江苏省宜兴市丁蜀学区2021年九年级上第一次质量调研考试数学试卷（含答案解析）

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1、宜兴市丁蜀学区宜兴市丁蜀学区 2021 年九年级上第一次质量调研考试数学试年九年级上第一次质量调研考试数学试卷卷 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 3 分）分） 1. 下列方程中，是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. 212(1)xx B. 21120 xx C. 20axbxc D. 222xxx 2. 已知一元一次方程210 xx ，下列判断正确的是（ ） A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 3. 用配方法解一元二次方程 x2 - 6x + 5 = 0，其中配方正确的是（ ） A. （x - 3）2

2、 = 5 B. （x 3）2 = -4 C. （x - 3）2 = 4 D. （x - 3）2 = 9 4. 一元二次方程（x2）29的两个根分别是（ ） A. x11，x25 B. x11，x25 C. x11，x25 D. x11，x25 5. 三角形两边的长是 3和 4，第三边的长是方程212350 xx的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12 或 14 D. 以上都不对 6. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台黄金分割点处最自然得体，若舞台 AB长 20m，试计算主持人应走到离 A至少多少米处是比较得体的位置?(A在 B左边，主持人在 A 处) （ ） A.

3、 7.64m B. 12.3m C. 13.4 m D. 6m 7. 若关于x的一元二次方程2215320mxxmm的常数项为 0，则 m的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 0 8. 已知 ，是方程2201510 xx 的两个根，则22(20161)(20161)的值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若 x1+x2=3，x12+x22=5，则以 x1、x2为根一元二次方程是（ ） A x2-3x+2=0 B. x2+3x-2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2-3x-2=0 10. 给出一种运算：对于函数 y=xn，规定y=nxn-1例如：若函

4、数 y1=x4，则有34yx 函数 y=x3，则方程12y 的解是（ ） A. x1=4，x2=-4 B. x1=23，x2=-23 C. x1=x2=0 D. x1=2，x2=-2 二、填空题： （每空二、填空题： （每空 3 分）分） 11. 一元二次方程23250 xx的一次项系数是_ 12. 若 x=2是方程 x2+3x2m=0 的一个根，则 m的值为_ 13. 已知关于x的方程11210mmxmxm是一元二次方程，则bc _ 14. 已知0234xyz，则2xxyyz_ 15. 现定义运算“”，对于任意实数 a、b，都有 ab=a23a+b，如：35=323 3+5，若 x2=6，则

5、实数 x的值是_ 16. A、 B两地的距离AB=5km， 在图上量得对应的距离AB=2cm， 则图上距离与实际距离之比为_ 17. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系， 每盆植 3株时， 平均每株盈利 4元； 若每盆增加 1株，平均每株盈利减少 0.5元，要使每盆的盈利达到 15元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x株，则一株的盈利为 _元，可列出的方程是_ 18. 已知关于 x 的方程 a(x+c)2+b=0(a， b， c 为常数， a0)的两根分别为-2， 1， 那么关于 x的方程 a(x+c-2)2+b=0的两根分别为_，c=_ 三、解答题（共三、解答题（共 90 分）分） 1

6、9. 解方程 （1）2312x （2）2230 xx （3）22310 xx （4） （2x1）2x2=0 （5）24120 xx （6）2(21)210 xx 20. 已知：如图，AC，DB相交于点 O，ABDC，ABODCO 求证： （1）ABODCO； （2）OBCOCB 21. 如果221016890 xyxy，求xy的值 22. 当 x取何值时，代数式 2x2-6x+7值最小？并求出这个最小值 23. 已知关于 x 的方程221(2)04xmxm有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 m的取值范围； （2） 是否存在实数 m， 使方程的两个实数根互为相反数？如果存在， 求出 m的

7、值； 如果不存在， 说明理由 24. 已知关于 x 的方程221(2)04xmxm是否存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 224？若存在，求出满足条件的 m的值 25. 如图， ADEABC，AD3cm，AE2cm，CE4cm，BC9cm (1)求 BD、DE的长； (2)求 ADE与 ABC的周长比 26. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40元，按每千克 60元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：每千克核桃应降价多少元？ 27. 关于

