6.2.4 组合数ppt课件-2022年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

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1、6.2.4 组合数组合数 类比排列数，我们引进组合数概念：类比排列数，我们引进组合数概念： 组合数：组合数： 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同个元素的所有不同组合的个数组合的个数，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. mnC组合的第一个字母组合的第一个字母 元素总数元素总数 取出元素数取出元素数 m，n所满足的条件是：所满足的条件是： (1) mN*，nN* ； (2) mn . mnC 例如，从例如，从3个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的组合数为个元素的组合数为 23.C从从4个不同

2、元素中任取个不同元素中任取3个元素的组合数为个元素的组合数为 34.C符号符号 中的中的C是英文是英文combination (组合组合)的第一个字母的第一个字母. 组合数还可组合数还可以用符号以用符号 表示表示. mnC nm思考：思考： 2333410_.mnCCCC，34探究探究 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数数 来求组合数来求组合数 呢呢? mnAmnC？3个不同元素个不同元素a, b, c中取出中取出2个共有个共有ab, ac, bc 3个不同的组合，个不同的组合， 233.C 即即4个不同元

3、素个不同元素a, b, c, d中取出中取出3个共有个共有abc, abd, acd, bcd 4个不同的组合，个不同的组合， 344.C 即即4个不同元素个不同元素a, b, c, d中取出中取出3个元素的排列数为个元素的排列数为 344 3 224.A 3个不同元素个不同元素a, b, c中取出中取出2个元素的排列数为个元素的排列数为 233 26.A 下面我们就来探究下面我们就来探究 22333344,.CA CA与与与与的的关关系系从从3个不同元素个不同元素a, b, c中取出中取出2个元素个元素 223322.ACA 从从4个不同元素个不同元素a, b, c, d中取出中取出3个元素

4、个元素 组合组合 222332AC A ，ab 排列排列 ac bc ab ba ac ca bc cb 由此可得由此可得 组合组合 abc 排列排列 abd acd abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bcd bdc cbd cdb dbc dcb 334433.ACA 333443AC A ，由此可得由此可得 .mmnnmmACA 由由此此可可得得这里的这里的n, mN*，并且，并且mn，这个公式叫做，这个公式叫做组合数公式组合数公式. 组合数公式：组合数公式： (1)(2)

5、(1).!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnAnm ，另外，我们规定另外，我们规定 01.nC .!()!mnnCmnm ！所以上面的公式还可以写成所以上面的公式还可以写成 解：解： 例例6 计算：计算： 3710010101010(1)(2)(3)(4).CCCC；31010 9 8(1)1203 2 1C ；71010 9 8 7 6 5 4(2)1207 6 5 4 3 2 1C ；101010101010(3)1ACA ；010(4)1 .C 71010!10 9 8 7!1207! 3!7! 3!C 或或；731010CC 思考思考 此关系是否具有一般性？此关系是否具有一

6、般性？ .mn mnnCC !()!()!n mnnCnmnnm !.()!mnnCnmm 性质性质1 .mn mnnCC 性质性质2 11.mmmnnnCCC 73101010 9 81203 2 1CC 或或；性质性质1 .mn mnnCC 性质性质2 11.mmmnnnCCC 组合数的性质：组合数的性质： 1!()!(1)!(1)!mmnnnnCCmnmmnm 证证明明：(1)!(1)!nmnm nmnm (1)!(1)!nnmnm (1)!(1)!nmnm 1.mnC 解：解： 1. 计算：计算： 273232697685(1)(2)(3)(4) 32.CCCCCC；266 5(1)1

7、52 1C ；72999 8(2)362 1CC ；32858 7 65 4(4) 323216820148.3 2 12 1CC 32767 6 56 5(3)3515203 2 12 1CC ；3232237666666 5 4()203 2 1CCCCCC 或或；课本课本P25 证明：证明： 2. 求证：求证： 111.1mmnnmCCn 1111(1)!11 (1)!()!mnmmnCnnmnm 1(1)!1 (1)!()!mnnnmmnm!()!nmnm .mnC 课本课本P25 巩固训练：巩固训练： 1. 计算：计算： 198232009999(1)(2).CCC ；解：解： 19

