江苏省常州市金坛区2021年高一上期中数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省常州市金坛区2021-2022学年高一上期中数学试题一单项选择题（本题共8小题，每题5分共40分）1. 设全集.集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 若、都是正实数，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 75. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 若，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 7. 已知集合，若则实数的取值集合为（ ）A. B. C. D. 8.

2、 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）A. B. C. D. 二多项选择题（本题共4小恩，每题5分共20分，每题四个选项中，有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知集合，则下列说法中正确的是（ ）A. 但B. 若，其中，则C. 若，其中，则D 若，其中，则10. 如图所示的电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图有（ ）A. B. C. D. 11. 在下列命题中不正确的是（ ）A. 当时，则B. 当时，则C. 当时，函数的最小值是3D. 若，则，当且仅当时，等号成立12. 已知函数（其中）.则以下命题正确是（ ）A. 若函数的

3、值域为，则B. 若函数有唯一零点，则C. 若函数在区间上有且仅有一个零点，则取值范围是D. 若关于的不等式恒成立，则的最小值为3三填空题（本大题共4小题，每小还5分，共20分）13. 若，则称的数量级为，已知宇宙中某星球的质量为，且满足，则的数量级为_.14. 若，且，则的值为_.15. 若实数满足，则的取值范围是_.16. 已知不等式的解集为，则实数的值为_，函数的所有零点之和等于_.四解答题：（本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. 求下列各式的值：（1）；（2）.18. 已知，且M=xm-2xm+2 ，且或.（1）若，求实数的值

4、；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19. 求解下列问题：（1）若，且，求的最小值；（2）若，且，求的最小值.20. 已知函数.（1）若函数为偶函数，求实数值；（2）若函数在区间上具有单调性，求实数取值范围；（3）若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围.21. 某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足：，其中，当药剂在水中的度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂的质

5、量为，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？（2）如果投放的药剂的质量为，为了使在前9天（从投放约剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.22. 已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：对任意的实数，恒成立；当时，；.（1）求及的值；（2）求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数；（3）若，求实数的取值范围.江苏省常州市金坛区2021-2022学年高一上期中数学试题一单项选择题（本题共8小题，每题5分共40分）1. 设全集.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】由已知可

6、得，因此，.故选：D.2. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得出，即可解得实数的取值范围.【详解】因为命题“，”为假命题，则，解得.故选：B.3. 若、都是正实数，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法、基本不等式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为、都是正实数，若，取，则，即“”“”；若，由基本不等式可得，即“”“”.因此，“”是“” 必要不充分条件.故选：B.4. 若，则的值为（ ）A. B. C. 1

7、D. 7【答案】C【解析】【分析】利用根式的性质可求的值.【详解】,故选：C.5. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合图象可知，分段函数为减函数，则两段函数都递减，且第一段的右端点不在第二段左端点的下方，然后可得.【详解】因为函数是上的减函数，所以2-m1xx3=xx3，由题意可知，.故选：D.二多项选择题（本题共4小恩，每题5分共20分，每题四个选项中，有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知集合，则下列说法中正确的是（ ）A. 但B. 若，其中，则C. 若，其中，则D. 若，其中，则【答案】B

8、C【解析】【分析】A选项，求出，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误.【详解】，故，所以，A错误；，其中，故，B正确；，其中，故，C正确；因为，若，此时无意义，故，D错误.故选：BC10. 如图所示的电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图有（ ）A B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】分别分析四个选项中的电路，选出开关S闭合灯一定亮，灯亮时，开关S一定闭合的选项即可.【详解】A:当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，也可能是S上方开关闭合，因此“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件，A不正确;B: 当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡

9、L亮时，只可能是S开关闭合，因此B正确;C: 当开关S闭合时，灯泡L不一定亮，所以C不正确;D: 当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，只可能是S开关闭合，因此D正确.故选:BD.11. 在下列命题中不正确的是（ ）A. 当时，则B. 当时，则C. 当时，函数的最小值是3D. 若，则，当且仅当时，等号成立【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式或反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，由基本不等式有，但，故等号不可取，故，故A正确.对于B，取，则，此时不成立，故B不正确.对于C，因为，故，故等号不可取，故的最小值不是3，故C错误.对于D，故，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：BC.

10、12. 已知函数（其中）.则以下命题正确的是（ ）A. 若函数的值域为，则B. 若函数有唯一零点，则C. 若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是D. 若关于的不等式恒成立，则的最小值为3【答案】ABD【解析】【分析】化简函数，结合二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，若函数的值域为，可得，解得，所以A正确；若函数有唯一零点，可得，所以，所以B正确；由函数，可得函数在单调递增，要使得函数在区间上有且仅有一个零点，则满足，可得，即实数的取值范围是，所以C不正确；由不等式恒成立，即不等式恒成立，因为，所以的最大值为，所以，所以的最小值为3，所以D正确.故选：ABD.

