浙江省温州市新力量联盟2021年高一上期中联考数学试卷（含答案解析）

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1、浙江省温州市新力量联盟2021-2022学年高一上期中联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分 1 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. .若，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件3. 下列四组中，与表示同一函数的是A ，B. ，C. ，D. ，4. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 5. 已知，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）A. B. C. D. 6. 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）A. 如果，那么；B. 如果，那么；C. 对任

2、意实数和，有，当且仅当时等号成立；D. 如果，那么7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 8. 若实数、满足，则（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分9. 已知集合，则（ ）A. B. C D. 10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（

3、 ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则11. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）A. B. C. D. 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在上是增函数D. 的值域是非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计2

4、0分13. 函数的定义域是_.14. 已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是_15. 在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了，四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为，则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为_.(填入，中的一个)16. 若实数满足，求的最小值为_.四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （1）求值：；（2）已知，求的值.18. 1.已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围19.

5、 已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数，的值.（2）当时，解关于的不等式.20. 已知函数（是实常数）是奇函数.（1）求实数的值（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；21. 由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且游客人均消费近似地满足（元），.（1）求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中的最小值为，若以0.3（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成

6、本？22. 已知函数的定义域是，令（1）写出的定义域，并求的最小值；（2）若对于任意定义域中的实数、，恒成立，求实数的取值范围浙江省温州市新力量联盟2021-2022学年高一上期中联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分 1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合元素与集合关系判断即可【详解】由可知，故D正确，A项表示不正确，故ABC错误.故选：D2. .若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意，由充分条件和必要条件的概念即可得解【详解】由

7、题意，由，可得，故“”是“”的充分条件；由不能推出，故“”是“”的不必要条件故选：A3. 下列四组中，与表示同一函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】A项对应关系不同；B项定义域不同；C项定义域不同，初步判定选D【详解】对A，与对应关系不同，故A错对B，中，定义域，与定义域不同，故B错对C，中，定义域，与定义域不同，故C错对D，当时，当时，故，D正确故选D【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样）4. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】全称性命题的否定是特称性命题，所以

8、命题“”的否定是“”.故选：C.5. 已知，将表示成分数指数幂，其结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由根式与分数指数幂的互化规则，将所给的根式化简，即可将其表示成分数指数幂，得解.【详解】解：因为，故选C.【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.6. 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）A. 如果，那么；B. 如果，那么；C. 对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；D. 如果，那么【答案】C【解析】【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围

9、正方形的面积，由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.故选：C.7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数奇偶性，再根据特殊点的函数值选出正确答案.【详解】对于，为偶函数，图像关于y轴对称，排

10、除D；由，排除B；由，排除C.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象8. 若实数、满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】不等式可化为，根据是增函数可求.【详解】不等式化为，是增函数，即.故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分9. 已知集合，则

11、（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】先利用一元二次不等式解法化简集合B，再利用交集和并集的运算求解.【详解】因为，所以，所以所以，.故选：AD.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.【详解】A选项：，但是，A不正确；B选项：因为成立，则，那么，B正确；C选项：，但是，C不正确；D选项：因为，则，又，

12、所以，D正确.故选：BD【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.11. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据“同族函数”的定义，结合分析函数的单调性，奇偶性及图象分析，举例可以判定ACD正确，由反比例函数的图象及其性质可以判定B错误.【详解】解：对于A，当定义域分别为与时，值域均为，所以为同族函数，所以A正确；对于B，在定义域内，函数图象在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，不满

13、足定义域不同时，值域相同，所以B错误；对于C，定义域为，函数在(0,1上单调递减，在1,+)上单调递增，当定义域分别为与时，值域均为，所以C正确对于D，定义域为R，且，函数偶函数，当定义域为-1,0和0,1时值域相同，所以D正确故选：ACD【点睛】本题以新定义为载体，考查学生对函数三要素的理解，属于基础题关键是结合函数的单调性，奇偶性和图象分析.12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）A. 是偶函

