浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021年高一上期中数学试卷（含答案解析）

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1、浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高一上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5. 网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长SIZE 尺码对照表中国鞋码实际标注(同国际码) mm220225230235

2、240245250255260265中国鞋码习惯叫法(同欧码)34353637383940414243一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（ ）A. 45B. 46C. 47D. 486. 在平面直角坐标系中同时作出函数和的图象，可能是（ ）A. B. C. D. 7. 下列函数中，在上单调递增且满足“”的是（ ）A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，函数在上单调递减且，则满足的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的

3、得0分，部分选对的得2分9. 已知，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10. 下列各组函数中，相同的函数有（ ）A. 函数与函数B. 函数与函数C. 函数与函数D. 函数与函数11. 已知函数，下列判断正确是（ ）A. 是偶函数B. 当时，在上单调递增C. 当时，的值域是D. 关于方程的不同实根个数可以是个12. 设正整数，其中对于任意， 函数满足则（ ）A. B. C D. 非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若幂函数是偶函数，则_14. 已知正实数满足，则的最小值是_15. 以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示

4、，在数轴上截取与闭区间对应的线段，该线段长度为个单位将该线段对折后（坐标对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标和对应的点被拉到坐标，原来的坐标对应的点被拉到坐标，等等）接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程在第次操作完成后，原闭区间上恰好被拉到坐标的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为，例如则集合可以用列举法表示为_16. 已知函数，若对任意，均有，则实数的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知

5、函数的定义域为集合，集合（1）若，求；（2）在 这两个条件中选择一个作为已知条件，补充到下面的问题中，并求解问题：若 ，求实数的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18. 已知函数，其中是不为零的常数（1）若，求使得的实数的取值范围；（2）若在区间上最大值为，求实数的值19. 已知是定义在上的奇函数，且当时，（1）求函数在上的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减20. 已知函数，其中（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多洗掉的农药也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用单位量

6、的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗之前残留的农药量之比为函数（1）试规定的值，并解释其实际意义；（2）根据题意，写出函数的两个性质；（3）若现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？说明理由22. 设集合，（1）若，求集合和（用列举法表示）；（2）求证：；（3）若，且，求实数取值范围浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高一上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，

7、所以，故选：B2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定性质进行判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是，故选：C3. 已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的单调性进行判断即可【详解】函数在上单调递增，因为，所以，即，函数是实数集上的增函数，因为，所以，即，即，故选：D4. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】解出不等式，根据集合关系可判断.【详解】由可得，解得

8、或，因为或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5. 网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长SIZE 尺码对照表中国鞋码实际标注(同国际码) mm220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(同欧码)34353637383940414243一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（ ）A. 45B. 46C. 47D. 48【答案】C【解析】【分析】设出一次函数，采用待定系数法求出，令即可求解.【详解】设脚长为，鞋号为码，由数据可知

9、，脚长和鞋号符合一次函数关系：，将代入可得，当时，故他最适合穿的鞋号是47码.故选：C6. 在平面直角坐标系中同时作出函数和的图象，可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先判断一次函数的单调性，再对指数函数的底数分类讨论，即可得到函数图象特征，从而选出正确结果.【详解】函数在定义域上单调递增，故排除A；直线过点，函数过点，当时，指数函数在定义域上单调递增，当时，指数函数在定义域上单调递减，对于B，在的上方，应该单调递增，矛盾，排除B；对于C，在的下方，且指数函数在定义域上单调递减，C正确；对于D，位于的下方，而指数函数在定义域上单调递增，故D不正确；故选：C.7. 下

10、列函数中，在上单调递增且满足“”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意依次判断函数单调性和满足条件即可.【详解】对A，在上单调递增，即，故A错误；对B，在上单调递增，即，即，则，则，即，故B正确；对C，在上单调递增，即，即，即，即，故C错误；对D，上单调递减，故D错误.故选：B.8. 若定义在上的函数满足，函数在上单调递减且，则满足的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得对称中心为，再结合条件画出大致图象，数形结合即可求解的取值范围.【详解】因为，即，对称中心为，又在上单调递减且，故大致图象为：由图可知，若，则满足或，即或，

11、解得.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 已知，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可.【详解】A：显然成立，但是不成立，故本选项命题是假命题；B：因为，所以，而，所以有，因此本选项命题是真命题；C：因为，所以，因此有，而，所以，因此本选项命题是假命题；D：因为，所以，所以有，即，因此本选项命题是真命题，故选：BD10. 下列各组函数中，相同的函数有（ ）A. 函数与函数B.

12、函数与函数C. 函数与函数D. 函数与函数【答案】ACD【解析】【分析】根据函数相等的定义逐个分析可得答案.【详解】对于A，与是同一函数，故A正确；对于B，与对应关系不同，故B不正确；对于C，函数与函数的对应关系相同，定义域相同，是同一函数，故C正确；对于D，函数与函数，对于定义域内的每一个值根据对应法则都对应同一个函数值，是同一函数，故D正确.故选：ACD11. 已知函数，下列判断正确的是（ ）A. 是偶函数B. 当时，在上单调递增C. 当时，的值域是D. 关于的方程的不同实根个数可以是个【答案】ABC【解析】【分析】结合奇偶性定义可判断A正确；分类讨论正负，可判断B正确；结合基本不等式可判

