第四章图形的相似 单元试卷（含答案解析）2022-2023学年北师大版九年级数学上册

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1、第四章图形的相似一、单选题1如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，则建筑物的高是()ABCD2一个四边形的各边之比为1234，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（）ABCD3如图，在ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DEBC，分别交AB、AC于点D、E，则ADE与四边形DBCE的面积比为（）ABCD4生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（）A124米B138米C142米D162米5将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折

2、痕为已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（）A2B或2CD或26如果，那么的结果是（）ABCD7如图，以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（）AB点C，O，在同一直线上CD8已知（a0，b0），下列变形正确的是（）ABC2a3bD3a2b9下列四组线段中，是成比例线段的是（）A0.5，3，2，10B3，4，6，2C5，6，15，18D1.5，4，1.2，510已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，且这两个直角三角形不相似，则的值为（）A或B15CD二、填空题11两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边

3、长分别为，的正方形拼成一个大正方形图中的斜边的长等于_（用，的代数式表示）12图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB=1.2厘米，托架斜面长BD=6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OB=OE=2.5厘米（支架的厚度忽略不计）当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为_cm13如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF

4、，则四边形AECF的周长为_14如图，矩形ABCD中，AB6，BC8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 _15在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形如图，已知RtABC是66网格图形中的格点三角形，则该图中所有与RtABC相似的格点三角形中面积最大的三角形的斜边长是_16如图，已知DC为ACB的平分线，DEBC若AD8，BD10，BC15，求EC的长_17如图所示，在中，（1）如图1，四边形为的内接正方形，则正方形的边长为_；（2）如图2，若内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于，则正

5、方形的边长为_三、解答题18如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE0.5米，EF0.25米，目测点D到地面的距离DG1.5米，到旗杆的水平距离DC20米，求旗杆的高度19如图，在ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，ADEBABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F（1）求证：ADGABF；（2）若，AF6，求GF的长20已知：.（1）求代数式的值；（2）如果，求的值.21（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，求

6、证：；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，求的长参考答案1A【解析】【分析】先求得AC，再说明ABEACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可【详解】解：，AC=1.2m+12.8m=14m标杆和建筑物CD均垂直于地面BE/CDABEACD,即,解得CD=17.5m故答案为A【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键2C【解析】【分析】设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案

7、【详解】解：设它的最大边长为，两个四边形相似，解得，即该四边形的最大边长为故选C【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键3A【解析】【分析】连接AG并延长交BC于H，如图，利用三角形重心的性质得到AG=2GH，再证明ADEABC，根据相似三角形的性质得到=，然后根据比例的性质得到ADE与四边形DBCE的面积比.【详解】解：连接AG并延长交BC于H，如图，点G为ABC的重心， AG2GH，DEBC，ADEABC，（）2，ADE与四边形DBCE的面积比故选：A【点睛】本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比

8、为21.4A【解析】【分析】根据a:b0.618，且b=2即可求解【详解】解：由题意可知，a:b0.618，代入b=2，a20.618=1.2361.24故答案为：A【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题5B【解析】【分析】分两种情况：若或若，再根据相似三角形的性质解题【详解】沿折叠后点C和点D重合，设，则，以点B、D、F为顶点的三角形与相似，分两种情况：若，则，即，解得；若，则，即，解得综上，的长为或2，故选：B【点睛】本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键6B【解析】【分析】根据比例的性质即可得到结论【详解】，可设a2k，b3k，

9、故选B【点睛】本题主要考查了比例的性质，解本题的要点根据题意可设a，b的值，从而求出答案7C【解析】【分析】根据位似图形的性质进行判断即可得【详解】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，、点在同一直线上、，即选项A、B、D说法正确，选项C说法错误，故选：C【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键8C【解析】【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”对各选项分析判断即可得【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意；B、，选项说法错误，不符合题意；C、，选项说法正确，符合题意；D、，选项说法错误，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟记比

10、例的性质9C【解析】【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决【详解】解：，故选项A中的线段不成比例，不符合题意；，故选项B中的线段不成比例，不符合题意；，故选项C中的线段成比例，符合题意；，故选项D中的线段不成比例，不符合题意，故选：C【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件10A【解析】【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，若m是斜边，则；在第二个直接三角形中，若n是直角

11、边，则，若n是斜边，则；又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取，即当m=5，当，n=10，故选：A【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键11【解析】【分析】根据题意及勾股定理可得BC2=；又因RtABC的边BC在斜边AB上的射影为a，根据射影定理可得BC2=aAB，由此即可解答【详解】根据题意及勾股定理可得：BC2=；由题意可得：RtABC的边BC在斜边AB上的射影为a，BC2=aAB，即可得AB=故答案为【点睛】本题考查射影定理的知识，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射

12、影和斜边的比例中项12【解析】【分析】如图3中，作DTAH于T，OKBD于K解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性质求出DT，BT，AD，即可求出GH的长【详解】如图3中，作DTAH于T，OKBD于KOB=OE=2.5cm，BE=2.4+0.82=4(cm)，OKBE，BK=KE=2(cm)，OK(cm)，OBK=DBT，OKB=BTD=90，BKOBTD，BT=4.8(cm)，DT=3.6(cm)，AT=1.2+4.8=6(cm)，AD=(cm)，DTGH，ATDAHG，(cm)故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

