江苏省常州市2021-2022学年高三上期中数学试卷（含答案解析）

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1、江苏省常州市2021-2022学年高三上期中数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知角是的内角，则“”是“”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件4. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员.在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（ ）A. B. C. D. 5. 已知函数.若，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）A. B.

2、C. D. 6. 已知，则（ ）A. -2B. -1C. 0D. 27. 已知函数，则（ ）A. 5100B. 5150C. 5200D. 52508. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A. B. C. D. 二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）A. 随机变量的均值为10B. 随机变量的方差为10C D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）A B. C. D. 11. 已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，则（ ）A. B. C. 的

3、值是中最小的D. 使成立的最大正整数n的值为403912. 已知函数，其中，且，则（ ）A. 为奇函数B. 为周期函数C. 若，则在区间上单调递增D. 若，则在区间内没有零点三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个直角三角形的三条边的长度成等差数列，则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是_.14. 已知为锐角，且满足，则的值为_.15. 正方体的棱长为2，点O为线段的中点，三棱锥的体积为_，过点O且垂直于的平面与底面ABCD的交线长为_.16. 已知函数，对于任意，恒成立，则整数a最大值为_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 为了

4、解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图22列联表（将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”）.性别非球迷球迷合计男女20110合计200（1）根据已知条件完成上图22列联表；（2）据此调查结果，是否有的把握认为“球迷”与性别有关？附：（其中）.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，点D为边BC上一点，.（1）求的大小；（

5、2）若，求|AB|.19. 如图，在四棱台中，底面四边形是矩形，平面平面，平面平面.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求四棱台的高.20. 已知数列满足，且（且）.（1）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（2）求的前项和.21. 全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神.现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立.第1次第2次第3次第4次第5次甲8692878986乙90868

6、98887（1）从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；（2）从5次训练中随机选取2次，用表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求的分布列和数学期望；（3）根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由.（注：样本数据的方差，其中）22 已知函数.（1）求函数的极大值；（2）设实数a，b互不相等，且，证明：.江苏省常州市2021-2022学年高三上期中数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再根据集合的补集、交集定义直接计算即得.【详解】解不等式得：或，即或，而，

7、则，所以.故选：A2. 已知数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定递推公式求出即可计算作答.【详解】因数列的前n项和为，则，所以.故选：D3. 已知角是的内角，则“”是“”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】在中，由求出角A，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】因角是的内角，则，当时，或，即不一定能推出，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C4. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员.在该班中随

8、机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合条件概率的计算方法，即可求解.【详解】设事件为：选到的是团员，事件为：选到的是男生.根据题意，易得，故.故选：B.5. 已知函数.若，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.【详解】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和因，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，则有，是方程的两个根，必有，是方程的两个不等根，则，整理得，即，由

9、得：或，因此有，则有，而函数在上单调递减，从而得，于是得，所以的取值范围是.故选：D6. 已知，则（ ）A. -2B. -1C. 0D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别令和，代入计算即可求解.【详解】根据题意，令，得，令，得，因此.故选：B.7. 已知函数，则（ ）A. 5100B. 5150C. 5200D. 5250【答案】A【解析】【分析】根据给定条件结合余弦函数的周期性，再借助并项求和法即可计算作答.【详解】函数中，的最小正周期是4，则当，令，即，于是得数列是首项为12等差数列，所以.故选：A8. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析

10、】【分析】设切点为，可得切线为，所以，设，则与图象有两个交点，讨论时由单调性可知不符合题意，当时，由导数判断的单调性以及最值，数形结合即可求解.【详解】设切点为，由可得，则切线方程为，因为点在切线上，所以，所以，若过点可以作曲线的两条切线，则有两解，设，可得，当时，恒成立，此时在上单调递增，至多一解，所以不符合题意，当时，由可得；由可得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；所以若与图象有两个交点，可得即，所以若过点可以作曲线的两条切线，则，故选：C.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分

