4.2.3等差数列的前n项和（2）课件-2022年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

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1、1、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式 1(1) ()naand nN()naanb nN2、等差数列通项公式的特征式、等差数列通项公式的特征式 1da aab，复习回顾复习回顾 3、等差数列的前、等差数列的前n项和公式项和公式 12nnn aaS1(1)2nn nSnad复习回顾复习回顾 5、等差数列前、等差数列前n项和公式的特征式项和公式的特征式 2nSAnBn12dA aA B，4、等差数列的前、等差数列的前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法 倒序相加法倒序相加法 问题诊断问题诊断 2、已知等差数列已知等差数列an， (1)a156，a1532，Sn5，求，求 d 和和 n； (

2、2)a14，S8172，求，求 a8和和 d。 1、思考辨析思考辨析 (1)若若 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，则数列项和，则数列 Snn也是也是 等差数列等差数列； (2)若若 a10，d0，则等差数列，则等差数列an中所有正项之和最大中所有正项之和最大； (3)在等差数列在等差数列an中，中，Sn是其前是其前 n 项和，则有项和，则有 S2n1 (2n1)an。 问题诊断问题诊断 3、已知数列、已知数列an的前的前n项和为项和为Snn2，则，则( ) (A)an2n1 (B)an2n1 (C)an2n1 (D)an2n1 数学应用数学应用 例例1、(1)已知已知Snn21

3、2n，问当，问当n为何值时，为何值时， Sn 取得最取得最 大值？并求出最大值；大值？并求出最大值； (2)已知已知Snn213n，问当，问当n为何值时，为何值时， Sn 取得最取得最 大值？并求出最大值。大值？并求出最大值。 类型一类型一 等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题 数学应用数学应用 例例2、在等差、在等差数列数列an中，中，a1023， a2522， (1)该数列从第几项开始为负？该数列从第几项开始为负？ (2)该数列前多少项和最大？求出最大值。该数列前多少项和最大？求出最大值。 关于等差数列前关于等差数列前n项和最值项和最值的的求解求解 数学建构数学建构 法一：法

4、一：因等差数列因等差数列an的前的前n项和为项和为SnAn2Bn(A0) 是关于是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方的二次函数，利用二次函数求最值的方 法求解，注意法求解，注意nN*的条件限制；的条件限制； 法二：法二：利用通项利用通项来来公式寻求正、负项的分界点公式寻求正、负项的分界点求解，即求解，即 从第一项起到分界点该项的各项和为最大从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小小)， 常有如下情况：常有如下情况： (1)当首项当首项a10且公差且公差d0时，其前时，其前n项和项和Sn有有 最大值最大值，即，即前所有非负项最大前所有非负项最大； (2)当首项当首项a10且公差且公差d0时

5、，其前时，其前n项和项和Sn有有 最小值最小值，即，即前所有正负项最小前所有正负项最小。 说明：说明：当首项当首项a10且公差且公差d 0时，其前时，其前n项和项和Sn有有最小最小 值值S1 ，无最大值无最大值；当首项；当首项a1 0且公差且公差d 0时，时， 其前其前n项和项和Sn有有最大值最大值S1 ，无最小值无最小值。 数学练习数学练习 1、已知已知数列数列an的通项的通项an2n13，问当，问当n _时，时， Sn 取得最取得最_值值_ 2、已知已知数列数列an的通项的通项an2n14，问当，问当n _时，时， Sn 取得最取得最_值值_ 数学应用数学应用 例例3、等差数列、等差数列a

6、n中，已知中，已知a10，S4S9 ，求，求Sn取得最大取得最大 值时值时n的值。的值。 变式拓展变式拓展 1、在等差数列、在等差数列an中，若中，若a312，且，且S120，S130，求公，求公 差差d的取值范围与的取值范围与Sn的最大值。的最大值。 2、在等差数列、在等差数列an中，若中，若a313，且，且S3S11，问：当，问：当n取何取何 值时，值时，Sn取最大值。取最大值。 数学应用数学应用 例例4、在等差数列、在等差数列an中，若中，若an2n11，试求数列，试求数列|an|的的 前前n项和项和Tn。 类型二类型二 等差数列各项绝对值的前等差数列各项绝对值的前n项和项和 变式拓展变

7、式拓展 数列数列an的前的前n项和项和Sn32nn2， (1)求求an的通项公式；的通项公式； (2)问问an的前多少项和最大？的前多少项和最大？ (3)设设bn|an|，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn。 课堂检测课堂检测 课本第课本第138页练习第页练习第4、5、6题。题。 课堂小结课堂小结 关于等差数列前关于等差数列前n项和最值项和最值的的求解求解 法一：法一：因等差数列因等差数列an的前的前n项和为项和为SnAn2Bn(A0) 是关于是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方的二次函数，利用二次函数求最值的方 法求解，注意法求解，注意nN*的条件限制；的条件限制； 法二：法二：

8、利用通项利用通项来来公式寻求正、负项的分界点公式寻求正、负项的分界点求解，即求解，即 从第一项起到分界点该项的各项和为最大从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小小)， 常有如下情况：常有如下情况： (1)当首项当首项a10且公差且公差d0时，其前时，其前n项和项和Sn有有 最大值最大值，即，即前所有非负项最大前所有非负项最大； (2)当首项当首项a10且公差且公差d0时，其前时，其前n项和项和Sn有有 最小值最小值，即，即前所有正负项最小前所有正负项最小。 说明：说明：当首项当首项a10且公差且公差d 0时，其前时，其前n项和项和Sn有有最小最小 值值S1 ，无最大值无最大值；当首项；当首项a1 0且公差且公差d 0时，时， 其前其前n项和项和Sn有有最大值最大值S1 ，无最小值无最小值。