4.1数列的概念（1）课件-2022年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

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1、情境情境1：剧场的座位剧场的座位 情境导入情境导入 某剧场有某剧场有30排座位，第一排有排座位，第一排有20个座位，从第二个座位，从第二 排起，后排都比前一排多排起，后排都比前一排多2个座位，那么各排的座个座位，那么各排的座 位数依次为位数依次为 20，22，24，26，28， 情境情境2：彗星出现的年份彗星出现的年份 人类在人类在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为颗彗星出现的年份依次为 1740，1823，1906，1989，2072， 情境情境3：

2、细胞分类细胞分类 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么个，那么每过每过1分钟，分钟，1个细胞分裂的个数依次为个细胞分裂的个数依次为 1，2，4，8，16， 情境情境4： “一尺之捶，日取其半，万世不竭”“一尺之捶，日取其半，万世不竭” 一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之捶”视为如果将“一尺之捶”视为1份，那么每日剩下的部份，那么每日剩下的部分依次为分依次为 111112481632， ， ，ggg情境导入情境导入 情境情境5：树木发芽枝干数树木发芽枝干数 某种树木第某种树木第1年长出幼枝，

3、第年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第年幼枝长成粗干，第 3年粗干可生出幼枝，那么按照这种规律，各年树年粗干可生出幼枝，那么按照这种规律，各年树 木的枝干数依次为木的枝干数依次为 1，1，2，3，5， 8， 情境情境6：中国历届奥运会金牌数中国历届奥运会金牌数 从从1984年到年到2020年，我国共参加了年，我国共参加了10次夏季奥运次夏季奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为会，各次参赛获得的金牌总数依次为 15，5，16，16，28， 32， 51， 38， 26， 38 情境导入情境导入 问题问题1：上述这些问题有什么共同特点？上述这些问题有什么共同特点？ 数学探究数学探究 1，1，2，3，

4、5， 8， 15，5，16，16，28， 32， 51， 38， 26， 38 1，2，4，8，16， 111112481632， ， ，ggg20，22，24，26，28， 1740，1823，1906，1989，2072， 结论：结论：都是按照一定次序排列的一列数。都是按照一定次序排列的一列数。 问题问题2：什么是数列？数列与数集有什么区别和联系？什么是数列？数列与数集有什么区别和联系？ 数学探究数学探究 数列的定义：数列的定义： 数列与数集的区别和联系：数列与数集的区别和联系： (1)数列与数集都是具有某种数列与数集都是具有某种共同属性共同属性的数的全体；的数的全体； (2)数列中的数是

5、可数列中的数是可重复重复的，数集中的数是的，数集中的数是互异互异的；的； (3)数列中的数是有数列中的数是有顺序顺序的，数集中的数是的，数集中的数是无序无序的。的。 点睛：点睛：数列是按一定的数列是按一定的“顺序顺序”排列的一列数排列的一列数， 有序性是数列的基本属性有序性是数列的基本属性；数相同而顺数相同而顺 序不同的两个数列是不相同的数列序不同的两个数列是不相同的数列， 如如：1，2，3， 与与3，2，1， 就是不就是不 同的数列同的数列。 按照一定次序排列的一列数称为按照一定次序排列的一列数称为数列数列。 问题问题3：什么是数列的项？什么叫数列的首项？按项数可以什么是数列的项？什么叫数列

6、的首项？按项数可以 把数列怎么分类？还有其它的分类方法吗？把数列怎么分类？还有其它的分类方法吗？ 数学探究数学探究 数列项的定义：数列项的定义： 数列中的数列中的每个数每个数叫做这个数列的叫做这个数列的项项。 数列首项的定义：数列首项的定义： 数列中的第一个数叫做这个数列的数列中的第一个数叫做这个数列的第第1项项或或首项首项。 各项依次叫做这个数列的各项依次叫做这个数列的第第1项项(或或首项首项)，第，第2项，项， ，第，第n项项 。 数列的分类数列的分类(按项数按项数)： (1)有穷数列：项数有穷数列：项数有限有限的数列；的数列； (2)无穷数列：项数无穷数列：项数无限无限的数列。的数列。

