江苏省盐城市亭湖区2021年九年级上10月月考数学试卷（含答案解析）

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1、盐城市亭湖区2021-2022学年九年级上月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 某运动品牌经销商对鞋码大小进行抽样调查，经销商最感兴趣数据是（）A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差2. 一元二次方程的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根3. O的半径为4，圆心到直线的l的距离为3，则直线l与O的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交4. 若一元二次方程x22x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m1B. m1C. m1D. m15.

2、 如图，A、B、C是O上的三个点，ABC=25，则AOC的度数是 （ ）A. 25B. 65C. 50D. 1306. 如图，在中，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为A B. C. D. 7. 下列命题中，正确的个数是（ ）（1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 到三角形三条边的距离相等的点是三角形的交点.A. 三条中线B. 三条角平分线C. 三条高D. 三条边的垂直平分线二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 方程x2 -

3、7=0的根是_10. 已知一组数据：-1，0，1，2，3，则这组数据的方差是_.11. 一组数据23，27，18，21，12的中位数是_12. 某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程_13. 已知方程的两个实数根分别为m，n，则的值为_14. 底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥的侧面积为_15. 矩形ABCD中，边AB6cm，AD8cm，以A为圆心作A，使B、C、D三点有两个点在A内有一点在A外，则A的半径r的取值范围是_16. 如图，点I为ABC的内心，连AI交ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连

4、接EI，IC，若，则IE的长为_三、解答题（共11题，共102分）17. 解下列方程（1）2x25x10； （2）(x +2)23x +618. 已知关于x的一元二次方程x2（m+2）x+2m0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值19. 如图，CD是圆O直径，点A在DC的延长线上，EOD84，AE交圆O于点B，且ABOC求A的度数20. 某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每次投篮10次，现对甲、乙两名队员在五次中进球数（单位：个）进行统计，结果如表：第1次第2次第3次第4次第5次甲10610

5、68乙79789经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2（1）求乙进球的平均数和方差；（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）（1）在图中利用直尺画出ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；（2）求ABC外接圆的面积；（3）若点E的坐标（6，0），点E在ABC外接圆 （填“圆内”“圆上“或“圆外”）22. 如图在RtABC中，C=90，BD平分ABC，过D作DEBD交AB于点E，经过B，D，E三点作O（1）

6、求证：AC与O相切于D点；（2）若AD=15，AE=9，求O的半径23. 如图，在ABC中，经过A，B两点O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作ODBC交O于点D，连接AD交BC于点F，且ACFC（1）试判断AC与O的位置关系，并说明理由；（2）若FC，CE1求图中阴影部分的面积（结果保留）24. 已知，如图，扇形AOB的圆心角为120，半径OA为6cm（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥无底纸盒，求这个纸盒的高OH25. 某超市将进价为160元的商品按每件200元出售，每天可销售100件为了尽可能的让利于顾客，超市决定采取适当的降价措施经市场调查，发

7、现这种商品每降价2元，其销售量就增加10件设后来该商品每件降价x元（1）超市经营该商品，原来一天可获利润元；（2）若超市经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元？26. 学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：已知，如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D是ABC外一点，且ADAC，求BDC的度数若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC （直接写答案）问题解决：如图2，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC

8、25，求BAC的度数；问题拓展：如图3，在ABC中，BAC45，AD是BC边上的高，且BD4，CD2，求AD的长27. 【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图，APB是点P对线段AB的视角数学理解，如图，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大（1）过A、B两点，作O使其与直线相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即APB最大，为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ，BQ，证明：APBAQB即可，请完成这个证明【问题解决】在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容

9、易被踢进，如果一名球员沿直线带球前进，那么他应当在哪个地方射门，才能使进球的可能性最大？（2）如图，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，ADC是直角若该球员沿边线CD带球前进，记足球所在的位置为点P，在图中，用直尺和圆规在线段CD上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）若M是线段CD上一点，CMN60，该球员沿射线MN带球前进（如图），记足球所在的位置为点P，已知AB4，BD9，DM，求点P对AB的最大视角.盐城市亭湖区2021-2022学年九年级上月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 某运动品牌经销商对鞋码大

10、小进行抽样调查，经销商最感兴趣的数据是（）A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差【答案】C【解析】【分析】经销商最感兴趣的是这组鞋号中销售量最大的尺码，即这组鞋号的众数【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数经销商最感兴趣的是这组鞋号中销售量最大的尺码，故应关注众数的大小故选：C【点睛】本题主要考查学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用2. 一元二次方程的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】B【解析】【分析】先求出“”的值，再判断即可【详解】解：，=（-1）2-41（-1）=

