天津市南开区2021年高三上期中数学试卷（含答案）

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1、天津市南开区2021-2022学年高三上期中数学试题参考公式：球的表面积公式，其中R表示球的半径.柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若全集，则（ ）.A.B.C.D.2.命题“，”的否定是（ ）.A.，B.，C.，D.，3.己知在复平面内，复数对应的点是，则复数的共扼复数（ ）.A.B.C.D.4.函数的图象大致为（ ）.A.B.C.D.5.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.已知，若，则的值是（ ）.A.2B.-2C.1D.-17.已，

2、则a，b，c的大小关系为（ ）.A.B.C.D.8.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）.A.B.C.D.9.设函数.若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）.A.B.C.D.第卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2.本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。10.设i为虚数单位，则实数_.11.计算：_.12.已知体积为的圆柱的底面是一个球的截面，圆柱的底面积为，则该球的表面积是_.13.曲线在处的切线方程为_；若该切线也是曲线的切线，则_.14.已知正实数a，b满足，则的最小值为_.15.边长为a的菱形满足，则_；一

3、直线与菱形的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若，则_.三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.（）求；（）求；（）求的值.17.（本小题满分15分）设二次函数满足条件：当时，的最大值为0，且成立；二次函数的图象与直线交于，两点，且.（I）求的解析式；（）求的解集；（）求最小的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立.18.（本小题满分15分）如图，已知多面体，均垂直于平面，.（）证明：平面；（）求平面与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在一点，使直线与平面所

4、成的角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.19.（本小题满分15分）已知函数的导数为，函数.（）求；（）求最小正周期及单调递减区间；（）若，不是单调函数，求实数的取值范围.20.（本小题满分16分）已知函数，.（）当时，求的极大值；（）求的单调区间；（）当时，设函数，若实数满足：且，求证：.20212022学年度第一学期南开区期中考试试卷参考答案高三年级 数学学科一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题号123456789答案BCDABACDC二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）10.0；11.；12.13.，2（第一个空2分，第二个空3分）；14.；15.

5、0，（第一个空2分，第二个空3分）.三、解答题：（其他正确解法请比照给分）16.解：（）由余弦定理得，所以，即，解得.所以.（）由正弦定理，得，解得.（）由，可知为锐角.所以由（）可得.所以，所以.17.解：（）由知函数的对称轴为，由的最大值为0，可设.令，得，由得，解得.所以.（）由（）知，即，解得或，所以的解集为.（）由可得，即，解得.又在时恒成立，可得，由（2）得.令，易知单调递减，所以，由于只需存在实数，故，则能取到的最小实数为-9.此时，存在实数，只要当时，就有成立.18.解：（）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知各点坐标

6、如下：，因此，由得.由得.所以平面.（）设平面与平面所成的角为.由（）可知，设平面的法向量为，由得可取.设平面的法向量，由得可取.所以，所以.因此，平面与平面所成角的正弦值是.另解：因为平面，所以，所以即为平面与平面所成角的平面角.因为，所以.（）设点坐标为，则，依题意有，解得，.所以的长为或.（19）解：（）.（），所以的最小正周期为，由，得，所以的单调递减区间为，.（），因为，所以，所以，所以，若函数不是单调函数，则.20.解：函数的定义域为.（）当时，令得.列表：1+0-极小值所以的极大值为.（）.令得，记.（）当时，所以在区间单调递减；（）当时，当且仅当时，所以在区间单调递减；（）当时，由得，若，则，由，得，；由，得.所以，的单调递减区间为，单调递增区间为；若，由（）知单调递增区间为，单调递减区间为；若，则，由，得；由，得.所以，的单调递减区间为，单调递增区间为.（），由，得.因为，所以（舍），或.所以.由得（*）因为，所以（*）式可化为，即.令，整理，得.记，令得（舍），列表：-+所以，在单调递减，在单调递增，又因为，所以，从而.