7、问题问题4：数列的一般形式是什么？数列的一般形式是什么？an与与an的区别是什么？的区别是什么？ 数学探究数学探究 数列项的一般形式可以写成：数列项的一般形式可以写成： a1，a2，a3， an， ，简记为，简记为an， 其中其中a1称为数列称为数列an 的第的第1项或首项，项或首项， a2称为第称为第2项，项， an称为第称为第n项。项。 an与与an的区别：的区别： 符号符号an和和an是不同的概念是不同的概念，an表示一个数列表示一个数列， 而而an表示数列中的第表示数列中的第n项项。 问题问题5：数列数列2n中的第中的第n项项an与它的位置序号与它的位置序号n有什么关系？有什么关系？

8、如何得出它们的关系？如何得出它们的关系？ 数学探究数学探究 问题问题6：数列的通项公式是如何定义的？数列的通项公式是如何定义的？ 通项公式的定义：通项公式的定义： 如果数列如果数列an 的第的第n项项an与序号与序号n之间可以用一个之间可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项通项公式公式，通常记为，通常记为anf(n)(nN*)。 问题问题7：你能写出下列数列的通项公式吗？你能写出下列数列的通项公式吗？ 数学探究数学探究 此数列为此数列为有有穷数列穷数列，要，要注意注意n的范围的范围 数列的通数列的通项公式不项公式不唯一唯一 (1)15，5，1

9、6，16，28， 32， 51， 38， 26， 38 (2)1，2，3，4， ，50 an与与n之的之的关系关系无法用无法用公式表示公式表示 (3)2，4，8，16，32， 1111123456， ， ， ， ，ggg(4) (5)1，1，1，1， 结论：结论：数列不一定都有通项公式，数列的通项公数列不一定都有通项公式，数列的通项公 式不唯一确定。式不唯一确定。 问题问题8：你是怎么理解函数与数列的联系的？你是怎么理解函数与数列的联系的？ 数学探究数学探究 数列的函数本质：数列的函数本质： 在数列在数列an中，对于每一个正整数中，对于每一个正整数n(或或n1，2， ，k)，都有一个数，都有一

10、个数an与之对应，因此数列可以与之对应，因此数列可以 看成正整数集看成正整数集N* (或它的有限子集或它的有限子集1，2， ，k) 为定义域的函数为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大，当自变量按照从小到大 顺序依次取值时，所对应的的一列函数值，通项顺序依次取值时，所对应的的一列函数值，通项 公式即函数解析式；反过来，对于函数公式即函数解析式；反过来，对于函数y f(x)， 如果如果f(i)(i1，2，3 )有意义，那么我们可以得到有意义，那么我们可以得到 一个数列：一个数列： f(1)， f(2)， f(3)， ， f(n)， 问题问题9：你能画出下列数列的图象吗？你能画出下列数列

11、的图象吗？ 数学探究数学探究 (1)15，5，16，16，28， 32， 51， 38， 26， 38 (2)1，2，3，4， ，50 (3)2，4，8，16，32， 我们以数列我们以数列2，4，8，16，32， 为例：为例： 问题问题10：根据上述例子我们能发现数列的图象是什么样的根据上述例子我们能发现数列的图象是什么样的 吗？它与函数的图象有何区别？吗？它与函数的图象有何区别？ 数学探究数学探究 (1)数列的图象：数列的图象：一些一些离散离散、孤立孤立的的非连续非连续之点。之点。 (2)与函数图象的区别：与函数图象的区别：函数的图象是连续的。函数的图象是连续的。 问题问题11：数列的前数列

12、的前n项和是怎么定义的？项和是怎么定义的？ Sna1a2a3 an 问题问题12：在上述情境在上述情境1中，我们能发现什么规律？同样情境中，我们能发现什么规律？同样情境 4和情境和情境5呢？呢？ 数学探究数学探究 情境情境1：某剧场有某剧场有30排座位，第一排有排座位，第一排有20个座位，个座位， 从第二排起，后排都比前一排多从第二排起，后排都比前一排多2个座位，个座位， 也就是说也就是说 a120， a2 a12， a3 a22， a30 a292， a120， an+1 an2(nN* ，n29) 小结：小结：由上面数列的第由上面数列的第1项，以及项，以及an+1与与 an的关系，的关系，