13、解决问题，属于中考填空题中的压轴题1310【解析】【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解【详解】解：如图，设与的交点为，根据作图可得，且平分，四边形是平行四边形，又， ，四边形是平行四边形，垂直平分，四边形是菱形，为的中点，中， ，四边形AECF的周长为故答案为：【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键14【解析】【分析】根据矩形的性质和勾股定理

14、求出BD，证明BOFBCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可【详解】解：如下图，四边形ABCD是矩形，A90，又AB6，ADBC8，BD10，EF是BD的垂直平分线，OBOD5，BOF90，又C90，BOFBCD， ，解得，OF，四边形ABCD是矩形，ADBC，A90，EDOFBO，EF是BD的垂直平分线，BODO，EFBD，在DEO和BFO中，DEOBFO（ASA），OEOF，EF2OF，故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义155【解析】【分析】根据相似三角形的性质确

15、定两直角边的比值为1：2，以及66网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、为边的这样一组三角形满足条件【详解】解：在RtABC中，AC=1，BC=2，AB=，AC：BC=1：2，与RtABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在66网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形，=，ABCDEF，DEF=C=90，此时DEF的面积为：22=10，DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5故答案为：5【点睛】本

16、题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题16【解析】【分析】先由角平分线的定义及平行线的性质求得EDC=ECD，从而EC=DE；再DEBC，证得ADEABC，然后根据相似三角形的性质列出比例式，求得DE的长，即为EC的长【详解】解：DC为ACB的平分线BCD=ECDDEBCEDC=BCDEDC=ECDEC=DEAD=8，BD=10AB=18DEBCADEABC，AD=8，AB=18，BC=15， 故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定及相似三角形的判定与性质，熟练掌

17、握相关性质与定理是解题的关键17 【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，作CNAB，再根据GFAB，可知CGFCAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；（2）设正方形的边长是x，则过点C作CNAB，垂足为N，交GF于点M，易得CGFCAB，所以，求出x值即可【详解】解：（1）在图1中，作CNAB，交GF于点M，交AB于点N在RtABC中，AC=4，BC=3，AB=5，ABCN=BCAC，CN=，GFAB，CGFCAB，CM：CN=GF：AB，设正方形边长为x，则，解得：，正方形DEFG的边长为；（2）如图，过点C作CNAB，垂足为N，交GF于点M，设小正方形的边长为x，四边形GDEF为

18、矩形，GFAB，CMGF，同理算出CN=，即，即小正方形的边长是【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键18旗杆的高度为11.5m【解析】【分析】根据相似三角形的性质列式计算即可；【详解】解：由题意可得：DEFDCA，则，DE0.5米，EF0.25米，DG1.5m，DC20m，解得：AC10，故ABAC+BC10+1.511.5（m）答：旗杆的高度为115m【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键19（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得DAG=BAF，再

19、由ADE=B，即可证明ADGABF；（2）由ADGABF，可得，即可得到，则GF=AF-AG=2【详解】解：（1）AF平分BAC，DAG=BAF，ADE=B，ADGABF；（2）ADGABF，GF=AF-AG=2【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件20（1）1；（2）【解析】【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=5k，代入代数式，即可求出答案；（2）把a、b、c的值代入，求出即可【详解】设a=2k，b=3k，c=5k，（1）；（2）6k-3k+5k=24，k=3，a=23=6，b=33=9，c=53=15.【点睛】

20、本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力21（1）见解析；（2）；见解析；（3）【解析】【分析】（1）先ABEDAQ，可得AEDQ;再证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，作GMAB于M然后证明ABEGMF即可解决问题；（3）如图3中，作PMBC交BC的延长线于M利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题【详解】（1）如图（1），四边形ABCD是正方形，ABDA，ABE90DAQQAO+OAD90AEDQ，ADO+OAD90QAOADOABEDAQ（ASA），AEDQ四边形ABCD是正方形，AEDQ，AEGF，DGQF，DQGF，四边形DQFG是平行四边形，

21、DQ=GF，FG=AE；（2）理由：如图（2）中，作GMAB于MAEGF，AOFGMFABE90，BAE+AFO90，AFO+FGM90，BAEFGM，ABEGMF，GF：AEGM：AB，AMGDDAM90，四边形AMGD是矩形，GMAD，GF：AEAD：AB，四边形ABCD是矩形，BCAD，GF：AEBC：AB，（3）解：如图（3）中，作PMBC交BC的延长线于M由BE：BF3：4 ，设BE3k，BF4k，则EFAF5k，AE，在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得，k1或1（舍去），BE3，AB9，BC：AB2：3，BC6，BECE3，ADPEBC6，EBFFEPPME90，FEB+PEM90，PEM+EPM90，FEBEPM，FBEEMP，EM ，PM ，CMEMEC3，PC=【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键