江苏省常州市八校2021年高一上学期12月联考数学试卷（含答案解析）

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1、2021-2022学年第一学期八校高一年级联合调研数学试卷一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A B. C. D. 2. 是的（ ）条件.A. 充要条件B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要3. 若，则角的终边在（ ）A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 5. 若函数则（ ）A. B. 2C. D. -26. 的增区间为A. B. C. D. 7. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，

2、且为奇函数，当时，则的所有根之和等于A. 4B. 5C. 6D. 12二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. （多选）下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）A. 有最小值B. 有最小值C. 有最小值4D. 有最小值11. 下列说法正确的是（ ）A. 若幂函数的图象经过点，则解析式为B. 若函数，则在区间上单调递减C. 幂函数（）始终经过点和D. 若函数，则对于任意的，有12. 若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有；对于定义

3、城上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）A. B. C. D. 三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数定义域为_.14. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为_.15. 已知，则的最小值为_.16. 设函数，若有不相等实数、满足，则的取值范围是_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 记函数定义域为集合，函数的值域为.求：（1），；（2），.18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）当时，求函数的解析式；（2）用定义证明函数在区间上是单调增函数.19. 已知函数.（1

4、）若时，求满足的实数的值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.20. 某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件.（1）试确定的值.（2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时，试确定关税税率的最大值.21. 已知函数f(x)log2.（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；（3）若函数

5、f(x)在区间0，1上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围22. 已知函数， .（1）证明：为偶函数；（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.2021-2022学年第一学期八校高一年级联合调研数学试卷一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由集合，得：，故选：B2. 是的（ ）条件.A. 充要条件B. 充分不必要C 必要不充分D. 既不充分也不必要【答案】C【解析

6、】【分析】举特例可说明，推不出，但成立时，一定有成立，由此可判断答案.【详解】取 ，满足，但推不出，反之，成立时，一定有成立，故是的必要不充分条件，故选：C3. 若，则角的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】判断所处的范围，即可得答案.【详解】由于，故角的终边在第一象限，故选：A4. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据幂函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，从而得到答案.【详解】，故选：B5. 若函数则（ ）A. B. 2C. D. -2【答案】C【解析】【分析】直接代入数据计算得到

7、答案.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算能力.6. 的增区间为A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求解定义域，然后结合二次函数的对称轴判断增区间.【详解】因为，所以；又因为的对称轴为：，且，所以增区间为，故选D.【点睛】本题考查复合函数的单调性，难度一般.对于复合函数的单调性问题，在利用“同增异减”的方法判断的同时也要注意到定义域问题.7. 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析出函数在区间和上的单调性，由偶函数的性质得出，分和，解不等式组和，即可得出的取

8、值范围.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，所以.当时，若，可得，则，可得；若，可得，则，可得；当时，若，可得，则，可得；若，可得，则，可得.综上所述，的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查函数的性质及不等式的解法，考查化归与转化的数学思想，属于中等题.8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，则的所有根之和等于A. 4B. 5C. 6D. 12【答案】A【解析】【分析】由题可知函数的图像关于对称，求出时函数的解析式，然后由韦达定理求解【详解】因为奇函数，所以图像关于对称，所以函数的图像关于对称，即 当时，所以当时，当时，可得 当时，可得 所以的所有根之和为 故选A【点睛

9、】本题考查函数的奇偶性以及求函数的解析式，解题的关键是得出函数的图像关于对称，属于一般题二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. （多选）下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据根式运算法则、根式与分数指数幂的运算、指数运算和对数运算法则依次判断各个选项可求得结果.【详解】，错误；，正确；，正确；，正确.故选【点睛】本题考查根式、指数幂运算、对数运算法则的应用，属于基础题.10. 若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（ ）A. 有最小值B. 有最

10、小值C. 有最小值4D. 有最小值【答案】ABD【解析】【分析】根据，得到，求出，由此求出，从而可得答案.【详解】因为正实数a，b满足，所以，所以，故无最小值，A错误；，故，即无最小值，故B错误；，故有最小值4，C说法正确；，所以有最小值，故D错误，故选：ABD.【点睛】本题考查了判断命题的真假，考查了函数的最值，考查了二次函数求值域，属于基础题.11. 下列说法正确的是（ ）A. 若幂函数的图象经过点，则解析式为B. 若函数，则在区间上单调递减C. 幂函数（）始终经过点和D. 若函数，则对于任意的，有【答案】CD【解析】【分析】根据幂函数的解析式，单调性依次判断每个选项得到答案.【详解】若幂