13、 可以写出这个数列的各项。可以写出这个数列的各项。 问题问题12：在上述情境在上述情境1中，我们能发现什么规律？同样情境中，我们能发现什么规律？同样情境 4和情境和情境5呢？呢？ 数学探究数学探究 情境情境4：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也一尺长的木棒，每日取其一半，永远也 取不完。如果将“一尺之捶”视为取不完。如果将“一尺之捶”视为1份，份， 那么每日剩下的部分总是前一日的一半，那么每日剩下的部分总是前一日的一半， 也就是说也就是说 12132121212aaaaa，ggg11121()2nnaaa nN，小结：小结：由上面数列的第由上面数列的第1项，以及项，以及an+1与与 an的关系

14、，的关系， 可以写出这个数列的各项。可以写出这个数列的各项。 问题问题12：在上述情境在上述情境1中，我们能发现什么规律？同样情境中，我们能发现什么规律？同样情境 4和情境和情境5呢？呢？ 数学探究数学探究 情境情境5：某种树木第某种树木第1年长出幼枝，第年长出幼枝，第2年幼枝长成年幼枝长成 粗干，第粗干，第3年粗干可生出幼枝，那么按照年粗干可生出幼枝，那么按照 这种规律，各年树木的枝干数从第这种规律，各年树木的枝干数从第3年起年起 总是前总是前2年枝干数之和，也就是说年枝干数之和，也就是说 a11，a21， a3 a1a2 ， a4 a2a3 ， a11，a21， an+2 an+1an (

15、nN*) 小结：小结：由上面数列的第由上面数列的第1项、第项、第2项，以及项，以及an+2与与 an+1和和 an的关系，可以写出这个数列的各的关系，可以写出这个数列的各 项。项。 问题问题13：上述上述 根据数列的第根据数列的第1项项(或前几项或前几项)，以及项与项之，以及项与项之 间的关系，可以写出数列的各项的方法叫作什么？间的关系，可以写出数列的各项的方法叫作什么？ 什么叫作数列的递推公式？什么叫作数列的递推公式？ 数学探究数学探究 数列递推公式的定义：数列递推公式的定义： 一般地，如果已知一个数列一般地，如果已知一个数列an的第的第1项项(或前几或前几 项项)，且任一项，且任一项an与

16、它的前一项与它的前一项an1 (或前几项或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式叫作这个数列的式叫作这个数列的递推公式递推公式，递推公式也是给，递推公式也是给 定数列的一种方法。定数列的一种方法。 数学建构数学建构 1、数列的定义、数列的定义 按照按照一定次序排列一定次序排列的一列的一列数数称为称为数列数列。 2、数列项的定义、数列项的定义 数列中的数列中的每个数每个数叫做这个数列的叫做这个数列的项项。 数列中的第一个数叫做这个数列的数列中的第一个数叫做这个数列的第第1项项或或首项首项，各项，各项 依次叫作这个数列的依次叫作这个数列的第第

17、1项项(或或首项首项)，第，第2项，项， ，第，第n 项。项。 数学建构数学建构 3、数列的分类、数列的分类 (1)按项的个数按项的个数 (2)按项的变化趋势按项的变化趋势 有穷数列：项数有穷数列：项数有限有限的数列；的数列； 无穷数列：项数无穷数列：项数无限无限的数列。的数列。 递增数列：从第递增数列：从第2项起，每一项都项起，每一项都大于大于它的前一项它的前一项 的数列；的数列； 递减数列：从第递减数列：从第2项起，每一项都项起，每一项都小于小于它的前一项它的前一项 的数列；的数列； 常数列：各项都常数列：各项都相等相等的数列；的数列； 摆动数列：从第摆动数列：从第2项起，有些项项起，有些

18、项大于大于它的前一项，它的前一项， 有些项有些项小于小于它的前一项的数列。它的前一项的数列。 数学建构数学建构 4、通项公式的定义、通项公式的定义 如果数列如果数列an 的第的第n项项an与序号与序号n之间可以用一个公式来之间可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式， 通常记为通常记为anf(n)(nN*)。 5、数列的函数本质、数列的函数本质 在数列在数列an中，对于每一个正整数中，对于每一个正整数n(或或n1，2， ， k)，都有一个数，都有一个数an与之对应，因此数列可以看成正整与之对应，因此数列可以看成正整 数集数集N* (或它的