11、，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）A. 随机变量的均值为10B. 随机变量的方差为10C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件利用正态分布的定义及性质逐项判断作答.【详解】因随机变量服从正态分布，则随机变量的均值为10，A正确；随机变量的方差为100，标准差为10，B不正确；由正态分布的对称性知，C正确；，D正确.故选：ACD10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】因为指数函数比增长的快，结合不等式的解集可得，由，利用表示和可判断B、C；再计算可判断D，进而可得正确选项.【详解】因为

12、指数函数比增长的快，若，则不等式的解集为不成立，所以，故选项A不正确；因为和是方程的两根，所以，所以 ，所以选项B、C正确；，故选项D正确；故选：BCD.11. 已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，则（ ）A. B. C. 的值是中最小的D. 使成立的最大正整数n的值为4039【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件探求出，且，再逐个选项推理、分析判断作答.【详解】等比数列的公比为，由得：，而，则，A正确；由及，得等比数列是递增数列，即有，又，于是得，有，所以，B正确；，又，于是当时，当时，因此有，即的值不是中最小的，C不正确；又，当时，当时，数列在时是递增的，因此，当时，当时，则使

13、成立，所以使成立的最大正整数n的值为4039，D正确.故选：ABD12. 已知函数，其中，且，则（ ）A. 为奇函数B. 为周期函数C. 若，则在区间上单调递增D. 若，则在区间内没有零点【答案】AC【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A；令，设为周期函数即，分别令、得出矛盾可判断B；利用导数判断单调性可判断C；求，根据单调性可得极值，分和讨论，利用零点存在定理判断零点个数可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：的定义域为，所以为奇函数，故选项A正确；对于B：令，假设为周期函数即， 即，取可得，取可得，取可得：，可得，所以，可得， 且，又因为，所以且，所以，即，与是无理数矛盾，所以不

14、是周期函数，故选项B不正确；对于C：由可得，由，可得，所以，则在区间上单调递增，故选项C正确；对于D：当时，有，可得时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以或，若，则有；若，则，又因为，可得在区间内有一个零点，故选项D不正确；故选：AC.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个直角三角形的三条边的长度成等差数列，则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是_.【答案】#0.8【解析】【分析】设出直角三角形三边长，利用给定条件结合勾股定理探讨直角边与斜边的关系即可计算作答.【详解】设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，不妨令，依题意，而有，于是得，即，整理得，则，令该直角三角形的最

15、小内角为，是边长为a的边所对角，则，所以该直角三角形的内角中最小角的余弦值是.故答案为：14. 已知为锐角，且满足，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合正切的两角和公式，即可求解.【详解】根据题意，得，因为，所以，解得，又因为为锐角，所以，因此.故答案为：.15. 正方体的棱长为2，点O为线段的中点，三棱锥的体积为_，过点O且垂直于的平面与底面ABCD的交线长为_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据题意，结合三棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定，即可求解.【详解】根据题意，易知；如图，分别作、的中点、，连接、，易知平面过点，根据正方体的性质，易知、，因为，所以平面，又因为平面

16、，所以，同理，又因为平面，平面，且，所以平面，因此过点O且垂直于 的平面与底面ABCD的交线长为.故答案为：；.16. 已知函数，对于任意，恒成立，则整数a的最大值为_.【答案】0【解析】【分析】根据题意，知，令，则原问题转化为，恒成立，结合导数，判断单调性求出最值，即可求解.详解】由题意得，令，易知，则，恒成立.令，由，得，因此在上单调递减，在上单调递增，故，因此，因为且，故，因为，所以.下证：.即证，易证：，所以，由，得在上递减，在上递增，因此，故，故.故答案为：0【点睛】导数求参数常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用

17、；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图22列联表（将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”）.性别非球迷球迷合计男女20110合计200（1）根据已知条件完成上图的22列联表；（2）据此调查结果，是否有的把握认为“球迷”与性别有关？附：（其中）.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7