8、 x 的一元二次方程2()2()0ac xbxac， 其中 a，b，c分别为ABC三边长 （1）若方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由； （2）若ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 28. 如图，在 RtABC中，B=90，BC=5 3 ，C=30点 D从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的速度向点 A匀速运动， 同时点 E从点 A出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动， 当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D、E 运动的时间是 t秒（t0） 过点 D作 DFBC于点 F，连接 DE、EF （1）求证：AE=DF；

9、 （2）四边形 AEFD能够成为菱形吗?如果能，求出相应t值；如果不能，说明理由 （3）当 t何值时，DEF为直角三角形?请说明理由 宜兴市丁蜀学区宜兴市丁蜀学区 2021 年九年级上第一次质量调研考试数学试年九年级上第一次质量调研考试数学试卷卷 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 3 分）分） 1. 下列方程中，是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. 212(1)xx B. 21120 xx C. 20axbxc D. 222xxx 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：只含有 1 个未知数且未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0的整

10、式方程，由这两个条件可得出结果 【详解】A、212(1)xx可化为210 x ，是一元二次方程，符合题意； B、21120 xx不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意； C、20axbxc，当 a = 0时不是一元二次方程，不符合题意； D、222xxx可化为20 x，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键 2. 已知一元一次方程210 xx ，下列判断正确的是（ ） A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 【答案】B 【

11、解析】 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：24145 0bac ， 方程有两个不相等的实数根 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式 3. 用配方法解一元二次方程 x2 - 6x + 5 = 0，其中配方正确的是（ ） A. （x - 3）2 = 5 B. （x 3）2 = -4 C. （x - 3）2 = 4 D. （x - 3）2 = 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：2650,xx 265,xx 26959,xx 234,x 故选 C. 4. 一元二次方程（x2）29的两个根分别是（ ） A. x11，x25

12、 B. x11，x25 C. x11，x25 D. x11，x25 【答案】D 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程即可. 【详解】 （x2）29， 两边直接开平方得：x2 3， 则 x23，x23， 解得：x11，x25 故选 D 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成 x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解 5. 三角形两边的长是 3和 4，第三边的长是方程212350 xx的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12 或 14 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分

13、析】解方程得 x5 或 x7，由三角形三边满足的条件可知 x7 不合题意，x5 符合题意，由此即可求得周长 【详解】解：解方程 x212x350 得 x5或 x7， 又 347， 故长度为 3，4，7的线段不能组成三角形， x7 不合题意， 三角形的周长为 34512 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件 6. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台黄金分割点处最自然得体，若舞台 AB长 20m，试计算主持人应走到离 A至少多少米处是比较得体的位置?(A在 B左边，主持人在 A 处) （ ） A 7.64m B. 12.3m C.

14、13.4 m D. 6m 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义“将整体分成两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为 0.618”进行求解即可得 【详解】解：根据黄金比得：20 (1 0.618)7.64（m） ， 黄金分割点有 2个， 20 7.6412.36（m） ， 由于 7.6412.36， 故计算机主持人应走到离 A 至少 7.64米处是比较得体的位置， 故选 A 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金分割的比值 7. 若关于x的一元二次方程2215320mxxmm的常数项为 0，则 m的值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 1或

15、 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得2320mm且二次项系数10m 即可求解 【详解】解：由题意可知：常数项2320mm且二次项系数10m ， 当2320mm时解得11m ，22m ， 又10m ，即1m 2m， 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及二次项、一次项、常数项的概念等，熟练掌握基本概念是解决本题的关键 8. 已知 ，是方程2201510 xx 的两个根，则22(20161)(20161)的值（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得2201510 ，2201510 ，再结合方程根与系数的

16、关系，即可求解 【详解】解：， 是方程2201510 xx 的两个根， 2201510 ，2201510 ， 22(20161)(20161)=1ca 故选 A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得到2201510 ，2201510 ，是解题的关键 9. 若 x1+x2=3，x12+x22=5，则以 x1、x2为根的一元二次方程是（ ） A. x2-3x+2=0 B. x2+3x-2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2-3x-2=0 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算出 x1x22，然后根据根与系数的关系写出以 x1，x2为根的一元二次方程 【

17、详解】解：x12x225， （x1x2）22x1x25， 而 x1x23， 92x1x25， x1x22， 以 x1，x2为根的一元二次方程为 x23x20 故选：A 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根时，x1x2ba，x1x2ca 10. 给出一种运算：对于函数 y=xn，规定y=nxn-1例如：若函数 y1=x4，则有34yx 函数 y=x3，则方程12y 的解是（ ） A. x1=4，x2=-4 B. x1=23，x2=-23 C. x1=x2=0 D. x1=2，x2=-2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：若函数 y=