19、有限子集或它的有限子集1，2， ，k)为定义域的函为定义域的函 数数anf(n)，当自变量按照从小到大顺序依次取值时，当自变量按照从小到大顺序依次取值时， 所对应的的一列函数值，通项公式即函数解析式；反所对应的的一列函数值，通项公式即函数解析式；反 过来，对于函数过来，对于函数y f(x)，如果，如果f(i)(i1，2，3 )有意有意 义，那么我们可以得到一个数列：义，那么我们可以得到一个数列： f(1)， f(2)， f(3)， ， f(n)， 数学建构数学建构 6、数列的图象、数列的图象 7、数列的前、数列的前n项和的定义项和的定义 Sna1a2a3 an 一些一些离散离散、孤立孤立的的非

20、连续非连续之点。之点。 8、数列递推公式的定义、数列递推公式的定义 一般地，如果已知一个数列一般地，如果已知一个数列an的第的第1项项(或前几项或前几项)，且，且任一项任一项an与它的前一项与它的前一项an1 (或前几项或前几项)间的关系可以用间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公递推公式式，递推公式也是给定数列的一种方法。，递推公式也是给定数列的一种方法。 数学应用数学应用 例例1、下列叙述正确的是下列叙述正确的是( ) (A)所有数列可分为递增数列和递减数列两类所有数列可分为递增数列和递减数列两类； (B)数列中的数由它的位

21、置序号唯一确定数列中的数由它的位置序号唯一确定； (C)数列数列1，3，5，7可表示为可表示为1，3，5，7； (D)同一个数在数列中不可能重复出现同一个数在数列中不可能重复出现。 类型一类型一 对数列定义的认识对数列定义的认识 B 数学练习数学练习 1、下列各项表示数列的是下列各项表示数列的是( ) (A)， (B)2008，2009，2010， ，2017 (C)锐角三角形锐角三角形，直角三角形直角三角形，钝角三角形钝角三角形 (D) ， ， ， abrrabrra br rarB 解析解析：数列是指按照一定次序排列的一列数数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图而不能是图 形、文字、

22、向量等形、文字、向量等。 2、下列数列既是递增数列下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是又是无穷数列的是( ) (A)1，2，3， ，20 (B)1，2，3， ，n， (C)1，2，3，2，5，6， (D)1，0，1，2， ，100， D 数学应用数学应用 例例2、已知数列的第、已知数列的第n项项an为为2n1，写出这个数列的首项、，写出这个数列的首项、 第第2项和第项和第3项。项。 类型二类型二 对数列的通项公式的认识对数列的通项公式的认识 数学练习数学练习 已知已知数列数列an的通项公式是的通项公式是an=n21，则该数列的第则该数列的第10项项a10= ，224是该数列的第是该数列的第

23、项项。 99 15 数学应用数学应用 类型三类型三 数列的通项公式与图象数列的通项公式与图象 例例3、已知数列、已知数列an的通项公式，写出这个数列的前的通项公式，写出这个数列的前5项，并项，并 作出它的图象。作出它的图象。 (1) ； (2) 。 1nnan( 1)2nna数学练习数学练习 根据下列数列根据下列数列an的通项公式，写出数列的前的通项公式，写出数列的前5项，并画出项，并画出 它们的图象。它们的图象。 (1) ； (2) 。 2+2nnna (1)cos2nna解：解：(1)当通项公式中的当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列时，数列an的的 前前5项依次为项依次为1，3

24、，6，10，15，如图所示，如图所示(1) (2)当通项公式中的当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列时，数列 an的的 前前5项依次为项依次为1，0，1，0，1，如图所示，如图所示(2) 数学应用数学应用 类型四类型四 根据数列的前几项求数列的通项公式根据数列的前几项求数列的通项公式 例例4、写出数列的一个通项公式写出数列的一个通项公式，使它的，使它的前前4项项分别是下列各数。分别是下列各数。 (1) ； (2)0，2，0，2。 11111 22 33 44 5，1( 1)(1)nnan n1( 1)nna 分析分析：观察、分析观察、分析，寻找数列的每一项与其所在项的序寻找数列的每一

25、项与其所在项的序 号之间的关系号之间的关系。 变式拓展变式拓展 根据数列的前根据数列的前4项项，写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式。 (1)2，5，10，17； ； ； (4)9，99，999，9999； (5)0.5，0.55，0.555，0.5555； (6)1，1，1，1； (7) ； (8) 。 24683153563，192822， ， ，1111135724816，2222213243541357，2(1)21nnnan数学建构数学建构 9、根据数列的前几项写通项公式的根据数列的前几项写通项公式的一般一般思路思路 (1)先统一项的结构先统一项的结构，如都化成分数、