11、三填空题（本大题共4小题，每小还5分，共20分）13. 若，则称的数量级为，已知宇宙中某星球的质量为，且满足，则的数量级为_.【答案】【解析】【分析】利用对数式与指数式的互化可得出，即可得出的数量级.【详解】因，故数量级为.故答案为：.14. 若，且，则的值为_.【答案】2【解析】【分析】根据等量关系得到，进而利用对数运算法则进行计算.【详解】由题意得：，即，即，则故答案为：215. 若实数满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知条件，应用基本不等式可得，即可求目标式的范围，注意等号成立条件.【详解】由题设，当且仅当时等号成立，所以，可得.故答案为：16. 已知不等式的解集为，则

12、实数的值为_，函数的所有零点之和等于_.【答案】 . ； . .【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集及根与系数关系求参数a、b，再由根系关系求所有零点之和.【详解】由题设，易知：是的两个根，则，所以，对于，其所有零点之和为.故答案为：，.四解答题：（本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）17. 求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则，准确运算，即可求解；（2）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.【小问1详解】解：根据对数的运算法则，可得.【小问2详解】解：根据指数幂的运算公式

13、，可得.18. 已知，且M=xm-2xm+2 ，且或.（1）若，求实数的值；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）根据集合的运算可得出关于实数的等式组，由此可解得实数的值；（2）由题意可知，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为M=xm-2xm+2，或，且，所以， ，解得.【小问2详解】解：因为是的充分不必要条件，则，则或，解得或.19. 求解下列问题：（1）若，且，求的最小值；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用1的代换结合基本不等式可求最小值.（2）因为，故可利

14、用基本不等式求目标代数式的最小值.【小问1详解】因为，且，所以，则.当且仅当时，即时，也即时，上式取等号，故当时.【小问2详解】因为，且，所以，当且仅当吋，又，所以当且仅当时，上式取等号，故当时，20. 已知函数.（1）若函数为偶函数，求实数的值；（2）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上不具有单调性，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）由偶函数性质可得都有成立，即可得的值；（2）（3）根据二次函数的性质，结合给定区间的单调性求参数范围即可.【小问1详解】因为定义在上的函数为偶函数所以对，都有成立，即对，都有成立，整理可得：都

15、有成立，则，即所求实数的值为，【小问2详解】因为函数的对称轴为，当时，即时，此时，二次函数在上递减当时，即时，此时，二次函数上递增，由知：要使函数在上具有单调性，则的取值范围为.小问3详解】因为函数在上不具有单调性，则必有，解得,所以要使函数在上不具有单调性，则的取值范围为.21. 某自来水水源地污染超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足：，其中，当药剂在水中的度不低于5（毫克/升）时称为有效净化：当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂

16、的质量为，试问自来水达到有效净化总共可以持续多少天？（2）如果投放的药剂的质量为，为了使在前9天（从投放约剂时算起到第9天结束）之内的自来水达到最佳净化标准，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.【答案】（1）21天 （2）【解析】【分析】小问1：当时，求出的表达式，自来水达到有效净化只需，讨论求解不等式即可；小问2：分析函数的单调性从而求得函数值域，根据最佳净化标准的要求，列不等式求解即可【小问1详解】当时，当时，恒成立，即当时，自来水达到有效净化的标准；当时，由，解得即当时，自來水达到有放净化的标准.由可知当时，自来水均能达到有效化的标准也即自来水达到有效净化一共可持续21天，【小问2详解】

17、因为从投放药齐第1天算起到第9天结束，所以当时，设，则，即则函数在区间上为增函数，故，即，当时，设.则，即则函数在区间上为淢函数，故，即；由得又因为从投放药剂第1天算起到第9天结束，期间自来水要达到最佳浄化标准，所以必有.解得即应该投放的药剂质量的取值范围为22. 已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：对任意的实数，恒成立；当时，；.（1）求及的值；（2）求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的增函数；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）.【解析】【分析】（1）在等式中，令可求得的值，令，结合可求得的值；（2）在等式中令可证得函数为奇函数，然后任取、，并且，根据函数单调性的定义可证得函数为上的增函数；（3）利用（2）中的结论将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为对任意的实数、，恒成立，所以在上式中令得，即，又在上式中令，得.又，.【小问2详解】证明：在等式中令得.即，且定义域为，则函数为奇函数.又由已知可得：当时，任取、，并且，则，即，所以，即，则函数在区间上为增函数.【小问3详解】解：因为对任意的实数、，恒成立，令，则，即，又因为，所以，又由（2）知函数为上的奇函数，则，即，又因为，所以，又由（1）知，即，则，也即，又由（2）知函数为上的增函数，所以，即，解得或，故所求实数的取值范围为.