18、x3，则 y=3x2， 故方程 y=12 可以改写为 3x2=12， 解这个一元二次方程，得 x1=2，x2=-2，即原方程 y=12 的解为 x1=2，x2=-2. 故本题应选 D. 二、填空题： （每空二、填空题： （每空 3 分）分） 11. 一元二次方程23250 xx的一次项系数是_ 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式的特点即可求解 【详解】一元二次方程23250 xx的一次项系数是-2 故答案为：-2 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2bxc0（a，b，c是常数且 a0）特别要注意 a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项

19、，bx 叫一次项，c是常数项其中 a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 12. 若 x=2是方程 x2+3x2m=0 的一个根，则 m的值为_ 【答案】5 【解析】 【详解】解：把 x2 代入方程得：223 22m0， 解得：m5 故答案为 5 13. 已知关于x的方程11210mmxmxm是一元二次方程，则bc _ 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义列出关于 m的方程组，求出 m 的值即可求解 【详解】解：方程11210mmxmxm是一元二次方程， 1012mm ，解得：1m ， 211bm ，1cm ， 0bc， 故答案为：0 【点睛】本题考查的是一元二次方程的

20、定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键 14. 已知0234xyz，则2xxyyz_ 【答案】56 【解析】 【分析】设234xyzk，再将, ,x y z分别用k的代数式表示，再代入约去k即可求解 【详解】解：设0234xyzk， 则234xkykzk=， 故2222222(2 )23461053412126xxykkkkkkyzkkkk， 故答案为：56 【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键 15. 现定义运算“”，对于任意实数 a、b，都有 ab=a23a+b，如：35=323 3+5，若 x2=6

21、，则实数 x的值是_ 【答案】1或 4 【解析】 【详解】解：根据题中的新定义将 x2=6变形得： x23x+2=6，即 x23x4=0，将左边因式分解得： （x4） （x+1）=0， 解得：x1=4，x2=1 实数 x的值是1或 4 16. A、 B两地的距离AB=5km， 在图上量得对应的距离AB=2cm， 则图上距离与实际距离之比为_ 【答案】1:250000 【解析】 【分析】统一单位列式计算即可 【详解】解：图上距离与实际距离之比为 2:500000=1:250000， 故答案为：1:250000 【点睛】此题考查了比例尺，弄清比例尺的求解方法是解题的关键，注意统一单位 17. 某种

22、花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系， 每盆植 3株时， 平均每株盈利 4元； 若每盆增加 1株，平均每株盈利减少 0.5元，要使每盆的盈利达到 15元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x株，则一株的盈利为 _元，可列出的方程是_ 【答案】 . 40.5x . 4 0.5315xx 【解析】 【分析】根据已知假设每盆花苗增加 x 株，则每盆花苗有（x3）株，得出平均单株盈利为（40.5x）元，由题意得（x3） （40.5x）15 即可 【详解】解：设每盆应该多植 x 株，则一株的盈利为（40.5x） ，由题意得 （3x） （40.5x）15， 故答案为： （40.5x） ， （3x） （40.

23、5x）15 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用， 根据每盆花苗株数 平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键 18. 已知关于 x 的方程 a(x+c)2+b=0(a， b， c 为常数， a0)的两根分别为-2， 1， 那么关于 x的方程 a(x+c-2)2+b=0的两根分别为_，c=_ 【答案】 . 120,3xx#123,0 xx . 12#0.5 【解析】 【分析】根据方程 a(x+c)2+b=0(a，b，c 为常数，a0)的两根分别为-2，1，进行转化，即可得到 c的值，然后即可得到方程 a（xc2）2b0 的两根 【详解】解：方程 a(x+c)2+b=0(a，b，c为常数，a0)的

24、两根分别为-2，1， a（2c）2b0或 a（1c）2b0， （2c）2ba或（1c）2ba， 2c和 1c是同一个数的两个平方根， 2c1c0， 解得，c0.5， （20.5）2ba， ba94， a（xc2）2b0， （x0.52）294， 解得，x13，x20， 故答案为：120,3xx，12 【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法 三、解答题（共三、解答题（共 90 分）分） 19. 解方程 （1）2312x （2）2230 xx （3）22310 xx （4） （2x1）2x2=0 （5）24120 xx （6）2(21)210 xx 【答案】（1）