11、函数的图象经过点，则解析式为，故错误；函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误；幂函数（）始终经过点和，正确；任意的，要证，即，即，即，易知成立，故正确；故选：.【点睛】本题考查了幂函数，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.12. 若函数同时满足：对于定义域上的任意，恒有；对于定义城上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】满足，是奇函数，满足，在定义域内是减函数，问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质.【详解】对于对于定义域内的任意，恒有，即，所以是奇函数； 对于对于定义域内的任意

12、，当时，恒有，在定义域内是减函数；对于A：，故不是奇函数，所以不是“理想函数”；对于 B：是奇函数，且是减函数，所以是“理想函数”；对于C：是奇函数，并且在R上是减函数，所以是“理想函数”；对于D：，所以是奇函数；根据二次函数的单调性，在，都是减函数，且在处连续，所以在上减函数，所以是“理想函数”.故选：BCD.【点睛】本题以新定义为背景，考查函数性质的判定，对于常用函数的单调性和奇偶性要熟练掌握，判定时可以对函数解析进行化简，以减少计算量.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.

13、【详解】函数需满足 ，解得 且 ，故函数的定义域为，故答案为：14. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式 ，直接求得答案.【详解】扇形的半径为，圆心角为，故扇形的面积（），故答案为：15. 已知，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质得到，利用基本不等式求出的最小值.【详解】因为对数有意义，所以x0,y0.由，可得：，即，当等号成立解得：（舍去）.所以的最小值为4.故答案为：4.16. 设函数，若有不相等的实数、满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，设，令，求得的取值范围，可得出关于的表达式，进

14、而可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示：当时，则，此时，.设，令，由图象可知，由，可得；由，可得；由，可得，.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的零点求代数式的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于中等题.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 记函数的定义域为集合，函数的值域为.求：（1），；（2），.【答案】（1）， （2），【解析】【分析】（1）根据函数的解析式结合对数函数的性质，可求得集合 ，利用指数函数的单调性，可求得集合；（2）根据集合的交集以及并集运算，可求得答案.【小问1详解】由函数可得 ，即 ，故，由函数 可得

15、，即；【小问2详解】由（1）可知：，.18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）当时，求函数的解析式；（2）用定义证明函数在区间上是单调增函数.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设时，则，然后根据已知解析式和偶函数的性质可求出结果，（2）在上任取，且，然后作差比较的大小即可得结论【小问1详解】设时，则，由题意得：，又因为是上的偶函数，所以，得【小问2详解】证明：在上任取，且，则，所以，所以，所以函数在区间上是单调增函数.19. 已知函数.（1）若时，求满足的实数的值；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由已知，令，则，

16、解得或（舍），再回代解方程即可;（2）将原问题转化为存在，使得，只需求出函数的最小值即可，再利用换元法求的最小值.【小问1详解】由题意可得令，则解得或（舍去）此时：【小问2详解】由，得令，由得令，可得在上单调递增，可得所以综上：的取值范围为20. 某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数.当关税税率时，若市场价格为千元，则市场供应量约为万件；若市场价格为千元，则市场供应量约为万件.（1）试确定的值.（2）市场需求量(单位：万件)与市场价格(单位：千元)近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过千元时

17、，试确定关税税率的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将关税税率，市场价格代入中，列出关于与的方程组求解；（2）利用，将表示成关于的函数，然后确定的最大值.【详解】(1)由已知得：，得解得，.(2)当时，所以，则.设，则在上单调递减，所以当时，有最小值，故当时，关税税率的最大值为.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解.21. 已知函数f(x)log2.（1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；（2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；（3）若函数

18、f(x)在区间0，1上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围【答案】（1）a0；（2）a0；（3）0恒成立，即a恒成立，由于(，0)，故只要a0即可（3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间0，1上的最大值是f(0)log2(1a)，最小值是f（1）log2.由题设，得log2(1a)log22，解得a.【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键22. 已知函数， .（1）证明：为偶函数；（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；（2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法；（3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可.【详解】解：（1）证明：因为，又，即，所以为偶函数.（2）原题意等价于方程无解，即方程无解.令，因为，显然，于是，即函数的值域是.因此当时满足题意.所以a的取值范围是.（3）由题意，.令，则.则，.当时，解得；当时，解得（舍去）；当时，解得（舍去）综上，存在，使得最小值为0.【点睛】方法点睛：（1）对函数奇偶性的证明用定义：或；（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.