7.5正态分布ppt课件-2022年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
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1、7.5 7.5 正态分布正态分布 高斯是一个伟大的数学家,一生中的重要贡献不胜枚举德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线,这就传达了一个信息:在高斯的科学贡献中,对人类文明影响最大的是正态分布 问题问题 自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的由于各种不可控制的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差的误差(实际质量减去标准质量实际质量减去标准质量). 用用X表示这种误差表示这种误差,则,则X是一个连续型随是一个连续型随机变量机
2、变量. 检测人员在一次产品检验中,随机抽取了检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差袋食盐,获得误差X (单位单位: g) 的观测值如下的观测值如下: 探究新知 -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.
3、3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 思考:思考:(1) 如何描述这如何描述这100个样本误差数据的分布个样本误差数据的分布? (2) 如何构建适当的概
4、率模型刻画误差如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布的分布? 探究新知 根据已学的统计知识,可用根据已学的统计知识,可用频率分布直频率分布直方图方图描述这组误差数据的分布,如图描述这组误差数据的分布,如图(1)所示所示. 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为积之和为1. 观察图形可知观察图形可知: 误差观测值有正有负,误差观测值有正有负,并并大致对称地分布在大致对称地分布在X=0的两侧的两侧,而且小,而且小误差比大误差出现得更频繁误差比大误差出现得更频繁. 频率/组距 X
5、 -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 0.10 0.20 4 2 6 图 (1) 随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟一条光滑的钟形曲线形曲线,如图,如图(2)所示所示. 探究新知 频率/组距 X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 图 (2) 0.10 0.20 4 2 6 P X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 图 (3) 0.10 0.20 4 2 6 根据
6、频率与概率的关系,可用图根据频率与概率的关系,可用图(3)中的中的钟形曲线钟形曲线(曲线与水平轴之间的曲线与水平轴之间的区域的面积为区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布来描述袋装食盐质量误差的概率分布. 例如,任意抽取一袋例如,任意抽取一袋食盐,误差落在食盐,误差落在-2, -1内的概率,可用图中黄色阴影部分的面积表示内的概率,可用图中黄色阴影部分的面积表示. 探究新知 追问追问1 由函数知识可知,图由函数知识可知,图(3)中的钟形曲线是一个函数中的钟形曲线是一个函数. 那么,这个那么,这个函数是否存在解析式呢函数是否存在解析式呢? 答案是肯定的答案是肯定的. 在数学家的不懈努力下
7、,找到了以下刻画随机误差在数学家的不懈努力下,找到了以下刻画随机误差分布的解析式分布的解析式: 其中其中R,0为参数为参数. 22()21( )R.2xf xex , , 显然,对任意的显然,对任意的xR,f(x)0,它的图,它的图象在象在x轴的上方,可以证明轴的上方,可以证明x轴和曲线之间轴和曲线之间的区域的面积为的区域的面积为1. 我们称我们称f(x)为为正态密度正态密度函数函数,称它的图象为,称它的图象为正态密度曲线正态密度曲线,简称,简称正态曲线正态曲线. 若随机变量若随机变量X的概率分布密度函的概率分布密度函数为数为f(x),则称随机变量,则称随机变量X服从服从正态分布正态分布,记为
8、记为XN(, 2). 特别地,当特别地,当=0, =1时,称随机变量时,称随机变量X服从服从标准正态分布标准正态分布. 探究新知 f (x) x 1 2 a A 图 (4) B x b O 若若XN(, 2),则如图,则如图(4)所示,所示,X取值不超过取值不超过x的概率的概率P(Xx)为为图中图中区域区域A的面积的面积,而,而P(aXb)为区域为区域B的面积的面积. 追问追问2 观察正态曲线及相应的密度函数观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点你能发现正态曲线的哪些特点? 由由X的密度函数及图象可以发现,正态曲的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点线还有以下特点:
9、(1) 曲线是曲线是单峰单峰的,它的,它关于直线关于直线x=对称对称; (2) 曲线在曲线在x=处达到处达到峰值峰值 (3) 当当|x|无限增大时,曲线无限增大时,曲线无限接近无限接近x轴轴. 12;探究新知 f (x) x 1 2 a A 图 (4) B x b O 追问追问3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定,这两个参数对正态曲线的完全确定,这两个参数对正态曲线的形状有何影响形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征? 由于正态曲线关于由于正态曲线关于x=对称,对称,因此,当因此,当参数参数固定固定时,正态曲线时,正态曲线的的位置由位置由确定确定,
10、且随着,且随着的变化的变化而沿而沿x轴平移,所以参数轴平移,所以参数反映了反映了正态分布的正态分布的集中位置集中位置,可以用,可以用均均值值来估计,故有来估计,故有E(X)=. 探究新知 0.4 x -3 =1 2 -1 图(5) -2 1 3 O =-1 =0 y =1 当当固定固定时,因为正态曲线的峰值与时,因为正态曲线的峰值与成反比,而且对任意的成反比,而且对任意的0,正态曲线,正态曲线与与x轴之间的区域的面积总为轴之间的区域的面积总为1. 因此,当因此,当较小较小时,时,峰值高峰值高,曲线,曲线“瘦高瘦高”,表示随,表示随机变量机变量X的的分布比较集中分布比较集中;当;当较大较大时,时
11、,峰值低峰值低,曲线,曲线“矮胖矮胖”,表示随机变量,表示随机变量X的的分布比较分散分布比较分散,所以,所以反映了随机变量的反映了随机变量的分布相对于均值分布相对于均值的的离散程度离散程度,可以用,可以用标标准差准差来估计,故有来估计,故有D(X)=2. 追问追问3 一个正态分布由参数一个正态分布由参数和和完全确定,这两个参数对正态曲线的完全确定,这两个参数对正态曲线的形状有何影响形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征它们反映正态分布的哪些特征? 探究新知 0.4 x -3 =0.5 2 -1 图 (6) -2 1 3 O =2 =0 y =1 0.8 (1) 曲线在x轴的上方,与x轴不相
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