25、1222xx ，；（2）12302xx，；（3）1231731744xx ，；（4）12113xx，；（5）1226xx ，； （6）12112xx， 【解析】 【分析】 （1）首先方程两边同时除以 3，然后直接对方程两边同时开方即可求解； （2）根据提公因式法解一元二次方程求解即可； （3）根据公式法解一元二次方程求解即可； （4）根据平方差公式把方程左边转化成2121xxxx 即可求解； （5）根据十字相乘法解一元二次方程求解即可； （6）根据提公因式法解一元二次方程求解即可 【详解】解： （1）2312x 24x 解得：1222xx ，； （2）2230 xx 230 xx 解得：123

26、02xx，； （3）22310 xx a=2，b=3，c=-1， 22434 2117bac ， 2431722 2bbacxa ， 解得：1231731744xx ，； （4） （2x1）2x2=0， 212101 310 xxxxxx 解得：12113xx，； （5）24120 xx 260 xx， 解得：1226xx ，； （6）2(21)210 xx 22121021 21 1021 220 xxxxxx 解得：12112xx， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法 ，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程

27、的特点灵活选用合适的方法 20. 已知：如图，AC，DB相交于点 O，ABDC，ABODCO 求证： （1）ABODCO； （2）OBCOCB 【答案】 （1）见详解； （2）见详解 【解析】 【分析】 （1）根据 AAS，即可证明ABODCO； （2）根据全等三角形的性质得 OB=OC，进而即可得到结论 【详解】证明： （1）在ABO与DCO中， ABDCABODCOAOBDOC ， ABODCO（AAS） ； （2）ABODCO， OB=OC， OBCOCB 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握 AAS判定三角形全等，是解题的关键 21. 如果22101

28、6890 xyxy，求xy的值 【答案】58 【解析】 【分析】先将 89 拆成 64+25，然后配成两个完全平方式相加，再根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为 0”，解出 x、y的值即可求解 【详解】解：由已知221016890 xyxy， 得22580 xy， 225=080 xy， 5,8xy 58xy 【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，解题关键是掌握两个非负数相加和为 0，这两个非负数的值都为 0 22. 当 x取何值时，代数式 2x2-6x+7的值最小？并求出这个最小值 【答案】当32x 时，最小值52 【解析】 【分析】先将代数式配方得到 2x2

29、-6x+7=2352,22x 即可得出结果 【详解】解：2x2-6x+7 22222379923744392724352,22xxxxxx 2302x， 当32x 时，代数式 2x2-6x+7 最小值为52 【点睛】本题主要考查代数式最小值，属于基础题，熟练掌握配方的方法和完全平方公式是解题关键 23. 已知关于 x 的方程221(2)04xmxm有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 m的取值范围； （2） 是否存在实数 m， 使方程两个实数根互为相反数？如果存在， 求出 m的值； 如果不存在， 说明理由 【答案】 （1）m1； （2）不存在；理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意

30、根的判别式大于 0即可求解； （2）根据互为相反数的两数和等于 0 得方程，求解并判断即可 【详解】解： （1）关于 x 的方程221(2)04xmxm有两个不相等的实数根， =（m-2）2-2144m 0 即：4-4m0 m1 （2）由题意，x1+x2=214m =4m-8， 若方程两实数根互为相反数，则 4m-8=0， 解得，m =2， 因为 m1， 所以 m=2时，原方程没有实数根， 所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 （2）易错，只关注求 m 的值而忽略 m的范围 24. 已知关于 x 的方程221(2)04xmxm是否存

31、在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 224？若存在，求出满足条件的 m的值 【答案】不存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 224理由见详解 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，化简 x12x22224，即（x1x2）22x1x2224根据根与系数的关系即可得到关于 m的方程，解得 m的值，再判断 m是否符合满足方程根的判别式 【详解】解：假设存在，则有 x12x22224 x1x2214m=4m8， x1x2214m=4m2， （x1x2）22x1x2224，即（4m8）224m2224， m28m200， （m10） （m2）0， m110，m22 （m2）2m244m0