13、断C正确；因为函数为偶函数，故根的个数也为偶数个，判断D错.【详解】，即，故函数为偶函数，故A正确；当时，当时，在上单调递增；当时，当且仅当时取到等号，结合对勾函数性质可知，当时，单调递增；当，时，可直接判断为增函数，故当时，单调递增；综上所述，当时，在上单调递增，故B正确；当时，当且仅当时取到等号，故的值域是，故C正确；因为函数为偶函数，故的解总是偶数个，故不可能有3个实数根，D错误.故选：ABC12. 设正整数，其中对于任意， 函数满足则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】结合定义可直接证明A正确；对B，C的处理，需结合拼凑法，使和能够应用的形式，即可判断正误；对D

14、，处理得，再结合的定义即可求解.【详解】由，可知，故A正确；，所以当取0或1时，当取2时，取0或1时，依此类推，可得对于任意都有，故B正确；，所以当取0或1时，故，C错；，令，故，故D正确.故选：ABD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若幂函数是偶函数，则_【答案】【解析】【分析】先根据函数为幂函数求出或1，再根据奇偶性验证即可.【详解】是幂函数，解得或1，当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不满足题意，综上，.故答案为：.14. 已知正实数满足，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由等式分离，再结合基本不等式放缩，解关于的一元二次不等式，求出范围，进而

15、求解.【详解】由，故，即，令，则有，同时平方化简得，即，又，故解得，此时，当且仅当时取到等号，故的最小值是12.故答案为：1215. 以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间对应的线段，该线段长度为个单位将该线段对折后（坐标对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标和对应的点被拉到坐标，原来的坐标对应的点被拉到坐标，等等）接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程在第次操作完成后，原闭区间上恰好被拉到坐标的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一

16、个集合，记为，例如则集合可以用列举法表示为_【答案】【解析】【分析】根据题中所给的数学模型进行求解即可.【详解】第一次操作后，每一部分的中点在操作之后对应的坐标都是2，与对应点的坐标为2，只有一个，因此；第二次操作后，与4对应的点应取0和2的中点1，2和4的中点3，共2个，因此；第三次操作后，与4对应的点应取0和1的中点，1和2的中点，2和3的中点，3和4的中点，故答案为：16. 已知函数，若对任意，均有，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】结合分段函数画出图象，判断函数单调性，结合单调性和定义域解不等式即可【详解】如图，为的基本图象，由图可知，在上单调递增，因为，所以，所以， 所以，

17、要使在上恒成立，接下来分类讨论，当时，恒成立，；当时，分离参数得，令，则单减，故；当时，分离参数得，则，故；综上所述，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数的定义域为集合，集合（1）若，求；（2）在 这两个条件中选择一个作为已知条件，补充到下面的问题中，并求解问题：若 ，求实数的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由已知求得集合,计算即可得出结果.（2）选等价于，分当， ，计算即可，选时，分，两类计算可得出结果【小问1详解】因为的定义域需满足，解得，即

18、，若，则, 或.所以【小问2详解】选等价于当时，等价于，即当时，等价于，等价于综上所述，选的时候，若，等价于，即若，等价于即无解综上所述，18. 已知函数，其中是不为零的常数（1）若，求使得的实数的取值范围；（2）若在区间上的最大值为，求实数的值【答案】（1） （2） 或 【解析】【分析】（1）将代入求出，再结合指数函数性质解不等式即可；（2）结合复合函数单调性对分类讨论，确定函数单调性和最值，代值运算求解即可；【小问1详解】；【小问2详解】结合复合函数同增异减性质可知，当时，在上单调递增，此时，当时，在上单调递减，此时，综上所述， 或 19. 已知是定义在上的奇函数，且当时，（1）求函数在上

19、的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性的定义进行证明即可.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以有，当时，所以；【小问2详解】，当时，即因为，所以 ，因此，故，于是在上单调递减20. 已知函数，其中（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若存在，使得，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据不等式的解集可知对应方程的根，代入方程即可求解；（2）原问题可转化为存在，使得，利用对勾函数的单调性求最大值即可.【小问1详解】由题意知不等式的解集

20、为，故是方程的根，故，解得【小问2详解】等价于存在，使得此时，令 ，（由双勾函数的性质）可得 在区间上的最大值是，故.21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多洗掉的农药也越多，但总还有农药残留在蔬菜上设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗之前残留的农药量之比为函数（1）试规定的值，并解释其实际意义；（2）根据题意，写出函数的两个性质；（3）若现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？说明理由【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）代入计算，表示出实际意义即

21、可；（2）从函数的单调性，值域两方面进行判断即可；（3）利用差比法进行求解判断即可.【小问1详解】，意义：在没清洗的时候，蔬菜上的农药量保持不变，【小问2详解】由题意可知：在上单调递减，且【小问3详解】清洗一次时，残留量与没清洗之前的比值为平均分成两份清洗两次时，残留量与没清洗之前的比值为可得当时，平均分成两次洗，残留量较少当时，两种方法残留量相同当时，一次性洗残留量较少22. 设集合，（1）若，求集合和（用列举法表示）；（2）求证：；（3）若，且，求实数的取值范围【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据题意，得到方程和方程，即可求解集合；（2）对于任意，得到，得到，即可求解；所以.（3）记，得到解的横坐标，两式相减得到，转化为方程无解，或其解为，结合，即可求解【小问1详解】解：因为函数，由，可得方程，解得，所以；又由，即方程，解得或或，所以.【小问2详解】解：对于任意，即满足，可得，即，所以.【小问3详解】解：记，则关于的方程的解为方程组解的横坐标，两式相减可得，要使得与有相同的解，则方程的解集与相同，所以方程无解，即无解，或其解为，所以，解得，所以实数的取值范围是