14、数B. 是奇函数C. 在上是增函数D. 的值域是【答案】BC【解析】【分析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，.，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，是奇函数，B正确；在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；， ，D错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.非选择题部分三

15、、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分13. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负分母不为零得出关于的不等式组，解不等式组即可得出该函数的定义域.详解】由题意可得，解得且，所以，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，要结合一些常见的求定义域的基本原则列出不等式（组）来求解，考查运算求解能力，属于基础题.14. 已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是_【答案】【解析】【分析】设出幂函数的函数表达，然后代点计算即可.【详解】设，因为，所以，所以函数的解析式是故答案为：.15. 在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了，

16、四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，的值越高则评价效果越好.若某城区在自查过程中各项指标显示为，则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为_.(填入，中的一个)【答案】【解析】【分析】从分式性质中寻找到的变化规律，结合变化规律，即可求解.【详解】因为，都是整数，可得分子越大或分母越小时，的值越大，而分子增加1个单位时，分母越小时，的值增长越多，由，可知分母最小，所以增大1个单位时会使得的值增加最多.故答案为：.16. 若实数满足，求的最小值为_.【答案】.【解析】【分析】将方程转化为关于的函数，画出函数的图像，根据线性规划的知识，求得的最小值

17、.【详解】依题意，验证可知，故可化为（，），画出其图像如下图所示.将基准目标函数向上平移到点时，取得最小值为.故答案为.【点睛】本小题主要考查根据方程求线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （1）求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）6；（2）.【解析】【分析】（1）利用分数指幂的运算性质求解即可，（2）利用幂的运算性质将化成含的式子求解即可【详解】解：（1）（2）18. 1.已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围【答

18、案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求出，再求出；（2）根据得到，然后分类讨论，和两种情况下的的范围，最后求并集，得到实数的取值范围.【小问1详解】（1）当时， ，因此，； 【小问2详解】 当时符合题意，此时，即； 当时，要满足，则综上所述，当时，实数的取值范围是19. 已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数，的值.（2）当时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）详见解析【解析】【分析】（1）由的解集为，可知和是方程的两实数根，根据韦达定理，可得到关于的方程组，求解即可；（2）当时，进而分，和三种情况，分别解不等式，即可求出答案.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以和是方程的两实数

19、根，则，即.（2）当时，.若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得.20. 已知函数（是实常数）是奇函数.（1）求实数值（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；【答案】（1） （2）证明见解析；解集为【解析】【分析】（1）由函数是奇函数得可求出；（2）任取，且，计算化简并判断正负即可证明，利用奇函数转化为，再根据单调性可解出.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，此时，满足，故是奇函数，所以；【小问2详解】在上任取，且，即，又 在上单调递增， 可化简为：，即，解得或不等式的解集为21. 由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，

20、某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且游客人均消费近似地满足（元），.（1）求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式；（2）记（1）中的最小值为，若以0.3（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？【答案】（1）；（2）千元，能收回投资成本.【解析】【分析】（1）旅游收入由旅游人数与游客人均消费的乘积求解. （2）由（1）的结果，根据分段函数的性质，分和 ，利用基本不等式和函数的单调性求解.【详解】（1），；（2）当时，当且仅当，即时取等号，此时最小值为1152，当

21、时，是减函数，当时，所以，所以，所以千元，万元万元，能收回投资成本.【点睛】思路点睛：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解22. 已知函数的定义域是，令（1）写出的定义域，并求的最小值；（2）若对于任意的定义域中的实数、，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）定义域为；最小值为 （2）或【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，结合函数的单调性求出的值域，进而结合二次函数的性质即可求出结果；（2）由恒成立可转化为，结合（1）知，进而可求出结果.【小问1详解】由可得，所以的定义域为因为，则 在上单调递减，在上单调递增所以当即时，g(x)有最小值为【小问2详解】因为对于任意定义域中的实数、，恒成立可得，由（1）知，当时，成立，所以符合题意当时，则，解得或当时，则，解得所以实数的取值范围是：或【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.