32、，m为正数 0m1， m110，m22都不符合题意， 故不存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 224 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2bxc0（a0，a，b，c 为常数）根的判别式当 0，方程有两个不相等的实数根；当 0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根考查了根与系数的关系，也考查了存在性问题的解题方法和格式 25. 如图，ADEABC，AD3cm，AE2cm，CE4cm，BC9cm (1)求 BD、DE的长； (2)求ADE与ABC 的周长比 【答案】 （1）BD=6，DE=3； （2）13 【解析】 【分析】 （1）根据相似三角形的性质得出ADAEABAC，然

33、后代入求解即可； （2）根据相似三角形周长比等于相似比求解即可 【详解】解： （1）AE2cm，CE4cm， AC=AE+CE=2+4=6cm， ADEABC， ADAEDEABACBC，即3269DEAB， 解得：AB=9，DE=3， BD=AB-AD=9-3=6； （2）ADEABC， 相似比=2163AEAC， ADE与ABC 的周长比为13 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质相似三角形对应边成比例，相似三角形的周长比等于相似比 26. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40元，按每千克 60元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调

34、查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：每千克核桃应降价多少元？ 【答案】每千克核桃应降价 4元或 6元 【解析】 【分析】设每千克核桃降价 x元，利用销售量每件利润2240元列出方程求解即可 【详解】解：设每千克核桃应降价 x 元 根据题意，得 （60 x40） （1002x 20）2240 化简，得 x210 x240 解得 x14，x26 答：每千克核桃应降价 4元或 6 元 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程 27. 关于 x一元二次方程2()2()0ac

35、xbxac， 其中 a，b，c分别为ABC三边长 （1）若方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由； （2）若ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 【答案】(1)ABC 是直角三角形，理由见解析； （2）1x=0，2x=1 【解析】 【分析】（1） 根据方程有两个相等的实数根得出=0， 即可得出 a2=b2+c2， 根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据等边进行得出 a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解 【详解】(1)ABC 是直角三角形， 理由是：关于 x的一元二次方程2()2()0ac xbxac有两个相等的实数根， =0 即2-4()()0ac ac（2b

36、） 222abc ABC是直角三角形； (2)ABC是等边三角形， a=b=c， 方程2()2()0ac xbxac可整理为 2a2x2ax=0， 2xx=0， 解得：1x=0，2x=1 【点睛】此题考查了根的判别式，等边三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理逆定理的应用，掌握是一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键 28. 如图，在 RtABC中，B=90，BC=5 3 ，C=30点 D从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的速度向点 A匀速运动， 同时点 E从点 A出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动， 当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止

37、运动设点 D、E 运动的时间是 t秒（t0） 过点 D作 DFBC于点 F，连接 DE、EF （1）求证：AE=DF； （2）四边形 AEFD能够成为菱形吗?如果能，求出相应的 t值；如果不能，说明理由 （3）当 t为何值时，DEF 为直角三角形?请说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）103t 秒； （3）52t 秒或 4秒 【解析】 【分析】 （1）在DFC中，DFC=90 ，C=30 ，由已知条件求证； （2）求得四边形 AEFD为平行四边形，若使AEFD为菱形则需要满足的条件及求得； （3）利用分类讨论的思想：EDF=90 时，四边形 EBFD 为矩形，在直角三角形 AED 中求得

38、 AD=2AE即求得；DEF=90 时，由（2）知 EFAD，则得ADE=DEF=90 ，求得 AD=AE cos60 列式得；EFD=90 时，此种情况不存在. 【详解】解： （1）证明：在DFC 中，DFC=90 ，C=30 ，DC=2t， DF=t， 又AE=t， AE=DF； (2)能.理由如下： ABBC，DFBC， AEDF， 又 AE=DF， 四边形 AEFD 为平行四边形， 3tan305 353ABBC AC=2AB=10， AD=AC-DC=10-2t， 若使AEFD为菱形，则需 AE=AD， 即 t=10-2t，103t 即当103t 时，四边形 AEFD 为菱形； （3）分三种情况讨论： EDF=90 时，四边形 EBFD 为矩形. 在 RtAED 中，ADE=C=30 ， AD=2AE， 即 10-2t=2t，52t ； DEF=90 时，由（2）四边形 AEFD为平行四边形知 EFAD， ADE=DEF=90 A=90 -C=60 ， AD=AE cos60 即11022tt ，t=4； EFD=90 时，此种情况不存在； 综上所述，当52t 秒或 4 秒时，DEF为直角三角形 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，菱形与矩形之间的联系，直角三角形的性质和解直角三角形，综合运用定理进行推理和计算是解题关键