2.1圆的方程——圆的一般方程（2）课件-2022年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册

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1、复习回顾复习回顾 一、一、 复习回顾复习回顾 二、二、 复习回顾复习回顾 1 1、圆的一般方程：、圆的一般方程： 复习回顾复习回顾 复习回顾复习回顾 2、二元二次二元二次方程方程Ax2BxyCy2DxEyF0表表 示圆示圆的条件的条件 复习回顾复习回顾 4 4、关于求圆的方程时形式的选择、关于求圆的方程时形式的选择 一般说来，一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆

2、的一般方程径都无直接关系，往往设圆的一般方程。 3、待定系数法求圆的方程的一般步骤：、待定系数法求圆的方程的一般步骤： (1)设所求圆的方程为标准式或一般式；设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)列出关于列出关于a，b，r或或D，E，F的方程组；的方程组； (3)解方程组，求出解方程组，求出a，b，r或或D，E，F的值，代入所设的值，代入所设圆的方程，就可以得到所求圆的方程。圆的方程，就可以得到所求圆的方程。 复习回顾复习回顾 1、若方程、若方程x2y22x4ym0表示一个圆，则实表示一个圆，则实数数m的取值范围是的取值范围是_ 2、经过、经过A(4，2)， B(1，3)两点，且在两坐标轴上

3、两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为的四个截距之和为2的圆的方程为的圆的方程为_ 问题诊断问题诊断 法二：法二： 法一：法一： 1、若方程、若方程x2y22x4ym0表示一个圆，则实表示一个圆，则实数数m的取值范围是的取值范围是_ 2、经过、经过A(4，2)， B(1，3)两点，且在两坐标轴上两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为的四个截距之和为2的圆的方程为的圆的方程为_ 问题诊断问题诊断 韦达定理韦达定理 1、圆的第二定义、圆的第二定义(阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆) 平面上到两个定点的距离之比等于一个常数平面上到两个定点的距离之比等于一个常数 (0且且 1 )的动点的轨迹。的动点的轨迹。 即：

4、即： 数学建构数学建构 x y 0 A(a,0) B(0,0) (1)CACB C(x,y) 注：注：当当 时，点时，点C(x,y)在线段在线段AB的中垂线上，此时的中垂线上，此时动点动点C的轨迹是一条直线，不是圆。的轨迹是一条直线，不是圆。 =1（其中点（其中点A,BA,B为定点，点为定点，点C C为动点）为动点） (0且且 1 ) 类型一类型一 圆的第二定义的认识圆的第二定义的认识 活动探究活动探究 例例1、已知点、已知点M(x，y)到两个定点到两个定点A(3，0)， B(3，0)的距离之比为的距离之比为2，求，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点满足的关系式，并指出满足条件的点M所构

5、成的曲线。所构成的曲线。 数学练习数学练习 已知曲线上任一点与定点已知曲线上任一点与定点O(0，0)，A(3，0)距离的比是距离的比是 ，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 。 (2008(2008江苏高考江苏高考) )满足条件满足条件ABAB2 2，ACAC= = BC的的ABC 能力提升能力提升 的面积最大值为的面积最大值为_ (2008(2008江苏高考江苏高考) )满足条件满足条件ABAB2 2，ACAC= = BC的的ABC 能力提升能力提升 的面积最大值为的面积最大值为_ 已知线段已知线段AB的长为的长为2，动点，动点M到到A，B两点的距离的平方和两点的

6、距离的平方和为为10，求动点，求动点M的轨迹。的轨迹。 变式拓展变式拓展 解：解：如图，如图，建立以建立以AB 中点中点O为原点，为原点，AB的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴的平面直角坐标系轴的平面直角坐标系. 则则 A(-1,0),B(1,0)，设，设 M(x,y)， 依题意得，依题意得，MA2+MB2=10，即，即(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=10， 即即 x2+y2=4. 所以所以动点动点M的轨迹为：以点的轨迹为：以点(0,0)为圆心，为圆心，2为半径的圆为半径的圆. （1）一般地一般地，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标

