北京市海淀区2021年高二上期中数学试卷(含答案解析)
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1、2021-2022学年北京市海淀区高二(上)期中数学试卷一、选择题1. 长方体中,化简( )A. B. C. D. 2. 已知,若,则实数,的值分别为( )A. ,B. ,C. 5,2D. ,3. 过点且与向量垂直的向量( )A. 有且只有一个B. 有无数个且共面C. 只有两个且方向相反D. 有无数个且共线4. 若直线的方向向量为,平面的法向量为,则能使的是( )A. ,B. ,C. ,D. ,5. 若平面的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面的夹角为,则下列关系式成立的是A. B. C. D. 6. 已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为,则为( )A. 2B. 4C. 6D. 以上都
2、不对7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. B. C. D. 8. 已知,是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A. 若,垂直于同一平面,则与平行B. 若,平行于平面,则与平行C. 若,不平行,则与不可能垂直于同一平面D. 若,不平行,则在内不存在与平行的直线9. 如图已知正方体,M,N分别是,的中点,则( )A. 直线与直线垂直,直线平面B. 直线与直线平行,直线平面C. 直线与直线相交,直线平面D. 直线与直线异面
3、,直线平面10. 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 二、填空题11. 已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、,则这个长方体的外接球的表面积为_.12. 半径为的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为_13. 平面的法向量为,若向量,则直线与平面的位置关系为_14. 已知,则以,为邻边的平行四边形的面积为_.15. 正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为3,则侧面与底面所成二面角的余弦值为_16. 已知关于向量命题,(1)是,共线的充分不必要条件;(2)若,则存在唯一的实数,使;(3),则;(4)若为空间的一个基底,则构成
4、空间的另一基底;(5)在以上命题中,所有正确命题的序号是_三、解答题17. 正四棱柱中,为中点,为下底面正方形中心求:(1)异面直线与所成角的余弦值;(2)二面角的余弦值;(3)点到平面的距离18. 如图,在三棱柱中,顶点在底面上的射影恰为点,且(1)分别求出与底面、棱所成的角的大小;(2)在棱上确定一点,使,并求出二面角平面角的余弦值19. 在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点(1)证明:ACSB;(2)求二面角N-CM-B正切值大小;(3)求点B到平面CMN的距离2021-2022学年北京市海淀区高二(上)期中
5、数学试卷一、选择题1. 长方体中,化简( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】如图:,故选:C.2. 已知,若,则实数,的值分别为( )A. ,B. ,C. 5,2D. ,【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的共线得到方程组即可求解【详解】,故选:A3. 过点且与向量垂直的向量( )A. 有且只有一个B. 有无数个且共面C. 只有两个且方向相反D. 有无数个且共线【答案】B【解析】【分析】以向量为法向量,且过点的平面有且只有一个,设为平面,则平面中过点的向量都符合题意,从而得到结果【详解】由题意可知,以向量为法向量,且过点的平面有且只有
6、一个,设为平面,则平面内过点的向量都与向量垂直,这样的向量有无数个且共面,故选:B4. 若直线的方向向量为,平面的法向量为,则能使的是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】【分析】由题可知,要使直线与平面垂直,即求直线的方向向量和平面的法向量共线即可,结合向量坐标即得.【详解】直线的方向向量为,平面的法向量为,当,时满足,对于A、B、D显然不存在向量共线的条件,故错误,故选:C5. 若平面的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面的夹角为,则下列关系式成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据线面角的正弦值的计算公式,判断出正确选项.【详解】由于直线与平面的
7、夹角为,其中,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法,属于基础题.6. 已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为,则为( )A. 2B. 4C. 6D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】写出点关于平面的对称点的坐标,再求的值【详解】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为,所以故选:A7. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,利用得到关于的方程,解方程即可得到
8、答案.【详解】如图,设,则,由题意,即,化简得,解得(负值舍去).故选:C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算,考查学生的数学计算能力,是一道容易题.8. 已知,是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A. 若,垂直于同一平面,则与平行B. 若,平行于平面,则与平行C. 若,不平行,则与不可能垂直于同一平面D. 若,不平行,则在内不存在与平行的直线【答案】C【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】A,若,垂直于同一平面,则与不一定平行,所以排除A.B,若,平行于平面,则与不一定平行,所以排除B.C,若与垂直于同一
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