11、50，所以方程有两个不相等的实数根，故选：B【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键3. O的半径为4，圆心到直线的l的距离为3，则直线l与O的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交【答案】C【解析】【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论【详解】解：圆的半径为4，圆心到直线l的距离为3，34，直线与圆相交故选：C【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线与圆相交的条件是解答此题的关键4. 若一元二次方程x22x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m1B. m1C. m1D. m1【答案】D【解析】【分析】根

12、据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围【详解】方程有两个不相同的实数根， 解得：m1故选D【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键5. 如图，A、B、C是O上的三个点，ABC=25，则AOC的度数是 （ ）A. 25B. 65C. 50D. 130【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据圆周角定理解答即可解：由圆周角定理得，AOC=2ABC=50，故选C考点：圆周角定理6. 如图，在中，以点C为圆心，BC为半径圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【

13、分析】先利用直角三角形的两锐角互余得出B=62，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到CDB=B=62，则根据三角形内角和定理可计算出BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解即可【详解】解：，的度数为故选C【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆心角的性质，圆心角的度数等于它所对弧的度数是解题的关键7. 下列命题中，正确的个数是（ ）（1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义分别判断即可【详解】解

14、：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；（2）等弧所对的圆周角相等，故正确；（3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（4）直径所对的圆周角是直角，故正确；故选B【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆周角定理、等弧的定义，属于基础知识，要熟悉课本中的性质定理8. 到三角形三条边的距离相等的点是三角形的交点.A. 三条中线B. 三条角平分线C. 三条高D. 三条边的垂直平分线【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的性质定理可直接进行排除选项【详解】由角平分线的性质定理可得到三角形三条边距离相等的点是三角形的三个内角平分线的交点故选：【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握

15、角平分线的性质定理是解题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 方程x2 -7=0的根是_【答案】，【解析】【分析】先移项，变成，从而把问题转化为求7的平方根，直接得出答案即可【详解】解：，故答案为：，【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解10. 已知一组数据：-1，0，1，2，3，则这组数据的方差是_.【答案】2【解析】【分析】【详解】解：平均数：方差：11. 一组数据23，27，18，21，12的中位数是_【答案】21【解析】【分析】找中位数要把数据按

16、从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数【详解】解：从小到大排列此数据为：12，18，21，23，27，处在最中间的数为21，故中位数是21故答案为：21【点睛】本题考查了中位数中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）12. 某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程_【答案】40（1x）248.4【解析】【详解】试题分析：2010年为40万元，在年增长率为x的情况下，2011年为40（1x）万元，2012年为40（1x）2万元，所以，根据2

17、012年底缴税48.4万元得：40（1x）248.413. 已知方程的两个实数根分别为m，n，则的值为_【答案】8【解析】【分析】将x=m代入解析式中，可得，然后代入代数式中，然后根据韦达定理即可求出的值.【详解】解：由解的定义：即由韦达定理故答案为：8.【点睛】此题考查是一元二次方程解的定义和韦达定理，掌握“降次”的数学思想和韦达定理是解决此题的关键.14. 底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥的侧面积为_【答案】cm2【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算【详解】解：圆锥的侧面积cm2故答案为：cm2

18、【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长15. 矩形ABCD中，边AB6cm，AD8cm，以A为圆心作A，使B、C、D三点有两个点在A内有一点在A外，则A的半径r的取值范围是_【答案】8cmr10 cm【解析】【分析】根据矩形的性质及勾股定理求出AC，再根据点与圆的位置关系解答【详解】解：矩形ABCD中，边AB6cm，AD8cm，BC=AD=8cm，cm，以A为圆心作A，使B、C、D三点有两个点在A内有一点在A外，A的半径8cmr10 cm，故答案为：8cmr10 cm【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，点与圆

19、的位置关系，熟记各定理并熟练应用解决问题是解题的关键16. 如图，点I为ABC的内心，连AI交ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若，则IE的长为_【答案】4【解析】【分析】由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DFIC与点F，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.【详解】解：如图：I为ABC的内心,可得BAD=CAD,BD=CD,又DIC=DAC+ACI,ICD=ICB+BCD其中DAC=BAD=BCD，ACI=ICB，DIC=ICDID=CD, ID=BD=DC=5, 可得AI=2CD=10可

20、得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DFIC与点F,可得IF=FC(垂经定理)，在RTIFD中，,又AIC中，AE=EC, IF=FC,EF为AIC的中位线，EFAD,即EFID, 且EF=5=ID,四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,故答案：4.【点睛】本题主要考查圆的垂经定理，圆周角定理及平行四边形相关知识，难度较大，需综合运用各知识求解.三、解答题（共11题，共102分）17. 解下列方程（1）2x25x10； （2）(x +2)23x +6.【答案】（1），；（2）x12或x1.【解析】【分析】（1）首先确定方程中a、b、c的值，然后再计算出，利用求根公式进行计算