8、82200200200 199(1)199002 1CC ；2339999100100 99 98(2)1617003 2 1CCC . .23999999 9899 98 971617002 13 2 1CC 或或. .2425252._ .xxCCx 若若, ,则则解：解： 242525242425.xxCCxxxx 由由, ,可可得得或或47.xx解解得得或或47.xx经经检检验验或或均均满满足足条条件件3833213._.nnnnCC 解：解： *338321nnnnnN 由由，*192122nnN 可可得得，.10 nnnnnCC321383 28302130313031CCCC30

9、2931466.2 1 11214.mmmmmmmmnnCCCCC 求求证证：证明：证明： mnmmmmmmCCCC 2111左式左式mnmmmmmmCCCC 3212mnmmmmCCC 313 mnmnCC 111 mnC右式右式 .1121 mnmnmmmmmmCCCCC222222345205._.CCCCC解：解： 222233452021CCCCC21 20 191330.3 2 1 例例7 在在100件产品中件产品中, 有有98件合格品件合格品, 2件次品件次品. 从这从这100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件件. (1) 有多少种不同的抽法有多少种不同的抽法? (2) 抽出的

10、抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种? (3) 抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种? 解：解： (1) 所有的不同抽法种数，就是从所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出件产品中抽出3件的组合数，所以件的组合数，所以抽法种数为抽法种数为 1229898 9729506.2C C 3100100 99 98161700.3 2 1C (2) 从从2件次品中抽出件次品中抽出1件的抽法有件的抽法有 种，从种，从98件合格品中抽出件合格品中抽出2件的抽件的抽法有法有 种，因此抽出的种，因此抽出的3件中恰好有件中恰好

11、有1件次品的抽法种数为件次品的抽法种数为 12C298C 从从100件产品抽出的件产品抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品，包括有件是次品，包括有1件次品件次品和有和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少件中至少有有1件是次品的抽法种数为件是次品的抽法种数为 例例7 在在100件产品中件产品中, 有有98件合格品件合格品, 2件次品件次品. 从这从这100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件件. (1) 有多少种不同的抽法有多少种不同的抽法? (2) 抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽

12、法有多少种? (3) 抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种? 解解1(直接法直接法)： 12212982989506989604.C CC C解解2(间接法间接法)： 抽出的抽出的3 件中至少有件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从件是次品的抽法种数，就是从100件产件产品中抽出品中抽出3件的抽法种数减去件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即件都是合格品的抽法种数，即 331009898 97 961617009604.3 2 1CC 3. 有政治、历史、地理、物理、化学、生物这有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成门学

13、科的学业水平考试成绩，现要从中选绩，现要从中选3门考试成绩门考试成绩. (1) 共有多少种不同的选法共有多少种不同的选法? (2) 如果物理和化学恰有如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法门被选，那么共有多少种不同的选法? (3) 如果物理和化学至少有如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法门被选，那么共有多少种不同的选法? 解：解： 366 5 4(1)203 2 1C ；12244 3(2)2122C C ；12212424(3)12416.C CC C336420416.CC或或课本课本P25 巩固训练巩固训练 从从7名男生名男生5名女生中名女生中，选出选出5

14、人人，分别求符合下列条件的选法种分别求符合下列条件的选法种数有多少种数有多少种？ (1) A、B必须当选；必须当选； (2) A、B都不当选；都不当选； (3) A、B不全当选；不全当选； (4) 至少有至少有2名女生当选；名女生当选； (5) 选出选出5名同学名同学，让他们分别担任体育委员让他们分别担任体育委员、文娱委员等文娱委员等5种不同工作种不同工作，但体育委员由男生担任但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任文娱委员由女生担任 解：解：(1) 除除A、B当选外当选外，再从其它再从其它10个人中选个人中选3人人，不同的选法种数有不同的选法种数有 310120().C 种种(2) A、B