18、063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）答案见解析. （2）有的把握认为“球迷”与性别有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出人中，球迷和非球迷的人数，补全22列联表；（2）由列联表计算的值与临界值比较即可判断.【小问1详解】观众日均收看球类体育节目时间少于40分钟的人数为：人，即非球迷为人，所以球迷为人，可得列联表如图：性别非球迷球迷合计男女合计【小问2详解】由列联表可得：，所以有的把握认为“球迷”与性别有关.18. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，点D为边BC上一点，.（1）求的大小；（2）若，求|AB|.【答案】（1）

19、； （2）【解析】【分析】(1)结合与正弦定理边化角即可求解；(2)根据几何关系，在ABD内求|AB|【小问1详解】，由正弦定理得，；【小问2详解】，又，又又19. 如图，在四棱台中，底面四边形是矩形，平面平面，平面平面.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求四棱台的高.【答案】（1）证明见解析. （2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可证明平面，平面，再由线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可求证；（2）如图建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用求得的值即可求解.【小问1详解】因为底面四边形是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，

20、所以平面，又因为面，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为面，所以，因为，所以平面.【小问2详解】在四棱台中，由（1）知：平面，所以即为四棱台的高，可得，两两垂直，以为原点，分别以 ，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的一个法向量，由，令，则，所以，平面的一个法向量，所以，解得：，所以四棱台的高为.20. 已知数列满足，且（且）.（1）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（2）求的前项和.【答案】（1），理由见解析； （2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义计算为常数，求得的值即可；（2）求出的通项公式可得的通项公

21、式，再利用乘公比错位相减求和以及分组求和即可求解.【小问1详解】若是等差数列，当时，是常数，所以，可得，此时，所以存在使得是等差数列.【小问2详解】由（1）知： 是首项为，公差为的等差数列，所以，可得，设的前项和为，所以，所以 ,所以，所以的前项和.21. 全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神.现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立.第1次第2次第3次第4次第5次甲8692878986乙9086898887（1）从

22、5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；（2）从5次训练中随机选取2次，用表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求的分布列和数学期望；（3）根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由.（注：样本数据的方差，其中）【答案】（1）； （2）分布列见解析，数学期望为； （3）乙在选拔中更具竞争力，理由见解析.【解析】【分析】(1)在5次模拟训练中，确定甲的成绩高于乙的成绩次数，再利用古典概率公式计算即得.(2)写出的所有可能值，再求出各个值对应的概率即可列表、计算作答.(3)分别求出甲和乙的成绩的平均数、方差，然后比较即可作答.【小问1详解】在5次模拟训练中，甲的成绩高于乙的成绩有

23、2次，乙的成绩高于甲的成绩有3次，从5次训练中随机选取1次的试验有5个基本事件，它们等可能，甲的成绩高于乙的成绩的事件A有2个基本事件，所以甲的成绩高于乙的成绩的概率.【小问2详解】的所有可能值是：0，1，2，所以的分布列为：012数学期望为.【小问3详解】甲的平均成绩为，乙的平均成绩为， 甲成绩的方差，乙成绩的方差，虽然，但，因此得乙成绩更稳定，所以乙在选拔中更具竞争力.22. 已知函数.（1）求函数的极大值；（2）设实数a，b互不相等，且，证明：.【答案】（1）函数的极大值是1； （2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导数求函数极值的方法直接求解即得.（2）把给定等式变形为

24、，令，由此可得，确定出的范围，再取对数构造函数，利用极值点偏移的方法即可推理作答.【小问1详解】函数定义域为R，当时，当时，于是得在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数取得极大值，所以函数的极大值是1.【小问2详解】因实数a，b互不相等，令，于是有，即，令，于是得是方程的两个不等的根，即是函数的图象与直线的两个交点的横坐标，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，当时，恒有，则当时，函数的图象与直线恒有两个公共点，如图，不妨令，由两边取对数得：，即，令，则，是方程的两个不等的根，当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，当时，令，因此，函数在上单调递减，则有，而，从而有，则有，又，在上单调递增，因此，即有，于是得，所以.【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，常常是把双零点视为双变量，再把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.