26、根式等如都化成分数、根式等； (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变探索变 化部分的规律与对应序号间的关系化部分的规律与对应序号间的关系； (3)对于符号交替出现的情况对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值可先观察其绝对值，再再 用用(1)k处理符号处理符号； (4)对于周期出现的数列对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识考虑利用周期函数的知识来来 解答解答。 数学练习数学练习 根据数列的前根据数列的前4项项，写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式。 (1)1，3，7，15； (2)2，4，6，8； 。 149163579，

27、， ，课堂检测课堂检测 课本第课本第127页练习第页练习第1、2、3、4、5、6题。题。 1、数列的定义、数列的定义 按照按照一定次序排列一定次序排列的一列数称为的一列数称为数列数列。 2、数列项的定义、数列项的定义 数列中的数列中的每个数每个数叫做这个数列的叫做这个数列的项项。 数列中的第一个数叫做这个数列的数列中的第一个数叫做这个数列的第第1项项或或首项首项，各项，各项 依次叫作这个数列的依次叫作这个数列的第第1项项(或或首项首项)，第，第2项，项， ，第，第n 项。项。 课堂小结课堂小结 3、数列的分类、数列的分类 (1)按项的个数按项的个数 (2)按项的变化趋势按项的变化趋势 有穷数列

28、：项数有穷数列：项数有限有限的数列；的数列； 无穷数列：项数无穷数列：项数无限无限的数列。的数列。 递增数列：从第递增数列：从第2项起，每一项都项起，每一项都大于大于它的前一项它的前一项 的数列；的数列； 递减数列：从第递减数列：从第2项起，每一项都项起，每一项都小于小于它的前一项它的前一项 的数列。的数列。 常数列：各项都常数列：各项都相等相等的数列；的数列； 摆动数列：从第摆动数列：从第2项起，有些项项起，有些项大于大于它的前一项，它的前一项， 有些项有些项小于小于它的前一项的数列。它的前一项的数列。 课堂小结课堂小结 4、通项公式的定义、通项公式的定义 如果数列如果数列an 的第的第n项

29、项an与序号与序号n之间可以用一个公式来之间可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式， 通常记为通常记为anf(n)(nN*)。 5、数列的函数本质、数列的函数本质 在数列在数列an中，对于每一个正整数中，对于每一个正整数n(或或n1，2， ， k)，都有一个数，都有一个数an与之对应，因此数列可以看成正整与之对应，因此数列可以看成正整 数集数集N* (或它的有限子集或它的有限子集1，2， ，k)为定义域的函为定义域的函 数数anf(n)，当自变量按照从小到大顺序依次取值时，当自变量按照从小到大顺序依次取值时， 所对应的的一列函数值，通项

30、公式即函数解析式；反所对应的的一列函数值，通项公式即函数解析式；反 过来，对于函数过来，对于函数y f(x)，如果，如果f(i)(i1，2，3 )有意有意 义，那么我们可以得到一个数列：义，那么我们可以得到一个数列： f(1)， f(2)， f(3)， ， f(n)， 课堂小结课堂小结 6、数列的图象、数列的图象 7、数列的前、数列的前n项和的定义项和的定义 Sna1a2a3 an 一些一些离散离散、孤立孤立的的非连续非连续之点。之点。 8、数列递推公式的定义、数列递推公式的定义 一般地，如果已知一个数列一般地，如果已知一个数列an的第的第1项项(或前几项或前几项)，且，且任一项任一项an与它

31、的前一项与它的前一项an1 (或前几项或前几项)间的关系可以用间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公递推公式式，递推公式也是给定数列的一种方法。，递推公式也是给定数列的一种方法。 课堂小结课堂小结 9、根据数列的前几项写通项公式的根据数列的前几项写通项公式的一般一般思路思路 (1)先统一项的结构先统一项的结构，如都化成分数、根式等如都化成分数、根式等； (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变探索变 化部分的规律与对应序号间的关系化部分的规律与对应序号间的关系； (3)对于符号交替出现的情况对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值可先观察其绝对值，再再 用用(1)k处理符号处理符号； (4)对于周期出现的数列对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识考虑利用周期函数的知识来来 解答解答。 课堂小结课堂小结