15、都不当选的选法种数有都不当选的选法种数有 510252().C 种种解：解： (3) A、B不全当选的选法种数有不全当选的选法种数有 51410210672().CC C种种531210672().CC或或种种 巩固训练巩固训练 从从7名男生名男生5名女生中名女生中，选出选出5人人，分别求符合下列条件的选法种分别求符合下列条件的选法种数有多少种数有多少种？ (3) A、B不全当选；不全当选； (4) 至少有至少有2名女生当选；名女生当选； (4) 至少有至少有2名女生当选的选法种数有名女生当选的选法种数有 23324155757575596().C CC CC CC种种551412757596

16、 ().CCC C或或种种 (5) 选出一个男生担任体育班委，再选出选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩名女生担任文娱班委，剩下的下的10人中任取人中任取3人担任其它人担任其它3个班委个班委 由分步计数原理可得到所有方法总数为由分步计数原理可得到所有方法总数为 113751025200().CCA种种解：解： 巩固训练巩固训练 从从7名男生名男生5名女生中名女生中，选出选出5人人，分别求符合下列条件的选法种分别求符合下列条件的选法种数有多少种数有多少种？ (5) 选出选出5名同学名同学，让他们分别担任体育委员让他们分别担任体育委员、文娱委员等文娱委员等5种不同工作种不同工作

17、，但体育委员由男生担任但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任文娱委员由女生担任 平均平均分成的每一组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分分成的每一组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以组数的全排列，即组后要除以组数的全排列，即 例例1 把把abcd分成平均两组，共有分成平均两组，共有_种分法种分法. ab cd ac bd ad bc cd bd bc ad ac ab 这两个在分组时只能算一个，故分组方法有这两个在分组时只能算一个，故分组方法有 排列组合中的分堆问题排列组合中的分堆问题平均分组问题平均分组问题 3 2242223()C CA 种种 . .变式变式 把把

18、6人分成平均三组，共有人分成平均三组，共有_种分法种分法. 2226423315()C C CA 种种 . .15 总结：总结： .mmA1. 均分不安排任务的问题均分不安排任务的问题 例例2 现有现有12本不同的书本不同的书. （1）按）按444平均分成三堆有多少种不同的分法？平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按）按2226分成四堆有多少种不同的分法？分成四堆有多少种不同的分法？ 444128433(1)C C CA；解：解： 222612108633(2).C C C CA2. 分堆安排工作的问题分堆安排工作的问题 例例3（1）6本不同的书按本不同的书按222平均分给甲、乙、丙三个人

19、，有平均分给甲、乙、丙三个人，有 多少种多少种不同的分法？不同的分法？ （2）12支笔按支笔按3：3：2：2：2分给分给A、B、C、D、E五个人有多少种不五个人有多少种不同的分法？同的分法？ 2223222642364233(1)C C CAC C CA；解：解： 33222512964253232(2).C C C C CAA A 例例4 现有现有6本不同的书本不同的书. (1) 按按1:2:3分成三堆有多少种不同的分法？分成三堆有多少种不同的分法？ (2) 按按1:2:3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？ 4. 非均分组问题非均分组问题 123

20、653(1)C C C ；解：解： 12336533(2)C C C A ；变式变式 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？不同的分法？ （1）每人各得两本；）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本；）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本）一人四本，另两人各一本 33224415165AACCC）（4. 非均分组问题非均分组问题 2224261CCC）（3325162CCC）（333325163ACCC）（222212464AACC）（解：解： 小结：小结： 1. 组合数公式：组合数公式： (1)(2)(1).!mmnnmmAn nnnmCAm规定规定 01.nC .!()!nmnm ！性质性质1 .mn mnnCC 性质性质2 11.mmmnnnCCC 2. 组合数的性质：组合数的性质：