7、x 、y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数，即即 并且对于并且对于t t的每一个允许值的每一个允许值，由上述方程组所确定的点由上述方程组所确定的点M M（x x，y y）都在这条曲线上都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方参数方程程 ，联系联系x x、y y之间关系的变数叫做之间关系的变数叫做参变数参变数，简称简称参数参数. .参数方参数方程的参数可以是有物理程的参数可以是有物理、几何意义的变数几何意义的变数，也可以是没有明显也可以是没有明显意义的变数意义的变数. . ( )( )xf tyg t (2) (2)（2 2）相对于参数方程来说相对于

8、参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程标关系的方程，叫做曲线的叫做曲线的普通方程普通方程. . 1 1、参数方程的概念、参数方程的概念: : 数学建构数学建构 21233(21(01)(5 4)(6)xtCtytMMCMaCa.，例例1 1、已已知知曲曲线线 的的参参数数方方程程是是为为参参数数) )，(1)(1)判判断断点点，与与曲曲线线 的的位位置置关关系系；(2)(2)已已知知点点，在在曲曲线线 上上，求求 的的值值11222(1)(01)0(5 4)53421.MtMC.MttMC解解： 把把点点的的坐坐标标，代代入入方方程程组组，解解得

9、得，因因此此在在曲曲线线 上上把把点点的的坐坐标标 ， 代代入入方方程程，组组，得得到到，这这个个方方程程组组无无解解，因因此此点点不不在在曲曲线线 上上32(2)(6)6329.9.21MaCttaaat因因为为点点，在在曲曲线线 上上，所所以以， 解解得得 因因此此，例：例： 2 2、圆的参数方程、圆的参数方程: : 圆周运动是生产生活中常见的圆周运动是生产生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时，当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动（图物体中各个点都作匀速圆周运动（图2-3）.那么，怎样刻画运那么，怎样刻画运动中的点的位置呢？动中的点的位置呢？ 图图2-3 xyM0MrO

10、图图2-4 数学建构数学建构 00(0).OrMMtOMOOOMxMtt. 如如图图2-42-4，设设圆圆 的的半半径径是是 ，点点从从初初始始位位置置时时的的位位置置 出出发发，按按逆逆时时针针方方向向在在圆圆 上上作作匀匀速速圆圆周周运运动动，点点绕绕点点 转转动动的的角角速速度度为为以以圆圆心心 为为原原点点，所所在在的的直直线线为为轴轴，建建立立直直角角坐坐标标系系. .显显然然，点点的的位位置置由由时时刻刻 惟惟一一确确定定，因因此此可可以以取取 为为参参数数xyM0MrO图图2-4 ()tMM xyt.OM =r 如如果果在在时时刻刻 ，点点转转过过的的角角度度是是，坐坐标标是是，

11、 ，那那么么= =设设，那那么么由由三三角角函函数数定定义义, ,有有数学建构数学建构 xyM0MrO图图2-4 coscossin()sin.().xrtxytttyrtrrOr.t，即即为为参参数数这这就就是是圆圆心心在在原原点点 ，半半径径为为 的的圆圆的的参参数数方方程程其其中中参参数数 有有明明确确的的物物理理意意义义 质质点点作作匀匀速速圆圆周周运运动动的的时时刻刻cos()sin .txryrOr. 考考虑虑到到= =，也也可可以以取取为为参参数数，于于是是有有 为为参参数数 这这也也是是圆圆心心在在原原点点 ，半半径径为为 的的圆圆的的参参数数方方程程00OMOOMOM.其其中

12、中参参数数的的几几何何意意义义是是绕绕点点逆逆时时针针旋旋转转到到的的位位置置时时，转转过过的的角角度度数学建构数学建构 由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程. .一般地，同一一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式可以有不同的形式. .形式不同的参数方程，它们表示的曲线却形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的可以是相同的. . 另外，在建立曲线的参数方程时，另外，在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取要注明参数及参数的取值范围值范围. . 数