21、即可；（2）先将右边移到左边，然后利用因式分解法解方程；【详解】解：（1） a2，b5，c1， b24ac33 x， ，. （2）(x +2)23（x +2）, (x +2)23（x +2）0 (x +2)(x +2)30 ,x +20或(x +2)30，x12或x1.【点睛】本题考查了解一元二次方程的解法，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法18. 已知关于x的一元二次方程x2（m+2）x+2m0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实

22、数根，斜边BC的长为3，求m的值【答案】(1)见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论【详解】（1）（m+2）242m（m2）20，不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）AB、AC的长是该方程的两个实数根，AB+ACm+2，ABAC2m，ABC是直角三角形，AB2+AC2BC2，（AB+AC）22ABACBC2，即（m+2）222m32，解得：m ，m的值是又ABAC2m，m为正数，m的值是【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键19. 如图

23、，CD是圆O的直径，点A在DC的延长线上，EOD84，AE交圆O于点B，且ABOC求A的度数【答案】28【解析】【分析】连接OB，由ABOC，得到ABBO，则BOCA，于是EBO2A，而OBOE，得EEBO2A，由EODE+A3A结合EOD84，即可得到A的度数【详解】解：如图，连接OB， ABOC，OBOC，ABBO，BOCA，EBOBOC+A2A，OBOE，EEBO2A，EODE+A3A，又EOD84，3A84，A28【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及三角形的外角性质20. 某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每次投篮10

24、次，现对甲、乙两名队员五次中进球数（单位：个）进行统计，结果如表：第1次第2次第3次第4次第5次甲1061068乙79789经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2（1）求乙进球的平均数和方差；（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？【答案】（1）8，0.8；（2）乙，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可；（2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答【详解】解：（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）5=8，乙进球的方差为：（7-8

25、）2+（9-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2=0.8；（2）二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8，S甲2S乙2，乙的波动较小，成绩更稳定，应选乙去参加定点投篮比赛【点睛】本题考查方差的定义和求法，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立也考查了平均数21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）（1）在图中利用直尺画出ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 ；（2）求ABC外接圆的面积；（3）若点E的坐标（6，0），点E在ABC外接圆 （填“圆内”“圆上“或“圆外”）【答案】（1

26、）图形见解析，D的坐标为（5,5）；（2）；（3）圆内【解析】【分析】（1）作线段AB及线段BC的垂直平分线，交点即为圆心D；（2）连接AD，利用勾股定理求出AD，再根据面积公式计算即可；（3）利用勾股定理求出DE的长，由此判断即可【详解】解：（1）如图，ABC的外接圆的圆心D的坐标为（5,5）；故答案为：（5,5）；（2）连接AD，AF=2，DF=5，ABC外接圆的面积为；（3）如图：作DGx轴于G，D的坐标为（5,5），DG=5，OG=5，点E的坐标（6，0），OE=6，GE=1，点E在ABC的外接圆的圆内【点睛】此题考查三角形外接圆的圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，正确确定三角形

27、外接圆的圆心是解题的关键22. 如图在RtABC中，C=90，BD平分ABC，过D作DEBD交AB于点E，经过B，D，E三点作O（1）求证：AC与O相切于D点；（2）若AD=15，AE=9，求O的半径【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【详解】试题分析：（1）连接OD，则有1=2，而2=3，得到1=3，因此ODBC，又由于C=90，所以ODAD，即可得出结论（2）根据ODAD，则在RTOAD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r，AD=15，AE=9，得到（r+9）2=152+r2，解方程即可（1）证明：连接OD，如图所示：OD=OB，1=2，又BD平分ABC，2=3，1=3，ODBC，而C

28、=90，ODAD，AC与O相切于D点；（2）解：ODAD，在RTOAD中，OA2=OD2+AD2，又AD=15，AE=9，设半径为r，（r+9）2=152+r2，解方程得，r=8，即O半径为8考点：切线的判定23. 如图，在ABC中，经过A，B两点的O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作ODBC交O于点D，连接AD交BC于点F，且ACFC（1）试判断AC与O的位置关系，并说明理由；（2）若FC，CE1求图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】（1）AC与O的相切，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）根据圆的半径相等以及，等边对等角可得，根据对顶角相等可得，结合已知ODBC，进而根据等量代

