平面的距离为d,则，所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查了空间坐标系，利用向量法求证线线垂直，点到平面的距离，属于中档题20(1)，证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质，可得PBG

13、M，即可确定的值；（2）建立空间直角坐标系，求出平面EFGM与平面PAD的法向量，再利用向量的数量积可确定夹角的余弦值.(1)在中，因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EFPB又EF平面PBC，PB平面PBC，所以EF平面PBC因为EF平面EFG，平面EFG平面PBC=GM，所以EFGM所以PBGM在PBC中，因为点G为BC的中点，所以点M为PC的中点，即(2)因为底面ABCD为正方形，所以ADCD因为PD底面ABCD，ABCD，平面所以PDAD，PDCD如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），因为E，

14、F，G分别为PA，AB，BC的中点，所以E（1，0，1），F（2，1，0），G（1，2，0）所以设平面EFGM的法向量，则即令x=1，y=1，z=2，于是又因为平面PAD的法向量为，所以所以平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值为21(1)证明过程见解析(2)【解析】【分析】（1）先证明线线垂直，从而证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解线面角.(1)因为平面CDP，平面CDP，所以，因为，且，所以，因为，所以，所以，因为，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以平面平面ABCD(2)因为底面ABCD是矩形，所以ADCD，由第一问可知：，平面ABCD，平面ABCD

15、，所以，所以以D为坐标原点，DE，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为，所以，设平面ADP的法向量，则 ，解得：，令得：，所以，设直线PB与平面ADP所成角为，则22(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；(1)证明：如图建立空间直角坐标系，则，所以，显然平面的法向量可以为，所以，即，又平面，所以平面；(2)解：因为，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为，设二面角为，由图可知二面角为钝角，则，所以二面角的余弦值为；(3)解：由（2）知平面的法向量为，又，设点到平面的距离为，则所以点到平面的距离；