13、学建构数学建构 0()MxyrM OMMxy如如果果点点的的坐坐标标为为 ， ，圆圆半半径径为为 ，根根据据三三角角函函数数定定义义，点点的的横横坐坐标标 、纵纵坐坐标标 都都是是的的函函数数，即即sincosryrx 并且对于并且对于 的每一个允许值，由方的每一个允许值，由方 程组所确定的点程组所确定的点M(x，y)，都在圆，都在圆O上上. 5 思考思考1：圆心为原点，半径为：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？的圆的参数方程？ 我们把方程组叫做圆心在原点、半径为我们把方程组叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数的圆的参数方程，方程， 是参数是参数 2 2、圆的参数方程、圆的参数方程: : x

14、yM0MrO数学建构数学建构 11111 ()()()O abrOrOP xyOP xy圆心为， 、半径为 的圆可以看作由圆心为原点 、半径为 的圆平移得到，设圆上任意一点，是圆 上的点，平移得到的，由平移公式，有sincos11ryrx又又 所以所以 byyaxx11r 1( , )O a b. . Oy x ( , )P x y111( ,)P x y()vab，数学建构数学建构 思考思考2：圆心为：圆心为O1(a,b),半径为半径为r的圆的标准方程为的圆的标准方程为（x-a)2+(y-b)2=r2,那么参数方程是什么呢？那么参数方程是什么呢？ 2 2、圆的参数方程、圆的参数方程: : 数

15、学建构数学建构 3 3、圆的参数方程与普通方程的互化：、圆的参数方程与普通方程的互化： sincosryrx222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1 1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。关系。 2 2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x x与与y y直接关系很难或不可能直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。体现时，通过参数建立间接的联系。 222xyr数学建构数学建构 数学建

16、构数学建构 3 3、圆的参数方程与普通方程的互化：、圆的参数方程与普通方程的互化： 例：已知圆方程例：已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程，将它化为参数方程. 解：解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， 参数方程为参数方程为: : sin3cos1yx(为参数为参数) 22131xysincosrbyrax类型二类型二 圆的参数方程的应用圆的参数方程的应用 活动探究活动探究 例例2、已知点、已知点P(x，y)是圆是圆C：x2y22x2 的一个动点，求：的一个动点，求：(1) xy的最小值；的最小值； (2) x2y2的最的最大值。大值。 y0上

17、上 类型二类型二 圆的参数方程的应用圆的参数方程的应用 活动探究活动探究 例例2、已知点、已知点P(x，y)是圆是圆C：x2y22x2 的一个动点，的一个动点， 求：求：(1) xy的最小值；的最小值； (2) x2y2的最大值。的最大值。 y0上上 例例3、图中是某圆拱桥的一孔圆拱示意图，该圆拱跨度、图中是某圆拱桥的一孔圆拱示意图，该圆拱跨度AB20m，拱高拱高OP4m，在建造时每个，在建造时每个4m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度的长度(精确到精确到0.01)。 类型二类型二 圆的参数方程的应用圆的参数方程的应用 活动探究活动探究 x y 课堂检测课堂检测 课

18、本第课本第56页习题第页习题第1、2、3、4、5、6、7题。题。 1、圆的第二定义、圆的第二定义(阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆) 平面上到两个定点的距离之比等于一个常数平面上到两个定点的距离之比等于一个常数 (0且且 1 )的动点的轨迹。的动点的轨迹。 即：即： 课堂小结课堂小结 x y 0 A(a,0) B(0,0) (1)CACB C(x,y) 注：注：当当 时，点时，点C(x,y)在线段在线段AB的中垂线上，此时的中垂线上，此时动点动点C的轨迹是一条直线，不是圆。的轨迹是一条直线，不是圆。 =1（其中点（其中点A,BA,B为定点，点为定点，点C C为动点）为动点） 2 2、圆的参数方程、圆的参数方程: : 课堂小结课堂小结 3 3、圆的参数方程与普通方程的互化：、圆的参数方程与普通方程的互化： 课堂小结课堂小结