29、换可得，即可证明AC与O的相切；（2）过作于，设，在中，根据勾股定理求得，进而证明，求得扇形的圆心角为，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得的面积，根据扇形面积减去的面积，即可求得阴影部分面积【详解】（1）AC与O的相切，理由如下，又，ODBC，是半径，是的切线， AC与O的相切；（2）过作于，如图，设，在中，解得，在中， ，扇形，阴影部分扇形【点睛】本题考查了圆的切线的判定，求扇形面积，掌握切线的判定和扇形面积公式是解题的关键24. 已知，如图，扇形AOB的圆心角为120，半径OA为6cm（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥无底纸盒，求这个纸

30、盒的高OH【答案】（1）cm，cm2；（2）cm【解析】【分析】（1）根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式求解；（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2r=4，解得r=2，然后根据勾股定理计算OH【详解】（1）扇形AOB的弧长=（cm）；扇形AOB的扇形面积=（cm2）；（2）如图，设圆锥底面圆的半径为r，所以2r=4，解得r=2，在RtOHC中，HC=2，OC=6，所以OH=（cm）25. 某超市将进价为160元的商品按每件200元出售，每天可销售100件为了尽可能的让利于顾客，超市决定采取适当的降价措施经市场调查，发现这种商品每降价2

31、元，其销售量就增加10件设后来该商品每件降价x元（1）超市经营该商品，原来一天可获利润元；（2）若超市经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元？【答案】（1）4000；（2）16【解析】【分析】（1）直接利用销量每件商品利润总利润列式计算即可得出答案；（2）直接利用销量每件商品利润4320列出方程，进而解方程即可得出答案【详解】解：（1）原来一天可获利润：100（200160）4000（元）；故答案为：4000；（2）根据题意可得：（200160x）（100+10）4320，解得：x14，x216，为了尽可能的让利于顾客，x4不合题意，故舍去，x16，答：每件商品应降价16元【

32、点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系进而正确列出方程是解题关键26. 学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：已知，如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D是ABC外一点，且ADAC，求BDC的度数若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC （直接写答案）问题解决：如图2，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC25，求BAC的度数；问题拓展：如图3，在ABC中，BAC45，AD是BC边上的高，且BD4

33、，CD2，求AD的长【答案】（1）45；（2）25；（3）【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；（2）由、共圆，得出；（3）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得，进而求解【详解】解：（1）如图，点、在以点为圆心，长为半径的圆上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，故答案为：；（2）如图，取的中点，连接、，点为的中点，点、在以点为圆心，长为半径的圆上，；（3）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、，在中，又，在中，【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的定义、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的

34、性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法27. 【概念认识】自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端，则这两条射线所成的角称为该点对已知线段的视角，如图，APB是点P对线段AB的视角数学理解，如图，已知线段AB与直线l，在直线l上取一点P，使点P对线段AB的视角最大（1）过A、B两点，作O使其与直线相切，切点为P，则点P对线段AB的视角最大，即APB最大，为了证明点P的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点Q，连接AQ，BQ，证明：APBAQB即可，请完成这个证明【问题解决】在足球电子游戏中，足球队球门的视角越大，越容易被踢进，如果一名球员沿直线带球前进，那么他应当在哪个

35、地方射门，才能使进球的可能性最大？（2）如图，A、B是足球门的两端，线段AB是球门的宽，CD是球场边线，ADC是直角若该球员沿边线CD带球前进，记足球所在的位置为点P，在图中，用直尺和圆规在线段CD上求作点P，使点P对AB的视角最大（不写作法，保留作图痕迹）若M是线段CD上一点，CMN60，该球员沿射线MN带球前进（如图），记足球所在的位置为点P，已知AB4，BD9，DM，求点P对AB的最大视角.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）如图1，设直线交于点，连接，由此即可得证；（2）如图2，作的中垂线交于点，以点为圆心，以直线和直线的距离长度为半径作弧交于点，由此即可求

36、解；延长交的延长线于点，由知，过点、的圆与相切时，点对的视角最大，进而求解【详解】（1）证明：如图1，设直线交于点，连接，；（2）解：如图2，作的中垂线交于点，以点为圆心，以直线和直线的距离长度为半径作弧交于点，作交于点，连接、，则即为所求角；延长交的延长线于点，由知，过点、的圆与相切时，点对的视角最大，如图，作的中垂线交于点，则点在线段上，在中，则，又，在中，设，则，又，解得：（舍负），设的半径为，在中，则，又，解得：（舍负），在中，解得（舍去），4，故为等边三角形，连接AP，BP，则，即点对的最大视角为【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直线和圆相切，含30的直角三角形的性质以及勾股定理的应用等相关知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键